2022-2023学年北京市顺义区杨镇一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市顺义区杨镇一中高二（上）期中数学试卷，共20页。
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（4分）某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离等于（ ）
A．7B．5C．3D．2
4．（4分）已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．（4分）学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ）
A．88分B．89分C．90分D．92分
6．（4分）已知直线2x+y﹣8＝0与直线3x+（1﹣a）y+3＝0平行，则a的值为（ ）
A．B．C．﹣5D．7
7．（4分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
、分别表示甲乙两组数据的平均数，S1、S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3
D．这10天的PM2.5日均值的中位数是45
10．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 ．
12．（5分）已知A（1，2，3），B（4，5，9），，则的坐标为 ，点C的坐标为 ．
13．（5分）已知向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），若（+λ）⊥，则实数λ等于 ．
14．（5分）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是 ．
15．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，给出下面四个结论：
①点P可以是棱BB1的四等分点，且靠近点B；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
则其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题，6小题，共85分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盆子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．
（1）列出试验的样本空间；
（2）求“m＞n”的概率．
17．已知直线l1：ax﹣2y+4＝0，l2：x+（a﹣3）y+a＝0．
（1）当a＝4时，求两直线l1，l2的交点P的坐标；
（2）若直线l1⊥l2，求a的值；
（3）当a＝1时，求两直线的距离．
18．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段AA1的中点．
（1）求证：A1C⊥BC1；
（2）求平面ADD1A1与平面MCD1夹角的余弦值；
（3）求点D到平面MCD1的距离．
19．已知△ABC顶点A（3，0）、B（﹣1，﹣3）、C（1，1）．
（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；
（2）求边BC的垂直平分线l的方程
（3）求△ABC的面积．
20．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
21．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝1，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市顺义区杨镇一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，10小题，每题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果．
【解答】解：直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角满足tan，
由于0°＜θ＜180°，
故θ＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．（4分）某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先算出抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得．
【解答】解：∵＝，
∴应抽取的大型城市个数为24×＝4个．
故选：D．
【点评】本题考查应抽取的大型城市个数的运算，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离等于（ ）
A．7B．5C．3D．2
【分析】由已知代入点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：由已知代入点到直线的距离公式可得：
d＝＝7，
故选：A．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，属基础题．
4．（4分）已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】设平面α的法向量为，平面β的法向量为．由于α∥β，可得∥，因此∃实数λ使得＝λ．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．
【解答】解：设平面α的法向量＝（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量＝（﹣1，2，k）．
∵α∥β，
∴∥，
∴∃实数λ使得＝λ．
∴，得k＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了相互平行的两个平面的法向量共线的性质、向量共线定理的坐标运算，属于基础题．
5．（4分）学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ）
A．88分B．89分C．90分D．92分
【分析】先对这8名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可．
【解答】解：8名学生的成绩从小到大排列为：
63，68，76，77，82，88，92，93，
∵8×75%＝6，
∴75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，
即（分）．
故选：C．
【点评】本题考查百分位数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（4分）已知直线2x+y﹣8＝0与直线3x+（1﹣a）y+3＝0平行，则a的值为（ ）
A．B．C．﹣5D．7
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线2x+y﹣8＝0与直线3x+（1﹣a）y+3＝0平行，
则2（1﹣a）＝1×3，解得a＝，
经检验，a＝符合题意，
故a＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
7．（4分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
、分别表示甲乙两组数据的平均数，S1、S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用平均数和方差的定义分别求出甲乙两台机床同时生产一种零件的平均数和方差可得答案．
【解答】解：根据题意、分别表示甲乙两组数据的平均数，S1、S2分别表示甲乙两组数据的方差，
则＝（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）＝1.5，
＝（2+2+1+1+1+2+1+1+0+1）＝1.2，
S1＝[（0﹣1.5）2+（1﹣1.5）2+（0﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（0﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（1﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]＝1.65，
S2＝[（2﹣1.2）2+（2﹣1.2）2++（1﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（2﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（0﹣1.2）2+（1﹣1.2）2]＝0.36，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查平均数和方差的定义和计算，是基础题，解题时要注意平均数和方差的合理运用．
8．（4分）如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
【解答】解：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
9．（4分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3
D．这10天的PM2.5日均值的中位数是45
【分析】根据已知条件，结合折线图的数据，平均数公式，中位数的定义，即可依次求解．
【解答】解：对于A，从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，
空气质量为一级的天数为4天，
故空气质量为一级的概率是，故A正确，
对于B，由图可知，从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低，故B正确，
对于C，这10天中PM2.5日均值的平均数是 （45+57+32+49+82+73+58+34+30+33）＝49.3，故C正确，
对于D，将10天的数据从小到大排序为：30，32，33，34，45，49，57，58，73，82，
则这10天的PM2.5日均值的中位数，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查折线图的应用，考查转化能力，属于基础题．
10．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接BC1，A1D，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，则A1D⊥EF，再由已知正方体可得DC⊥EF，得EF⊥平面A1DC，则A1C⊥EF，得到当P在线段CD上运动时，有A1P⊥EF，进一步得到当P与D重合时，A1P有最小值为，当P与C重合时，A1P有最大值为．
【解答】解：如图，
连接BC1，A1D，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，
∴A1D⊥EF，
又DC⊥EF，可得EF⊥平面A1DC，则A1C⊥EF，
∴当P在线段CD上运动时，有A1P⊥EF，
当P与D重合时，A1P有最小值为，当P与C重合时，A1P有最大值为．
∴线段A1P长度的取值范围是[]．
故选：D．
【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属中档题．
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 ．
【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出甲不输的概率．
【解答】解：甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，
则甲不输的概率为P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）已知A（1，2，3），B（4，5，9），，则的坐标为 （1，1，2） ，点C的坐标为 （2，3，5） ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：∵A（1，2，3），B（4，5，9），
∴，
∵，
∴，
设点C的坐标为（x，y，z），
∴，解得，
故点C的坐标为（2，3，5）．
故答案为：（1，1，2）；（2，3，5）．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算法则，属于基础题．
13．（5分）已知向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），若（+λ）⊥，则实数λ等于 ﹣ ．
【分析】根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），
∴，
∵+λ）⊥，
∴λ+1+λ＝0，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
14．（5分）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是 ．
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．
【解答】解：∵甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，
∴这道题没被解出的概率为＝，即这道题被解出的概率是1﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件概率和为1，属于基础题．
15．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，给出下面四个结论：
①点P可以是棱BB1的四等分点，且靠近点B；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
则其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P可以是棱BB1的四等分点，且靠近点B，从而判断选项①，又EF＝GH＝1，，可判断选项③和选项④．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点，
∴，∴，
设P（x，y，z），则，
∵MP⊥CN，∴，即2x+4z﹣3＝0，
当x＝1时，，当x＝0时，，
取，
连接EF，FG，GH，HE，
则，
∴四边形EFGH为矩形，则，
即EF⊥CN，EH⊥CN，
又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，
∴CN⊥平面EFGH，
又，
∴M为EG的中点，则M∈平面EFGH，
为使MP⊥CN，必有点P∈平面EFGH，
又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P可以是棱BB1的四等分点，且靠近点B，故选项①正确；
又，
∴EF≠EH，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，
故选项③错误，选项④正确；
∵，
又MP⊥CN，则，即2x+4z﹣3＝0，
∴，点P在正方体表面运动，
则，解，
∴，
故当或或1，MP取得最大值为，故②错误．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
三、解答题，6小题，共85分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盆子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．
（1）列出试验的样本空间；
（2）求“m＞n”的概率．
【分析】（1）利用列举法能求出试验的样本空间；
（2）利用古典概型的概率公式能求出“m＞n”的概率．
【解答】解：（1）由题意可知试验的样本点可用（m，n）表示，
∴试验的样本空间为：
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．
（2）由（1）知共有16个样本点，其中满足m＞n的有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），共6个，
∴“m＞n”的概率为P＝．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．已知直线l1：ax﹣2y+4＝0，l2：x+（a﹣3）y+a＝0．
（1）当a＝4时，求两直线l1，l2的交点P的坐标；
（2）若直线l1⊥l2，求a的值；
（3）当a＝1时，求两直线的距离．
【分析】（1）将a＝4代入，联立直线方程，即可求得交点坐标；
（2）依题意，，解出a的值即可；
（3）将a＝1代入，由平行线间的距离公式直接求解即可．
【解答】解：（1）当a＝4时，直线l1：2x﹣y+2＝0，直线l2：x+y+4＝0，
联立，解得，
即点P（﹣2，﹣2）；
（2）显然a≠3，则，解得a＝6；
（3）当a＝1时，直线l1：x﹣2y+4＝0，l2：x﹣2y+1＝0，
由平行线间的距离公式可得，所求距离为．
【点评】本题考查两直线交点坐标的求法，两直线垂直的条件以及平行线间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
18．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段AA1的中点．
（1）求证：A1C⊥BC1；
（2）求平面ADD1A1与平面MCD1夹角的余弦值；
（3）求点D到平面MCD1的距离．
【分析】（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1C⊥BC1；
（2）求出平面ADD1A1的法向量和平面MCD1的法向量，利用向量法能求出平面ADD1A1与平面MCD1夹角的余弦值．
（3）利用向量法能求出点D到平面MCD1的距离．
【解答】解：（1）证明：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，0，0），C1（2，2，2），
＝（2，2，﹣2），＝（0，2，2），
∵＝0+4﹣4＝0，
∴A1C⊥BC1；
（2）平面ADD1A1的法向量为＝（1，0，0），
M（ 0，0，1），D1（0，2，2），＝（2，2，﹣1），＝（0，2，1），
设平面MCD1的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（﹣2，1，﹣2）
设平面ADD1A1与平面MCD1夹角为θ，
则平面ADD1A1与平面MCD1夹角的余弦值为：
csθ＝|cs＜＞|＝＝．
（3）D（0，2，0），＝（0，0，﹣2），
点D到平面MCD1的距离为：d＝＝．
【点评】本题考查线线垂直、二面角的平面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．已知△ABC顶点A（3，0）、B（﹣1，﹣3）、C（1，1）．
（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；
（2）求边BC的垂直平分线l的方程
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）求出直线BC的斜率，再由点斜式即可得解，进一步可得纵截距；
（2）求出直线l的斜率，再由中点坐标公式求得中点坐标，进而得到直线l的方程；
（3）求出点A到直线BC的距离，再由两点间的距离公式求得|BC|，由此可得△ABC的面积．
【解答】解：（1）由于，
则由点斜式可得，直线BC的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，
其在y轴上的截距为﹣1；
（2）易知直线l的斜率为，
又线段BC的中点坐标为（0，﹣1），
则由斜截式可得，直线l的方程为；
（3）点A到直线BC的距离为，，
则．
【点评】本题考查直线方程的求法以及三角形的面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
20．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
【分析】（1）由各组频率之和为1，（面积之和为1）可求得；
（2）频率分布直方图用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形有面积的乘积之和之和估计平均数；
（3）用样本频率估计总体概率进行求解．
【解答】解：（1）由题意得（0.020+0.040+0.075+a+0.015）×5＝1，
解得a＝0.050．
（2）这种植物果实重量的平均数约为：
＝30×0.020×5+35×0.040×5+40×0.075×5+45×0.050×5+50×0.015×5＝40，
∴这种植物果实重量的平均数为40．
（3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的概率为0.7，
∴估算这批果实中的优质果实的个数为10000×0.7＝7000个．
【点评】本题考查频率、平均数、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝1，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设M是PB的中点，易证四边形EMCD为平行四边形，得到DE∥CM，再由线面平行的判定即得证；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得以及平面GPC的法向量，设，根据题意可建立关于λ的方程，解出后即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：设M是PB的中点，连接CM，EM，
因为E，M分别是PA，PB的中点，
所以，
又，则EM∥CD，且EM＝CD，
所以四边形EMCD为平行四边形，则DE∥CM，
又DE⊄平面PBC，CM⊂平面PNC，
所以DE∥平面PBC；
（2）依题意，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于CD＝AD＝AB＝1，∠PAD＝45°，则∠PDA＝90°，
所以PD＝DA＝1，
则，
所以，
设点G的坐标为（1，t，0），则，
又CG⊥BD，则，解得，
所以，
设平面GPC的法向量为，，
则，
令x＝1，则，
设，，
所以，
所以，
又GH与平面PGC所成角的正弦值是，则，
化简整理可得，20λ2+8λ﹣1＝0，解得或（舍），
所以存在满足条件的点H，且，则．
【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量解决立体几何中的存在性问题，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:49:29；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052甲
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