2021-2022学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）复数的虚部是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
2．（4分）过点（0，1）且与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是（ ）
A．2x+y﹣1＝0B．2x+y+1＝0C．x﹣2y+2＝0D．x﹣2y﹣1＝0
3．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，2），点D满足，则点D的坐标是（ ）
A．（5，4，3）B．（3，4，3）C．（4，3，2）D．（1，2，3）
4．（4分）设直线m的方向向量为（1，1，﹣1），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）为平面α的三点，则直线m与平面α的位置关系是（ ）
A．m∥αB．m∥α或m⊂αC．m⊥αD．m∥α
5．（4分）若直线（a﹣1）x+2ay﹣1＝0与直线2x﹣（a﹣1）y﹣6＝0垂直，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．1或﹣1
6．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝，＝，＝．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣++B．C．D．﹣﹣+
8．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）＝k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③B．③④C．②④D．②③④
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，下列命题中，错误的是（ ）
A．点N在线段EG上时，就有MN⊥A1C1
B．点N在线段EH上时，就有MN∥平面B1D1C
C．三棱锥N﹣B1D1C1的体积有最大值
D．直线MN与平面ABCD所成的角为
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则z＝ ．
12．（5分）若四点A（0，2，0），B（1，﹣1，0），C（1，2，3），D（3，2m，m）共面，则实数m的值为 ．
13．（5分）直线l：x+3y﹣1＝0的倾斜角为 ，经过点且与直线l平行的直线方程为 ．
14．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝ ．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共3小题，每题10分共25分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.
16．（7分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
17．（8分）正方形中心为G（﹣1，0），一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求此正方形各边所在的直线方程．
18．（10分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝DA＝3AF．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．
四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）.
19．（6分）直线2ax﹣（a2+1）y+1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
20．（6分）二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a，b分别垂直α，β，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
21．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（ ）
A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1
B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C
D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
22．（6分）已知复数z满足|z﹣（1﹣i）|＝1（i为虚数单位），则|z|的最大值为 ．
23．（6分）如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点，现有以下命题：
①BC⊥PC；
②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中真命题的个数为 ．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点A（﹣1，3），则d（A，O）＝ ；已知点B（1，0），点M是直线kx﹣y+k+3＝0（k＞0）上的动点，d（B，M）的最小值为 ．
六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答写在答题纸上的相应位置.）
25．（14分）如表，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1，a2，…，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，…，bn．
记．
（Ⅰ）当n＝3时，若a1＝1，a2＝3，a3＝5，写出S3的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数n．试给出a1，a2，…，an的一组取值，使得无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．
2021-2022学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）
1．（4分）复数的虚部是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵＝，
∴复数的虚部是．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．（4分）过点（0，1）且与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程是（ ）
A．2x+y﹣1＝0B．2x+y+1＝0C．x﹣2y+2＝0D．x﹣2y﹣1＝0
【分析】可设与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，代入点（0，1）的坐标求出m的值．
【解答】解：设与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，
代入点（0，1）的坐标，得0+1+m＝0，解得m＝﹣1；
∴所求的直线方程为2x+y﹣1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根据垂直关系求直线方程的应用问题，是基础题．
3．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，2），点D满足，则点D的坐标是（ ）
A．（5，4，3）B．（3，4，3）C．（4，3，2）D．（1，2，3）
【分析】设点D的坐标为（x，y，z），利用向量相等的坐标表示，列式求解即可．
【解答】解：设点D的坐标为（x，y，z），
则，，
因为，
则，解得x＝5，y＝4，z＝3，
所以D（5，4，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量相等的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．
4．（4分）设直线m的方向向量为（1，1，﹣1），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）为平面α的三点，则直线m与平面α的位置关系是（ ）
A．m∥αB．m∥α或m⊂αC．m⊥αD．m∥α
【分析】由已知求得的坐标，再由向量数量积为0证明直线m的方向向量与平面α垂直，则答案可求．
【解答】解：∵A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1），
∴，，
而直线m的方向向量为＝（1，1，﹣1），
∵，，
∴直线m的方向向量与平面α垂直，可得m⊥α．
故选：C．
【点评】本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，考查空间向量的应用，是基础题．
5．（4分）若直线（a﹣1）x+2ay﹣1＝0与直线2x﹣（a﹣1）y﹣6＝0垂直，则a的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．1或﹣1
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵直线（a﹣1）x+2ay﹣1＝0与直线2x﹣（a﹣1）y﹣6＝0垂直，
∴2（a﹣1）+[﹣（a﹣1）]•2a＝0，
解得a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（4分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若a＝1，则两条直线方程为x+2y﹣1＝0与直线x+2y+4＝0，则两直线平行，即充分性成立，
当a＝0时，两条直线方程为2y﹣1＝0与直线x+y+4＝0，则两直线不平行，
当a≠0时，若两直线平行，则满足≠，
由得a（a+1）＝2，即a2+a﹣2＝0，得a＝1或a＝﹣2，则必要性不成立，
即“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件是解决本题的关键．
7．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝，＝，＝．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣++B．C．D．﹣﹣+
【分析】由题意可得 ＝+＝+＝+[﹣]，化简得到结果．
【解答】解：由题意可得 ＝+＝+＝+＝+（﹣）
＝+（﹣）＝﹣++，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
8．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．
【解答】解：连接AB1
∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，
∴EF∥AB1
∵AB∥CD
∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°
故选：B．
【点评】本题的考点是异面直线及其所成的角，主要考查线线角，关键是作出线线角，从而得解．
9．（4分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）＝k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③B．③④C．②④D．②③④
【分析】根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k为自变量，S△是变量k的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分k＞0和k＜0两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解．
【解答】解：∵直线y＝k（x﹣2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2﹣，0），B（0，3﹣2k）．
S△＝×|2﹣|×|3﹣2k|＝×．
当k＞0时，S△＝×＝×（4k+﹣12），
∵4k+≥2＝12，当且仅当k＝时取等号．
∴当S△＝m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，S△＝×＝×＝×[（﹣4k+）+12]，
∵﹣4k+≥2＝12．当且仅当k＝﹣时取等号．
当m＞12时，在k＜0时，k有两值；
∴当 m＝0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，∴①不正确；
当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，∴②正确；
当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，∴③正确；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，∴④正确．
故选：D．
【点评】本题借助考查命题的真假判定，考查直线与坐标轴围成的△的面积问题．S△的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得．在本题中根据斜率k取值的个数来确定直线存在的条数，这是解决此类题的常用方法．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，下列命题中，错误的是（ ）
A．点N在线段EG上时，就有MN⊥A1C1
B．点N在线段EH上时，就有MN∥平面B1D1C
C．三棱锥N﹣B1D1C1的体积有最大值
D．直线MN与平面ABCD所成的角为
【分析】A由直线垂直平面判断；B由平面与平面平行判断；C由三棱锥体积公式判断；D用极限思想判断．
【解答】解：对于A，连接ME，由题意得EG∥A1A，ME∥BD∥B1D1，所以EG⊥A1C1，ME⊥A1C1，
因为EG∩ME＝E，所以A1C1⊥平面MEG，因为MN⊂平面MEG，所以A1C1⊥MN，所以A对；
对于B，因为平面MEH∥平面B1D1C，当N在EH上时，MN⊂平面MEH，所以MN∥平面B1D1C，所以B对；
对于C，因为三棱锥N﹣B1D1C1的底面固定不变，高度是点N到A1D1的距离，不N在点E时高最大，
所以三棱锥N﹣B1D1C1的体积有最大值，所以C对；
对于D，因为当N充分靠近点E时，MN与平面ABCD成角接近零，未必是45°，所以D错．
故选：D．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了正方体结构特性质，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则z＝ ﹣3﹣4i ．
【分析】利用复数运算法则直接求解．
【解答】解：复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），
∴z＝＝
＝
＝
＝﹣3﹣4i．
故答案为：﹣3﹣4i．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）若四点A（0，2，0），B（1，﹣1，0），C（1，2，3），D（3，2m，m）共面，则实数m的值为 ﹣7 ．
【分析】由点的坐标，先求出的坐标，利用空间向量共面定理，可得，由向量相等的坐标表示，列式求解即可．
【解答】解：点A（0，2，0），B（1，﹣1，0），C（1，2，3），D（3，2m，m），
则，，
因为四点共面，
所以，
则（3，2m﹣2，m）＝x（1，﹣3，0）+y（1，0，3），
故，解得m＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了空间中点的坐标的应用，空间向量共面定理的应用以及空间向量相等的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
13．（5分）直线l：x+3y﹣1＝0的倾斜角为 π﹣arctan ，经过点且与直线l平行的直线方程为 x+3y﹣＝0 ．
【分析】利用斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，利用两条直线平行的充要条件，结合直线的点斜式方程求解即可．
【解答】解：直线l：x+3y﹣1＝0的斜率为k＝，
所以直线l的倾斜角为π﹣arctan；
由题意可知，所求直线的斜率为，又经过点，
所以所求直线的方程为y﹣＝（x﹣1），即x+3y﹣＝0．
故答案为：π﹣arctan；x+3y﹣＝0．
【点评】本题考查了直线方程的求解与应用，直线的斜率与倾斜角关系的应用，两条直线平行的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
14．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝ 2：1 ．
【分析】如图，连接AB'和A'B，设AB＝a，作出两个线面角，在直角三角形中用a表示出线段A'B'的长度，即可得出所求的比值．
【解答】β解：如图，连接AB'和A'B，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为，
在，同理可得AB与平面β所成的角为，
所以，因此在，
所以．
【点评】本题考查线面角及其相关几何运算，考查了在二面角与线面角背景下求线段长度的能力，属于立体几何知识的综合运用题，对空间想象能力要求较高．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为 ．
【分析】由题意作出图形，由直线与平面垂直的判定定理求出点P的轨迹，求出点P到棱C1D1的最大值，代入三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：由正方体的性质可知，当P位于点C时，D1O⊥OC，
当点P位于BB1的中点P1时，DD1＝2，DO＝BO＝，BP1＝B1P1＝1，B1D1＝，
求得，，
所以，故OD1⊥OP1，
又OP1∩OC＝O，所以D1O⊥平面OP1C，
故点P的轨迹在线段P1C上，由C1P1＝CP1＝，可得∠C1CP1为锐角，而CC1＝2＜，
故点P到棱C1D1的最大值为，
所以△D1C1P面积的最大值为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方体结构特征的理解和应用，考查了动点轨迹的求解，解题的关键是求出点P的轨迹，考查了空间想象能力与转化化归能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共3小题，每题10分共25分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.
16．（7分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
【分析】（1）利用“z为实数等价于z的虚部为0”计算即得结论；
（2）利用“z为虚数等价于z的实部为0”计算即得结论；
（3）利用“z为纯虚数等价于z的实部为0且虚部不为0”计算即得结论．
【解答】解：（1）z为实数⇔m2+2m﹣3＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3；
（2）z为虚数⇔m2+2m﹣3≠0且m﹣1≠0，
解得：m≠﹣3且m≠1；
（3）z为纯虚数⇔m（m+2）＝0、m﹣1≠0且m2+2m﹣3≠0，
解得：m＝0或m＝﹣2．
【点评】本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．
17．（8分）正方形中心为G（﹣1，0），一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求此正方形各边所在的直线方程．
【分析】利用点到直线的距离公式、正方形的面积计算公式、互相垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【解答】解：设直线的斜率为3的边所在直线方程为y＝3x+b，
则中心G（﹣1，0）到此边的距离d＝，
∵此正方形的面积为14.4，
∴（2d）2＝＝14.4，解得b＝9或﹣3．
可得边所在直线的斜率为3的直线方程为y＝3x+9和y＝3x﹣3．
与上述两边垂直的边所在直线的斜率为，
可设方程为y＝﹣x+c．
同理可得c＝，或．
∴此两条直线的方程为y＝或y＝﹣x﹣．
综上可得：四条边所在直线的方程分别为：y＝3x+9，y＝3x﹣3，y＝，y＝﹣x﹣．
【点评】本题考查了正方形的性质、点到直线的距离公式、正方形的面积计算公式、互相垂直的直线斜率之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．
18．（10分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝DA＝3AF．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．
【分析】（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；
（II）分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系．设AD＝3，则可得DE＝3，AF＝1，可得D、A、B、C、E和F各点的坐标，进而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面BEF的一个法向量为＝（2，1，3），而＝（﹣3，3，0）是平面BDE的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（III）设M（t，t，0）（）．可得关于t的坐标形式，根据AM∥平面BEF，得⊥＝0，由数量积为零建立关于t的方程，解之得t＝1，从而得到当BM＝BD时，AM∥平面BEF．
【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，
∴AC⊥平面BDE，结合BE⊂平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）
（II）因为直线BD、BC、BE两两垂直，所以分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系
设AD＝3，则可得DE＝3，AF＝1
因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（3，0，1）
∴＝（0，﹣3，1），＝（3，0，﹣2）…（5分）
设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），得，
令z＝3，得x＝2且y＝1，可得＝（2，1，3），…（7分）
∵AC⊥平面BDE，得＝（﹣3，3，0）是平面BDE的一个法向量
∴二面角F﹣BE﹣D的大小即为向量、所成角的大小（或其补角）
∵cs＝＝＝﹣
∴结合图形加以观察，
可得二面角F﹣BE﹣D的余弦值为|cs|＝；…（10分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，
根据（II）的结论，设M（t，t，0）（）．
则＝（t﹣3，t，0）．
∵AM∥平面BEF，∴•＝0，即2（t﹣3）+t＝0，解之得t＝2．…（12分）
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当BM＝BD时，AM∥平面BEF．…（14分）
【点评】本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线面垂直并求二面角的余弦值大小，着重考查了线面垂直、平行的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角的求法等知识，属于中档题．
四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）.
19．（6分）直线2ax﹣（a2+1）y+1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用直线的斜率和倾斜角的关系，基本不等式的应用求出θ的取值范围．
【解答】解：直线2ax﹣（a2+1）y+1＝0，
所以直线的斜率k＝tanθ＝，
整理得﹣1≤tanθ≤1，
根据正切函数的性质和直线的倾斜角范围[0，π），
所以θ∈．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
20．（6分）二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a，b分别垂直α，β，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】在空间取一点A，作A作BA∥a，AC∥b，过B作BO⊥l，交l于O，连结OC，则OC⊥l，从而直线AB与直线AC的夹角为60°，由此能求出a与b的夹角．
【解答】解：如图，二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a，b分别垂直α，β，
在空间取一点A，作A作BA∥a，AC∥b，
则 AB⊥α，B是垂足，AC⊥β，C是垂足，
过B作BO⊥l，交l于O，连结OC，则OC⊥l，
由题意ABOC是平面图形，∠BOC是二面角α﹣l﹣β的平面角，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴直线AB与直线AC的夹角为60°，
∴a与b的夹角为60°．
故选：B．
【点评】本题考查异面地直线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（ ）
A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1
B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C
D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△PMN的面积取得最小值时，P为CA1的中点．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P为A1C上的动点，
设P（λ，λ，1﹣λ），其中0≤λ≤1，M（），N（1，0，），
|PM|＝＝，
|PN|＝＝，
∴|PM|＝|PN|，△PMN为等腰三角形，底边|MN|＝，
设底边MN上的高为h，则有h＝＝．
∵3，∴时△PMN的面积取得最小值，
此时P为CA1的中点．
故选：B．
【点评】本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
22．（6分）已知复数z满足|z﹣（1﹣i）|＝1（i为虚数单位），则|z|的最大值为 +1 ．
【分析】根据题意可得在复平面内复数z对应的点到点（1，﹣1）之间的距离为1，则复数z表示的点在以（1，﹣1）为圆心1为半径的圆周上，进而可得答案．
【解答】解：因为复数z满足|z﹣（1﹣i）|＝1（i为虚数单位），
所以在复平面内复数z对应的点到点（1，﹣1）之间的距离为1，
所以复数z表示的点在以（1，﹣1）为圆心1为半径的圆周上，
所以|z|的最大值为+1＝+1，
故答案为：+1．
【点评】本题考查复数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
23．（6分）如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点，现有以下命题：
①BC⊥PC；
②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中真命题的个数为 3 ．
【分析】由题意结合几何体的结构特征考查所给的命题是否正确即可．
【解答】解：∵PA⊥面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，
∴BC⊥PC，故①正确．
∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，
∴OM∥PA，又OM⊄平面PAC，
PA⊂平面PAC，
∴OM∥平面APC，故②正确．
∵BC⊥平面PAC，
∴点B到面PAC的距离等于线段BC的长，
故③正确．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面平行的判定，点面距离的求解等知识，属于中等题．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点A（﹣1，3），则d（A，O）＝ 4 ；已知点B（1，0），点M是直线kx﹣y+k+3＝0（k＞0）上的动点，d（B，M）的最小值为 ．
【分析】直接利用新定义求出d（A，O）的值；设出M的坐标，利用新定义表示d（B，M），然后讨论它的最小值即可．
【解答】解：由题意可知：d（A，O）＝|﹣1﹣0|+|3﹣0|＝4；
设直线 kx﹣y+k+3＝0（k＞0）上的任意一点坐标（x，y），
则直角距离＝|x﹣1|+|y|，要求它的最小值就是f（x）＝|x﹣1|+|kx+k+3|的最小值，
也就是f（x）＝|x﹣1|+k|x+1+|
画出此函数的图象，由图分析得：
当k≥1时，
最小值为：2+；
当k＜1时，
最小值为：2k+3．
所以最小值是：；
故答案为：4； ．
【点评】本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答写在答题纸上的相应位置.）
25．（14分）如表，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1，a2，…，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，…，bn．
记．
（Ⅰ）当n＝3时，若a1＝1，a2＝3，a3＝5，写出S3的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数n．试给出a1，a2，…，an的一组取值，使得无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．
【分析】（Ⅰ）根据新定义计算即可，
（Ⅱ）ai＝i（i＝1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有，根据新定义求出即可，
（Ⅲ）方法一：交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变，不妨设ai＞bi，记，，求出Sn＝A﹣B，即可证明，
方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，①若在两种填法中k都位于同一行，②若在两种填法中k位于不同行，即可证明
【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，a2＝3，a3＝5，
∴b1，b2，b3值为2，4，6
∴S3＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|1﹣b1|+|3﹣b2|+|5﹣b3|，
∴S3的所有可能的取值为3，5，7，9．
（Ⅱ） 令ai＝i（i＝1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有．
因为 ai＝i，
所以 bi∈{n+1，n+2，…，2n}，（i＝1，2，…，n）．
因为 ai＜bi（i＝1，2，…，n），
所以 ．
注：{a1，a2，…，an}＝{1，2，…，n}，或{a1，a2，…，an}＝{n+1，n+2，…，2n}均满足条件．
（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变．
不妨设ai＞bi，记，，其中i＝1，2，…，n．
则 ．
因为 ，
所以 A+B与n具有相同的奇偶性．
又因为 A+B与A﹣B具有相同的奇偶性，
所以 Sn＝A﹣B与n的奇偶性相同，
所以 Sn的所有可能取值的奇偶性相同．
解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变．
考虑如下表所示的任意两种不同的填法，，，不妨设ai＜bi，a'i＜b'i，其中 i＝1，2，…，n．
．
对于任意k∈{1，2，…，2n}，
①若在两种填法中k都位于同一行，
则k在Sn+S'n的表达式中或者只出现在中，或只出现在中，且出现两次，
则对k而言，在Sn+S'n的结果中得到±2k．
②若在两种填法中k位于不同行，
则k在Sn+S'n的表达式中在与中各出现一次，
则对k而言，在Sn+S'n的结果中得到0．
由 ①②得，对于任意k∈{1，2，…，2n}，Sn+S'n必为偶数．
所以，对于表格的所有不同的填法，Sn所有可能取值的奇偶性相同．
【点评】本题考查了新定义的应用，以及数列求和问题，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于难题．
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