高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系巩固练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系巩固练习，共34页。试卷主要包含了若直线l1，设直线l1等内容，欢迎下载使用。

知识点01 两条直线的相交、平行与重合
1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组y=k1k+b1y=k2k+b2的解的情况进行判断，得出结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1与l2相交：k1≠k2; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1与l2平行：k1=k2且b1≠b2; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③l1与l2重合：k1=k2且b1=b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2
【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线y=2x-1与y=ax+1平行，则a=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解.
【详解】∵直线y=2x-1与y=ax+1平行，且y=2x-1的斜率为2，
∴它们在y轴上的截距不相等，且直线y=ax+1的斜率a也为2，
即a=2.
故选：D.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A2,1，B-3,5，l2经过点C3,-3，D8,-7；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M3,23，N-2,-33．
【答案】(1)l1//l2
(2)l1//l2或l1与l2重合
【分析】（1）由k1=k2，且A，B，C，D，四点不共线，可判断；
（2）由k1=k2，可判断.
【详解】（1）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
由题意知k1=5-1-3-2=-45，k2=-7+38-3=-45．
因为k1=k2，又kAC=-3-13-2=-4，
所以k1≠kAC，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，
所以l1//l2．
（2）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
由题意知k1=tan60°=3，k2=-33-23-2-3=3．
所以k1=k2，所以l1//l2或l1与l2重合．
知识点02两条直线的垂直
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则k1k2=-1.
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0.
【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，则a＝ .
【答案】-13
【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求a的值.
【详解】直线3x-y+1=0斜率为3，直线y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，
则直线y=ax-2的斜率a=-13.
故答案为：-13
【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交点，且与直线x+4y-7=0垂直的直线方程为 ．
【答案】4x-y-5=0
【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系，利用待定系数法求直线方程.
【详解】联立5x+2y-3=03x-5y-8=0，得x=1y=-1，
设与直线x+4y-7=0垂直的直线方程为4x-y+c=0，
得4×1+1+c=0，得c=-5，
所以直线方程为4x-y-5=0.
故答案为：4x-y-5=0
难点：分类讨论思想的运用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点A-4,0,B4,0,C2,2,D-2,2，直线y=ax+b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 ．
【答案】4-10,1
【分析】分a≥12和01或b≤0时不符合题意，所以012,b=1时，设直线y=ax+1与梯形上、下底分别交于M、N，
因为三角形MCF与三角形NEF全等，
所以直线y=ax+1a>12将四边形ABCD分割为面积相等的两部分；

当00，b>0，直线l1:(a-1)x+y-1=0，l2:x+2by+1=0，且l1⊥l2，
∴(a-1)×1+1×2b=0，即a+2b=1．
则2a+1b=2a+4ba+a+2bb=2+4ba+ab+2≥4+24ba⋅ab=4+4=8，当且仅当a=2b=12时，等号成立，
故2a+1b的最小值为8，
故选：B．
变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线x+ay-2=0与直线a2x+y+1=0垂直.则a=（ ）
A．1B．-1C．0D．0或-1
【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得.
【详解】由直线x+ay-2=0与直线a2x+y+1=0垂直，得1×a2+a×1=0，
所以a=-1或a=0.
故选：D
变式2．（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直，则（ ）
A．A=-2B≠0B．A=2B≠0
C．B=-2A≠0D．B=2A≠0
【答案】D
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线y=2x-3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax+By+C=0的斜率为-12，
即-AB=-12且A≠0，B≠0，所以B=2A≠0.
故选：D.
变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0，则下列说法正确的是（ ）
A．若A2=0，则l2表示与x轴平行或重合的直线
B．直线l1可以表示任意一条直线
C．若A1B2-A2B1=0，则l1 ∥ l2
D．若A1A2+B1B2=0，则l1⊥l2
【答案】ABD
【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断.
【详解】对于A，当A2=0时，l2斜率为0，与x轴平行或重合，故A正确；
对于B，当B1=0时，l1斜率不存在，当B1≠0时，l1斜率存在，能表示任意直线，故B正确；
对于C，若A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0，则l1 ∥ l2，故C错误；
对于D，若B1B2≠0，则由A1A2+B1B2=0可得斜率之积为-1，故l1⊥l2，若B1=0B2=0，可得A2=0A1=0，此时满足A1A2+B1B2=0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D正确.
故选：ABD.
变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线Ax+4y-2=0和直线2x-5y+C=0垂直，则A= ．
【答案】10
【分析】利用两直线垂直斜率乘积为-1计算可得A=10.
【详解】易知直线Ax+4y-2=0的斜率为-A4，
直线2x-5y+C=0的斜率为25,
由两直线垂直可得-A4×25=-1，解得A=10.
故答案为：10
变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线l1:ax-a-4y+2=0，直线l2:2x+ay-1=0.
(1)若l1 // l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
【答案】(1)a=2
(2)a=6或a=0.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【详解】（1）因为l1 ∥ l2，所以a2+2a-4=0，
整理得a2+2a-8=a-2a+4=0,
解得a=2或a=-4.
当a=-4时，l1:-4x+8y+2=0,l2:2x-4y-1=0,l1,l2重合；
当a=2时，l1:2x+2y+2=0,l2:2x+2y-1=0，符合题意.
故a=2.
（2）因为l1⊥l2，所以2a-aa-4=0,
解得a=6或a=0.
变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点A1,0，B-1,2．
(1)设m∈R，若直线AB与直线x-my+1=0垂直，求m的值；
(2)求过点B且与直线2x-y+1=0夹角的余弦值为255的直线方程．
【答案】(1)m=1
(2)3x-4y-11=0或x=-1
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对△ACD用正弦定理，得到β的正弦值，对△BDE用正弦定理，得到|BE|，设出交点求解二次方程即可求解.
【详解】（1）直线AB的斜率为2-0-1-1=-1，因为直线AB与直线x-my+1=0垂直，
所以1m×(-1)=-1，所以m=1；
（2）
如图点E为过点B且与直线2x-y+1=0夹角的余弦值为255的直线与直线y=2x+1的交点，
点C(-12,0)为直线y=2x+1与x轴的交点，点D(0,1)为直线AB与直线y=2x+1的交点，
点E'(-1,-1)为过点B作x轴的垂线交直线y=2x+1的交点，∠α=∠BED，∠β=∠BDE，
设夹角为α，因为csα=255，所以sinα=55，
因为|AC|=32，|CD|=12+(-12)2=52，
所以在△ACD中，sinβ|AC|=sin45°|CD|，所以sinβ=3225，
因为|BD|=12+12=2，所以在△BDE中，sinβ|BE|=sinα|BD|，
所以3225|BE|=552，所以|BE|=3，易知|BE'|=|BE|=3，
设交点E坐标为(x,2x+1)，所以(x+1)2+(2x+1-2)2=32，
所以x=75或-1，所以交点坐标为(75,195)或(-1,-1)，
所以直线方程为x-75y-195=-1-752-195或x-(-1)y-(-1)=-1-(-1)2-(-1)，
即3x-4y-11=0或x=-1.
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为 ．
【答案】135°
【分析】根据垂直关系可得直线l2的斜率k=-1，进而可得斜率.
【详解】因为直线l1的斜率k1=1，且直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k=-1，
所以直线l2的倾斜角为135°．
故答案为：135°.
【方法技巧与总结】
1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
【题型4：由平行关系求直线方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线2x+3y+1=0平行且过点0,1的直线方程是（ ）
A．2x+3y-3=0
B．3x+2y-2=0
C．2x-3y+3=0
D．3x-2y+2=0
【答案】A
【分析】设所求直线方程为2x+3y+C=0，代入点的坐标求得C，即可得出答案.
【详解】设所求直线方程为2x+3y+C=0，
又过点0,1，则可得3+C=0，解得C=-3，
则所求直线方程为2x+3y-3=0
故选：A
变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．2x+y+5=0B．2x+y-5=0
C．x+2y-5=0D．x+2y+5=0
【答案】C
【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为x+2y+c=0,(c≠-2)，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案.
【详解】由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0,(c≠-2)，
因为(5,0)在该直线上，
所以5+2×0+c=0，得c=-5，
故该直线方程为x+2y-5=0，
故选：C
变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点A3,2，且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．4x-y-10=0B．x+4y-11=0
C．4x+y-14=0D．x-4y+5=0
【答案】C
【分析】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为4x+y+c=0，代入已知点的坐标待定系数c可得.
【详解】与直线4x+y-2=0平行的直线的方程可设为4x+y+c=0c≠-2，
又经过点A3,2，所以12+2+c=0，解得c=-14，
故所求直线方程为4x+y-14=0.
故选：C.
变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点0,1且与直线2x-y-1=0平行的直线方程是（ ）
A．2x-y+1=0B．2x-y-2=0
C．2x+y-1=0D．2x+y-2=0
【答案】A
【分析】根据互相平行直线方程的特点，结合代入法进行求解即可.
【详解】与直线2x-y-1=0平行的直线方程可设为2x-y+m=0m≠-1，
因为点0,1在直线2x-y+m=0上，
所以2×0-1+m=0⇒m=1，
即过点0,1且与直线2x-y-1=0平行的直线方程是2x-y+1=0，
故选：A
变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点A2,-3且与直线x+y+3=0平行的直线方程为 .
【答案】x+y+1=0
【分析】根据平行得出斜率，利用过点A2,-3即可得出直线方程.
【详解】由题意，
与直线x+y+3=0平行的直线的斜率为-1，
直线过点A2,-3，
∴过点A2,-3且与直线x+y+3=0平行的直线方程为：y--3=-1x-2，
即：x+y+1=0.
故答案为：x+y+1=0.
变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点P2,3；
(2)平行于直线3x+y-1=0.
【答案】(1)2x+y-7=0
(2)3x+y-8=0
【分析】（1）求出两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交点，利用两点式方程整理计算即可;
（2）求出平行于3x+y-1=0的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.
【详解】（1）由2x-y+3=03x-y+2=0,解得x=1y=5,
即两直线的交点坐标为1,5.
直线经过点1,5和2,3，由两点式方程得，y-35-3=x-21-2，
化简得所求直线方程为2x+y-7=0.
（2）由3x+y-1=0可得直线的斜率为-3，
故平行于直线3x+y-1=0的直线的斜率为-3，
结合（1）问可得：两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交点为1,5，
由点斜式方程得，y-5=-3x-1，
化简得所求直线方程为3x+y-8=0.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
【题型5：由垂直关系求直线方程】
例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线l1:x+2y-4=0，l2:2x-y-3=0的交点，且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为（ ）
A．3x-y-5=0B．6x-2y-3=0
C．x-3y+3=0D．3x+y-7=0
【答案】A
【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线x+3y+1=0垂直可设所求直线为3x-y+m=0，将交点坐标代入可求得结果.
【详解】由x+2y-4=02x-y-3=0，得x=2y=1，
设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0，则
3×2-1+m=0，得m=-5，
所以所求直线方程为3x-y-5=0.
故选：A
变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，则下列说法正确的有（ ）
A．过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y-9=0
B．直线AC的方程为2x+y-11=0
C．点C的坐标为4,3
D．边AC的垂直平分线的方程为x-2y-1=0
【答案】ABC
【分析】设过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y+C=0，再将点A代入即可判断A；先求出AC的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线AC,CM的方程即可判断C；求出边AC的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D.
【详解】对于A，设过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y+C=0，
则2×5-1+C=0，解得C=-9，
所以过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y-9=0，故A正确；
对于B，由题意知，kBH=12，
∵AC⊥BH，∴kAC=-2，
所以直线AC的方程为y-1=-2x-5，即2x+y-11=0，故B正确；
对于C，联立2x+y-11=02x-y-5=0，解得x=4y=3，
所以点C的坐标为4,3，故C正确；
对于D，边AC的中点坐标为92,2，kAC=-2，
所以边AC的垂直平分线的斜率为12，
所以边AC的垂直平分线的方程为y-2=12x-92，即2x-4y-1=0，故D错误.
故选：ABC.
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线l过点(-2,2)且与直线x+2y=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为
【答案】9
【分析】根据直线垂直求出直线l的方程，再求出直线l与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积.
【详解】直线l过点(-2,2)且与直线x+2y=0垂直，直线x+2y=0的斜率为-12，得直线l的斜率为2，
故直线l的方程为y-2=2x+2，即y=2x+6，
当x=0时，y=6，当y=0时，x=-3，
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为12×6×3=9.
故答案为：9
变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点，且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是 ．
【答案】x+y-2=0
【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程．
【详解】过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点，
故x-2y+1=03x-y-2=0，解得x=1y=1，故交点坐标为(1,1)；
故过点(1,1)且与直线x-y+1=0垂直的直线方程为y-1=-(x-1)，整理得x+y-2=0．
故答案为：x+y-2=0．
变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点M1,2且与直线2x-y+8=0垂直的直线方程为 .
【答案】x+2y-5=0
【分析】由题可设直线方程为x+2y+c=0，代入已知点坐标即得.
【详解】由题可设所求直线方程为x+2y+c=0，
代入点M1,2，可得1+4+c=0，即c=-5，
所以经过点M1,2且与直线2x-y+8=0垂直的直线方程为x+2y-5=0.
故答案为：x+2y-5=0.
变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知△ABC的两顶点坐标为A1,-1，C3,0，B1(0,1)是边AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程.
【答案】(1)3x+4y-9=0；
(2)4x-3y-7=0.
【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B的坐标，利用点斜式求直线BC方程，再化为一般式即可；
（2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD的斜率，利用点斜式求直线AD方程，再化为一般式即可.
【详解】（1）因为B1(0,1)是边AB的中点，所以B-1,3，
所以直线BC的斜率kBC=-34，
所以BC所在直线的方程为：y=-34x-3，即3x+4y-9=0，
（2）因为B1(0,1)是边AB的中点，所以B-1,3，
因为AD是BC边上的高，
所以kBC⋅kAD=-1，所以3-0-1-3⋅kAD=-1，
所以kAD=43，
因此高AD所在直线的方程为：y+1=43(x-1)，即4x-3y-7=0.

变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线l经过点-2,2，求分别满足下列条件直线l的方程：
(1)垂直于直线3x-2y+4=0；
(2)平行于直线4x-3y-7=0.
【答案】(1)2x+3y-2=0
(2)4x-3y+14=0
【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解；
（2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解.
【详解】（1）因为垂直于直线3x﹣2y+4＝0，所以所求直线斜率为k=-23，
所求直线方程为y-2=-23x+2，即2x+3y-2=0.
（2）因为平行于直线4x﹣3y﹣7＝0,所以斜率k=43.所求直线方程为y-2=43x+2，即4x-3y+14=0.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点A3,3和直线l： y=34x-52，求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
【答案】(1)y-3=34x-3
(2)y-3=-43x-3
【分析】（1）可知直线l的斜率k=34，根据平行关系结合点斜式方程运算求解；
（2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解.
【详解】（1）因为直线l：y＝34x-52，则直线l的斜率k=34，
可知与直线l平行的直线的斜率k1=34，
过点A3,3且与直线l平行的直线方程为y-3=34x-3.
（2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率k2=-43，
过点A3,3且与直线l垂直的直线方程为y-3=-43x-3.
变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线所在直线的方程．
【答案】(1)x+2y-4=0
(2)2x-y+2=0
【分析】（1）利用斜率公式求出直线BC的斜率，代入点斜式即可得解；
（2）利用中点坐标公式求出BC的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解.
【详解】（1）因为B(2,1)，C(-2,3)，
所以BC边所在直线的斜率为3-1-2-2=-12，且B(2,1)，
所以BC边所在直线的方程为y-1=-12x-2，即x+2y-4=0.
（2）因为B(2,1)，C(-2,3)，所以BC的中点为0,2，
又直线BC的斜率为-12，所以BC边的垂直平分线所在直线的斜率为2，
所以BC边的垂直平分线所在直线的方程为y-2=2x-0，即2x-y+2=0.
变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知△ABC的三个顶点是A4,0，B6,7，C0,4．
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
【答案】(1)11x+2y-44=0
(2)2x+y-8=0
(3)x-y=0
【分析】（1）求出BC中点，则可得到中线的直线方程；
（2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到BC边上的高的直线方程；
（3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程.
【详解】（1）B6,7，C0,4，由中点坐标公式得BC中点为3,112，
又A4,0，由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为y-0112-0=x-43-4，
整理得：11x+2y-44=0.
（2）B6,7，C0,4，则kBC=7-46-0=12，所以BC边上的高的直线的斜率为-2，
又A4,0，则BC边上的高的直线方程为y-0=-2（x-4），
整理得：2x+y-8=0．
（3）因为A4,0，C0,4，则其中点坐标为2,2，
而kAC=4-00-4=-1，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：y-2=x-2，
即x-y=0.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：a-1x+b+2y+c=0，若l//y轴，则下列结论正确的是（ ）
A．a≠1，b≠2，c≠0B．a≠1，b=-2，c≠0
C．a=1，b≠-2，c≠0D．a=1，b≠-2，c≠0
【答案】B
【分析】利用直线l与y轴平行但不重合的性质直接求解即可．
【详解】∵直线l：a-1x+b+2y+c=0平行于y轴，
∴a-1≠0b+2=0c≠0，解得a≠1，b=-2，c≠0．
故选：B.
2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点A2,5和点B-4,5的直线与直线y=3的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得AB的斜率，得出直线AB的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，由点A(2,5)和点B(-4,5)，可得kAB=5-5-4-2=0，所以AB的方程为y=5，又由直线y=3的斜率为0，且两直线不重合，所以两直线平行.
故选：B．
3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知Px0,y0是直线l：Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0与l的倾斜角（ ）
A．相等B．互余C．互补D．不相等
【答案】A
【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断.
【详解】由直线方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0，即Ax+By+Ax0+By0+2C=0，
又l：Ax+By+C=0，
又Px0,y0在直线Ax+By+C=0外，所以Ax0+By0+C≠0，
则AA=BB≠Ax0+By0+2CC，
所以直线与l平行，
即两直线倾斜角相等，
故选：A.
4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“m=-1”是“直线l1:x+my-2=0与直线l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】由两直线互相垂直可得1×(m-2)+m×3m=0，求解可得结论.
【详解】由直线l1:x+my-2=0与直线l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直，
可得1×(m-2)+m×3m=0，解得m=-1或m=23，
所以“m=-1”是“直线l1与直线l2互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点1,-3且与直线x-2y+1=0平行的直线方程是（ ）
A．x-2y-7=0B．x+2y+5=0
C．2x+y+1=0D．2x-y-5=0
【答案】A
【分析】根据直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0（C1≠C2）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数.
【详解】设与直线x-2y+1=0平行的直线方程是x-2y+λ=0(λ≠1)，
代入点1,-3，得1+6+λ=0，解得λ=-7，
所以所求的直线方程是x-2y-7=0．
故选:A
6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线l1的倾斜角为π3，直线l2过点(-1,3)，若l1//l2，则l2在y轴上的截距为（ ）
A．-23B．-2C．2D．23
【答案】D
【分析】求出直线l2的斜率，点斜式得到直线方程，求出答案.
【详解】由题意得直线l2的斜率为tanπ3=3，故直线l2的方程为y-3=3x+1，
即y=3x+23，令x=0得y=23，
故l2在y轴上的截距为23.
故选：D
7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线x+2y-3=0和2x+my+2=0互相平行，则m的值是（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
【答案】D
【分析】根据题意得到平行时的方程，解出即可.
【详解】由题意得-m+2×2=0，解得m=4，
此时后者直线方程为x+2y+1=0，满足题意.
故选：D.
8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点P-1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x-2y+5=0B．x+2y-3=0C．2x-y+4=0D．2x-y=0
【答案】C
【分析】由题意设直线方程为：2x-y+m=0，将点P-1,2代入求解.
【详解】解：由题意设直线方程为：2x-y+m=0，
因为该直线过点P-1,2，
所以2×-1-2+m=0，
解得m=4，
所以直线方程为：2x-y+4=0，
故选：C
二、多选题
9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1:2x-y+1=0,l2:x+y-1=0,l3:2x+ay+a-2=0可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A．-1B．0C．1D．3
【答案】BD
【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果.
【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点；
当l1,l3平行时可得a=-1，此时不合题意，因此a≠-1；
联立l1,l2，即2x-y+1=0x+y-1=0，解得交点坐标为0,1，
因此0,1不在l3:2x+ay+a-2=0上，即可得a+a-2≠0，可得a≠1；
所以若三条直线围成一个三角形，只需a≠-1且a≠1即可.
故选：BD
10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点P-4,2，Q6,-4，R12,6，S2,12，则下面四个结论正确的是（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PSC．PS∥QSD．PR⊥QS
【答案】ABD
【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断.
【详解】由题意可得：kPQ=-4-26+4=-35，kSR=12-62-12=-35，kPS=12-22+4=53，kQS=12+42-6=-4，kPR=6-212+4=14，
因为kPQ=kSR≠kPS，可知PQ∥SR，故A正确；
因为kPQ⋅kPS=-1，可知PQ⊥PS，故B正确；
因为kPS≠kQS，可知PS与QS不平行，故C错误；
因为kPR⋅kQS=-1，可知PR⊥QS，故D正确；
故选：ABD.
11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知△PMN的顶点坐标分别为P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，则（ ）
A．△PMN为直角三角形
B．过点P斜率范围是-33,3的直线与线段MN有公共点
C．x+3y=0是△PMN的一条中位线所在直线方程
D．x-3y+2=0是△PMN的一条高线所在直线的方程
【答案】AC
【分析】求直线PM,PN的斜率，根据斜率关系判断PM与PN的位置关系，由此判断△PMN的形状，结合图像及两点斜率公式判断B，求△PMN的中位线方程，判断C，求△PMN的高的方程判断D.
【详解】由已知kPM=-3-3-1-1=3,kPN=0-34-1=-33，所以kPMkPN=-1，故△PMN为直角三角形，A正确；如图可得过点P与线段MN有公共点的直线斜率范围是-∞,-33∪[3,+∞)，B错误；P,M的中点为0,0，P,N的中点为52，32，M,N的中点为32,-32，过点0,0，32,-32的直线方程为x+3y=0，所以x+3y=0为△PMN的一条中位线，故C正确；直线直线x-3y+2=0的斜率为33，又kPM=3,kPN=-33，kMN=35，所以直线x-3y+2=0与△PMN的三条边都不垂直，所以直线x-3y+2=0不是x-3y+2=0的高，故D错误，
故选：AC.
三、填空题
12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点M(2,-3)且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是 .
【答案】2x-y-7=0
【分析】由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，与直线x+2y-9=0垂直的直线的斜率为2，
所以所求直线方程为y+3=2(x-2)，即2x-y-7=0.
故答案为：2x-y-7=0
13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线l过点-2,2且与直线x+2y=0平行，则直线l与x，y轴围成的三角形面积为 .
【答案】1
【分析】根据直线平行求出直线l的方程，再求出直线l与x，y轴的交点，进而可得与x，y轴围成的三角形面积.
【详解】直线x+2y=0的斜率为-12，
故直线l的方程为y=-12x+2+2，即x+2y-2=0，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
所以直线l与x，y轴围成的三角形面积为12×1×2=1.
故答案为：1
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1//l2，则直线l2的斜率为 ．
【答案】33
【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果.
【详解】因为直线l1的倾斜角为30°，所以kl1=tan30°=33，
又l1//l2，所以kl2=kl1=33.
故答案为：33
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)l1:y=2x+3，l2:2x-y+5=0；
(2)l1:y=2x+1，l2:x-2y=0；
(3)l1:x=3，l2:x=10；
(4)l1:y=2x+1，l2:2x-y+1=0．
【答案】(1)l1//l2
(2)相交，交点为(-23,-13)
(3)l1//l2
(4)重合
【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解.
【详解】（1）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2．
因为k1=k2=2，b1=3，b2=5，b1≠b2，所以l1//l2．
（2）因为k1=2，k2=12，k1≠k2，所以l1与l2相交．
y=2x+1x-2y=0，解得x=-23y=-13，所以交点为(-23,-13).
（3）由两直线的方程可知，l1//y轴，l2//y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，所以l1//l2．
（4）l2:y=2x+1，因为k1=k2=2，b1=b2=1，所以l1与l2重合．
16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线l过点(1,2)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)设O为坐标原点，若l与x轴正半轴交于点A,l与y轴正半轴交于点B，求△OAB面积的最小值．
【答案】(1)2x-y=0或x+y-3=0
(2)4
【分析】（1）因为l在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为0，分类求解；
（2）设直线斜率为k，求解与坐标轴的交点，将△OAB面积表示为函数f(k)，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线l过点(1,2)．
所以l方程为y=2x，即2x-y=0；
②当直线不过坐标原点，，设l方程为xa+ya=1，
由直线l过点(1,2)，将1,2代入方程得1a+2a=1，解得a=3，
所以直线l的方程为x3+y3=1，即x+y-3=0；
综上：l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
（2）由题意知l斜率k存在且小于0，设l方程为y-2=k(x-1)，
令x=0，解得y=2-k；令y=0，解得x=1-2k；
因为k0，-2k>0，
所以△OAB面积S=122-k1-2k=124+-k+-4k
≥124+2-k-4k=4，
当且仅当-k=-4k即k=-2时取等号，
所以△OAB面积的最小值为4.
17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形ABCD的顶点A､C的坐标分别为A-1,-1､C9,-13,BC边所在直线过点P4,-3.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线BD所在直线的方程.
【答案】(1)2x+y+3=0
(2)5x-6y-62=0
【分析】（1）先根据菱形的性质得BC ∥ AD；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算kAD；最后利用点斜式方程即可解答.
（2）先求出线段AC的中点坐标及kAC；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答.
【详解】（1）
由菱形的性质可知:BC ∥ AD.
∵ BC边所在直线过点P4,-3，点C坐标为9,-13，
∴则kAD=kBC=kCP=-3+134-9=-2.
又∵点A坐标为-1,-1，
∴ AD边所在直线的方程为y+1=-2x+1，即2x+y+3=0.
所以AD边所在直线的方程为2x+y+3=0.
（2）∵ A-1,-1､C9,-13，
∴线段AC的中点为E4,-7，且kAC=-13+19+1=-65.
由菱形的几何性质可知：BD⊥AC且E为BD的中点.
则kBD=-1kAC=56.
所以对角线BD所在直线的方程为y+7=56x-4，
即5x-6y-62=0.
所以对角线BD所在直线的方程为：5x-6y-62=0.
18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A-1,4，B-2,-1，C2,3.

(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
(2)在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程.
【答案】(1)D3,8
(2)x+5y-19=0
【分析】（1）先求出线段AC中点M坐标，再利用平行四边形的性质得M为线段BD中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可；
（2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可.
【详解】（1）设线段AC中点为M，则M点坐标为12,72，
设点D坐标为x,y，由平行四边形性质得M为线段BD中点，有-2+x2=12-1+y2=72，
解得x=3y=8，所以D3,8；

（2）因为直线CD的斜率为k=8-33-2=5，
所以CD边上的高线所在直线的斜率为-15，
又A-1,4，故CD边上的高线所在直线的方程为y-4=-15(x+1)，
即为x+5y-19=0.
19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线l： kx-y+2-k=0（k∈R）交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B．
(1)O为坐标原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程；
(2)设点P是直线l经过的定点，求PA·PB的值最小时直线l的方程．
【答案】(1)2x+y-4=0
(2)x+y-3=0．
【分析】（1）求出点A,B的坐标，表示△AOB的面积，结合基本不等式求其最小值，可得k的值，由此确定直线l的方程；
（2）由直线方程求出定点P的坐标，结合数量积坐标运算求PA·PB，利用基本不等式求其最小值，由此确定直线l的方程.
【详解】（1）作图可知k0,-2k>0，由基本不等式可得-k2-2k≥2(-k2)(-2k)=2，当且仅当k=-2时取等号，
所以S△AOB=2-k2-2k≥2+2=4，当且仅当k=-2时取等号，
所以△AOB面积最小时，直线l的方程为2x+y-4=0．
（2）因为直线l的方程可化为kx-1+2-y=0，
所以直线l经过的定点P1,2，
所以PA=-2k,-2,PB=-1,-k
所以PA⋅PB=-2k,-2⋅-1,-k=2k+2k=PA⋅PBcsπ=-PA⋅PB，
又-2k>0,-2k>0，
所以PA⋅PB=-2k-2k≥2(-2k)(-2k)=4，当且仅当k=-1时等号成立，
所以PA⋅PB的值最小时，直线l的方程为x+y-3=0．
课程标准
学习目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标:
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
1.掌握两条直线平行的条件:
2.能应用两条直线平行的条件解题.
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2⇔k1k2=-1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示