河北省衡水市冀州中学2024届高三上学期9月一轮复习效果验收 数学试题（二）（含解析）

这是一份河北省衡水市冀州中学2024届高三上学期9月一轮复习效果验收 数学试题（二）（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B．C．4D．8
6．设，是椭圆：的左，右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2B．C．D．
8．球半径为，球面上有三点､､，，，则四面体的体积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中支出在元的频率为
B．采用分层抽样从这人中抽出人，则在中共需抽出人
C．的值为
D．该校学生一周生活方面支出的中位数大约是元（精确到个位数）
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．若，则或
C．的最小值为
D．若正数满足，则
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．是函数的一条对称轴
B．
C．在上有2023个实数解
D．若，则函数在上单调递增
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则( )

A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题
13．A，，，，共5名同学站成一排，则A，必须相邻，，不能相邻的概率为 .
14．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，则该四棱台的高是 .
15．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 ．
16．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，（从下至上依次为）．若，则直线的斜率为 ．
四、解答题
17．已知数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18．在△中，内角的对边分别为，
(1)求B；
(2)设，求△的周长的取值范围；.
19．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若为的中点，直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的大小.
20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）
(1)写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望(精确到0.01)．（参考公式）
21．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
22．已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．
第一扇门
第二扇门
第三扇门
第四扇门
1000
2000
3000
5000
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1．A
【分析】求出集合，再求交集.
【详解】由已知，
所以.
故选：A
2．D
【分析】根据题意得到，计算求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
即，所以复数的虚部为：.
故选：D.
3．B
【分析】利用向量平行列方程，化简求得的值，从而求得.
【详解】依题意，
所以，即，
所以.
故选：B
4．C
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
即在上为增函数且函数值大于，
由函数，则，故，
则的取值范围是.
故选：C.
5．B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，当且仅当，即时“=”，
所以的最小值为.
故选：B
6．C
【分析】设直线与轴的交点为，根据题意画出图形，根据图形可得出在中，，从而可得出的关系式，即可求出椭圆的离心率.
【详解】设直线与轴的交点为，则，
因为是底角为的等腰三角形，所以，，
所以在中，，，
即，解得.
故选：C.
7．C
【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
8．A
【分析】求出的外接圆的半径，可得到平面的距离，计算的面积，即可求出四面体的体积.
【详解】，，
，又，
，
由正弦定理知，的外接圆的半径为，
由球的截面性质可知，到平面的距离为，
，
四面体的体积是.
故选：A
9．BCD
【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可判断A选项；计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断B选项；利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断C选项；利用频率分布直方图计算出中位数，可判断D选项.
【详解】对于A选项，样本中支出在元的频率为，A错；
对于B选项，样本中支出在的频率为，
所以，采用分层抽样从这人中抽出人，
则在中共需抽出的人数为，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，
设样本中支出的中位数为，则，且，解得，
所以，该校学生一周生活方面支出的中位数大约是元（精确到个位数），D对.
故选：BCD.
10．AD
【分析】根据存在量词命题的否定即可判断A；根据集合间的包含关系可得，进而求解即可判断B；
由利用基本不等式从而求解对C判断；根据基本不等式即可求解判断D.
【详解】对A：“，”的否定为“，”，故A正确；
对B：令，解得或，当时，，不满足元素的互异性，不符合题意，
当时，满足题意.综上所述，，故B错误；
对C：，当且仅当时取等号，但无实数解，故取不到等号，故C错误；
对D：，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】由图象可知周期，从而求得，可判断B；由求得，令求解可判断A；利用余弦函数的性质结合周期可判断C；由复合函数的单调性可判断D.
【详解】由图可知，最小正周期，所以，
对于B，因为，所以，
所以，即，
又，所以，此时，B错误；
对于A，令，则，，
当时，，A正确；
对于C，因为，，
所以在上有2个实数解，
又的最小正周期，
所以在上有2022个实数解，
又，
所以在上有1个实数解，
故在上有2023个实数解，C正确；
对于D，，所以，
当时，，单调递减，
所以，
令，则，
而在此区间单调递减，所以函数在单调递增，D正确.
故选：ACD
12．AB
【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D．
【详解】选项A，连接，，正方体中易知，
分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确；

选项B，如图，取中点为，连接，
因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；

选项C，正方体中，分别是中点，则，
在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点，为所过三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，
由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质，
设，，则，，
是中点，，则，所以，同理，
，，，
梯形是等腰梯形，高为，
截面面积，
设，，，
在上递增，，，
所以，C错；

选项D，
取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体），它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D错．

故选：AB．
13．##.
【分析】由题可得总情况数，后将A，看成整体，按A，所处位置分情况可得满足题意的排列数，即可得答案.
【详解】所有可能性为，将A，看成整体，若A，在队首，则，只能排第2和第4，情况数为；
若A，在队尾，则，只能排第1和第3，情况数为；
若A，在第2，则，只能排第1和第4，或第1和第3，情况数为；
若A，在第3，则，只能排第1和第4，或第2和第4，情况数为.
综上，满足题意的排法情况数为：.则相应概率为：.
故答案为：
14．
【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案.
【详解】设球O与上底面、下底面分别切于点，
与面，面分别切于点，
作出其截面如图所示，则，，
于是，
过点M作于点H，则，
由勾股定理可得︰,
所以，
所以该四棱台的高是.
故答案为：

15．15
【分析】由，，成等差数列可得，利用通项公式代入求出公比，再由等比数列求和公式即可求.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
因为，且各项均为正数，
所以解得，
所以.
故答案为：15
16．
【分析】设直线l的方程为，与抛物线的方程联立整理得，设，则①，②，再由抛物线的定义得，联立可解得的值，从而得直线的斜率.
【详解】作出图示如下图所示，因为圆的圆心为，半径，抛物线焦点，
所以设直线l的方程为，与抛物线的方程联立得，
整理得，设，则①，②，
又，，
又，所以，即③，联立①，②，③解得，
所以直线l的方程为，即，所以直线的斜率为，
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系之满足交点条件，求出参数值的问题，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质可得：，结合，可得，故数列为等比数列，利用等比数列的通项公式得出，从而得出；（2）由（1）得，用错位相减法和分组求和相结合可得结果.
试题解析：（1）成等差数列，，
又
得即即，
又当时，
故数列是首项为2公比为2的等比数列，
即.
（2）由（1）知，，
记
得
.
点睛：本题考查了等差数列的性质以及常见的运用错位相减法和分组求和法对数列进行求和，属于中档题；已知的关系时，主要利用进行求数列的通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用条件和余弦定理即可求出B；
（2）运用余弦定理求出a+c的范围即可.
【详解】（1）由余弦定理知，所以，
整理得，所以，
因为，所以；
（2）由（1）知，
当且仅当时，等号成立．
因为，所以，即，
又因为，所以，
所以，
所以的周长的取值范围是；
综上，，的周长的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为点，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据直线与底面所成角的正弦值为，求出的值，可得出的值，可得出点的坐标，再利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的大小.
【详解】（1）证明：过点作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，又、平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为四边形为正方形，则，
又因为平面，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，因为，且，，
所以，，则，
且，则，
因为，所以，，即，
则，，
易知为底面的一个法向量；
因为直线与底面所成角的正弦值为，
所以，
化简得，解得（舍去），所以，所以，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
又因为，所以，.
所以，平面与平面的夹角为，
20．(1)答案见解析
(2)分布列见解析，期望约为1333.33
【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；
（2）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．
【详解】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到，
∴有的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．
（2）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000，
则，
，
，
，
，
ξ的分布列为：
ξ的数学期望为：.
21．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由题知双曲线的标准方程为，进而设设，在点的切线方程为，再与双曲线方程联立，结合位置关系得，进而得，再根据向量数量积的坐标表示证明即可；
（2）设，直线的方程为，进而与双曲线方程联立，结合韦达定理与化简整理得，进而得，此时结合（1）得，，，再计算面积即可.
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，
所以，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，
所以，设，在点的切线方程为，
联立方程得
所以，，即①
因为，代入①式得，解得
所以，在点的切线方程为，
所以点的坐标为，即，
因为，
所以
所以，
（2）解：由题，设直线的方程为，
与双曲线方程联立得，
设，
所以
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
所以，
整理得：②
将代入②整理得：③
结合可知时，③式恒成立，
所以，由（1）可知，，，
所以，
所以的面积.
22．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，证明即可；
（2）求导，在上的极值点个数即为函数在上零点的个数，当时，令，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，画出其大致图象，结合图象即可得出答案.
【详解】（1）若，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以，
所以函数在上单调递减，
即函数在上单调递减，
又，
故存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以；
（2），
在上的极值点个数，
即为函数在上零点的个数（零点两边异号），
因为，所以不是函数的零点，
当时，
令，则，
令，
因为，
所以函数为偶函数，
，
令，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，
所以函数在上单调递减，
又，当时，，，
如图，作出函数的大致图象，

由图可知，当，即时，函数无零点，
所以函数在上没有极值点，
当，即时，
函数有个不同的零点，且零点两边异号，
所以函数在上有个极值点，
综上所述，当时，函数在上没有极值点；
当时，函数在上有个极值点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
正确
错误
合计
20～30（岁）
10
30
40
30～40（岁）
10
70
80
合计
20
100
120
ξ
0
1000
3000
6000
11000
P