河南省周口市项城市2024届高三数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份河南省周口市项城市2024届高三数学上学期第一次月考试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1已知全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，B的并集，根据补集的概念和运算，即可得出答案.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B
2. 命题：“，”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；
【详解】解：命题：“，”为全称量词命题，其否定为：；
故选：D
3. 已知，则下列命题正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】对于A，当时，如，时成立，故A错误；
对于B，当，显然，但，故B错误；
对于C，当时，显然，但，故C错误；
对于D，，则，故D正确．
故选：D．
4. 不等式的解集为（）
AB. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】不等式变形为，即，
所以不等式的解集为：，即为.
故选：A
5. 若函数，则（ ）
A. B. 2
C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数，分段判断代入计算作答.
【详解】函数，则，
所以.
故选：A
6. 函数，的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算的值即可判断AB选项，通过函数奇偶性的判断与证明即可判断CD选项.
【详解】，故AB错误，
的定义域为，关于原点对称，
且，
故为偶函数，故C错误，D正确，
故选：D.
7. 已知正数a，b满足，则的最小值为（）
A. 8B. 10C. 9D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，
故选：A
8. 已知函数是上的偶函数，当，且时，有．设，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断的单调性，再由偶函数的性质结合得出.
【详解】由题意可知在上单调递减，且，，．又，，，且，故，所以，即．
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中是真命题的是（）
A. 且是的充要条件
B. 是的充分不必要条件
C. 是有实数解的充要条件
D. 三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，可举出反例；BD可推导出正确；C选项，根据一元二次方程有解，满足，故C错误.
【详解】A选项，当时，满足，但不满足且，
故且不是的充要条件，A错误；
B选项，因为，但，
故是的充分不必要条件，B正确；
C选项，有实数解，则要满足，故C错误；
D选项，三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形，
反之，若一个三角形是直角三角形，则三边满足勾股定理，
故三角形三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形，D正确.
故选：BD
10. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】抓住，的特征及，逐项判断即可.
【详解】对，，定义域不关于原点对称，故A项不符合；
对，，，故B项符合；
对，，定义域不关于原点对称，故C项不符合；
对，定义域关于原点对称，
当时，，；
当时，，，故D项符合，
故选：BD
11. 已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.
【详解】A选项：为单调减函数，所以；
B选项：与，当时，当时，所以；
C选项：在时，而在时，所以；
D选项：在上单调递增，所以；
故选：BC.
【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（）
A. 函数关于直线对称
B. 4是函数的周期
C.
D. 方程恰有4不同的根
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数在单调递减，则实数_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数定义与性质列式求解即可.
【详解】由题意可得：，解得.
故答案为：.
14. ＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数的运算法则，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
15. 已知函数为上的奇函数，当时，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，然后再结合奇函数的性质可求得结果.
【详解】因为函数为上的奇函数，当时，，
所以，得，
所以当时，，
所以，
故答案为：
16. 已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；
(2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
；
【小问2详解】
由(1)知，，
，解得：，
所以的取值范围是.
18. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，
可得.
（2）根据对数的运算性质，
可得
.
【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
19. 已知不等式的解集为或.
（1）求实数，的值；
（2）解不等式.
【答案】（1），；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解作答.
（2）利用（1）的结论，求解含参的一元二次不等式作答.
小问1详解】
因为不等式的解集为或，则是方程的二根，且，
因此，解得，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，不等式为，即，
当时，；当时，；当时，，
所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为.
20. 一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用年后需要的维护费总计万元，该设备每年创造利润50万元.
（1）求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？
（2）求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？
【答案】（1）10年，102万元； （2）7年，12万元.
【解析】
【分析】(1)设该设备使用年后获得总利润为万元，则，结合二次函数的性质即可求解；
(2)由(1)可得，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
设该设备使用年后获得总利润为万元，
则，
该二次函数为开口向下、对称轴为的抛物线，
所以当时，函数y即总利润取得最大，且最大值为102万元；
【小问2详解】
由(1)可知，年平均利润为
，
当且仅当即时，等号成立，
所以使用设备7年后的年平均利润最大，且最大值为12万元.
21. 设函数的定义域为[，4]．
（1）若t＝lg2x，求t的取值范围；
（2）求y＝f（x）的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
【答案】（1）[－2，2]；（2）x＝时，ymin＝－；x＝4时，ymax＝12．
【解析】
【分析】（1）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求得取值范围；
（2）把利用对数式的运算性质化为含有的二次函数，然后利用配方法求函数的最值，并由此求出最值时对应的的值．
【详解】（1）∵≤x≤4，∴－2≤lg2x≤2，
∴－2≤t≤2．
∴t的取值范围是[－2，2]．
（2）y＝f（x）＝lg2(4x)·lg2(2x)＝(2＋lg2x)(1＋lg2x)，
由（1）知t＝lg2x，t∈[－2，2]，
∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－．
当t＝－，即lg2x＝－，x＝时，ymin＝－，
当t＝2，即lg2x＝2，x＝4时，ymax＝12．
【点睛】本题考查对数的运算和二次型函数的最值问题，考查换元法，属于中档题.
22. 函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令，则，∴.
（2）证明：令，则，
∴，∴，
∴对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
∴，即，
∴函数在上为增函数.
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
∵，∴，解得，
故原不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.