广西柳州高级中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性测试(二) 数学试题（含解析）

这是一份广西柳州高级中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性测试(二) 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了已知命题，命题，则，已知，65cm，已知函数，若，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.（ ）
A. B. C.2 D.5
2.已知命题，命题，则（ ）
A.和均为真命题 B.和均为真命题
C.和均为真命题 D.和均为真命题
3.已知.且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：cm），图①为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图②为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归直线方程为，则下列结论中不正确的为（ ）
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190cm的人臂展大约为189.65cm
D.身高相差10cm的两人臂展都相差11.6cm
5.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.若正三棱台的各顶点都在表面积为的球的表面上，且，则正三棱台的高为（ ）
A. B.4 C.3或4 D.或3
7.已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数的值为（ ）
A.1 B.3 C.或3 D.1或3
8.已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B.2 C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9.已知函数，则（ ）
A.关于直线对称
B.的最大值为
C.在上不单调
D.在，方程（为常数）最多有3个解
10.已知随机事件满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知拋物线的准线与圆相切，为上的动点，是圆上的动点，过作的垂线，垂足为的焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A.点的坐标为
B.的最小值为
C.存在两个点，使得
D.若为正三角形，则圆与直线相交
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12.设等比数列的前项和是.已知，则__________.
13.已知，且，则的最大值为__________.
14.在三棱锥中，且.记直线与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）.
15.（13分）
已知锐角的内角的对边分别为.且
（1）求角；
（2）如图，边的垂直平分线交于，交边于，求长.
16.（15分）
如图，已知四边形为矩形，为的中点，将沿进行翻折，使点与点重合，且.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若曲线与曲线存在2条公切线，求的取值范围.
18.（17分）
箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望.
19.（17分）
在平面直角坐标系中，对于点､直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设双曲线上的任意一点到直线的方向距离分别为，求的值；
（2）设点､到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为，与轴的交点为，试比较的长与的大小.
2024~2025学年度上学期2025届阶段性测试二
参考答案
1.B 【详解】因为，所以，
2.B 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题.综上，和均为真命题.
3.C 【详解】因为，所以，即，
又因为，设的夹角为，所以在上的投影为：，
所以在上的投影向量为
4.D 【详解】对于A，身高极差大约为20，䐧展极差大约为25，故A正确；
对于B，很明显根据散点图以及回归直线得到，身高矮一些，臂展就可能短一些，身高高一些，臂展就可能长一些，故B正确：
对于C，身高为190cm，代入回归直线方程可得到臂展的预测值为189.65cm，但不是准确值，故C正确：
对于D，身高相差10cm的两人臂展的预测值相差11.6cm，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故D不正确.
5.D 【详解】设，则有，即，由题意可得，即，即.
6.C 【详解】解析：设点分别是正的中心，球的半径为，
则，即，且三点共线，正三棱台的高为，
在等边中，由，由正弦定理可得：，得
在等边中，由，由正弦定理可得：，得
在中，，即，得，
在中，，即，得，
如果三棱台的上下底面在球心的两侧，则正三棱台的高为，
如果三棱台的上下底面在球心的同侧，则正三校台的高为，
所以正三棱台的高为3或4，
7.D 【详解】因为函数的图你和函数的图象有唯一交点，
所以方程有唯一解，令，则在R上有唯一零点，
因为，所以为偶函数，
因为在上有唯一零点，所以唯一的零点为，所以，即得，解得或，经检验单调性知当或时，
在为增函数，在为减函数，合题意.
8.A 【详解】因为函数均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，，因为，其中，
所以，，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
9.BC 【详解】若，
则，
即，即，故
，故其图象如图所示：
对A：由图象可得不关于直线对称，故A错误；
对B：由图像可得的最大值为，故B正确；
对C：当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故C正确：
对D：由图象，当时，方程在有4个解，在时，方程在少于4个解，故D错误.
10.ABD 【详解】对A：
，故A正确；
对B：，又解得，故B正确：
对C：，故C错误；
对D：，故D正确；
11.ACD
【详解】对A，准线与圆相切，可知，可得，所以，故A正确：
对B，根据可得，可确定最小值为，故B错误；
对C，若，则，做中垂线，
根据题意知，设为中点，则可得，直线斜率为，根据点斜式可确定为，与抛物线联立得，所以可知有两个解，所以存在两个点，使得，故C正确；
对D，根据为正三角形，所以，则，且，所以可得，和圆与轴交点为，所以可知圆与直线相交，故D正确.
12.1200 【详解】因为是等比数列的前项和且，可知也成等比数列，
又因为，则，可得，
所以.故答案为：1200.
13. 【详解】因为，所以，
则，所以，又，所以，
则，当且仅当，
即时取等号，的最大值为.
14. 【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且，
则，于是，
以为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
令，由，得，
则，化简得，
因此点在以为圆心，为半径的圆上，当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，
此时
15.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，所以可得：.
因为，所以，所以，因为，所以
（2）是等腰三角形，
且是一个底角，故为的中点，则，在中，，由正弦定理得，故，故在Ri中，.
16.（1）证明：由题知，所以，所以为直角三角形，，
因为，所以，所以为直角三角形，，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）在平面内，过点作.
由（1）年，则两两垂直，因此建立加图所示的空间直角坐标系.
则
.
设平面的一个法向量为，
则
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.
.
设平面与平面所成角为，所以
因此
17.（1）当时，设，
，
由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减
所以在取得最大值，无极小值.
（2）设曲线上切点，则切线斜率为，方程为，
依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根，
而，则，且，
即有，
由公切线有两条，得关于的方程：有两个不同的实数解，
令，则与的图象有两个交点，
由，求导得，由，得，
当时，单调递减：当时，单调递增，
因此，函数的图象如图，由洛必达法则知
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围是.
18.（1）解：依题意取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率，
则的可能取值为：，所以，，
所以的分布列为
（2）解：的数学希望为①，
所以②，
①-②.
所以
.
19.【详解】（1）由题设可知：设，所以，
所以，又因为，所以；
（2）假设存在实数1满足条件，因为，
，所以，所以，
所以，
故存在满足条件；
（3）因为，所以，
所以，所以，又因为，所以
，
所以，取等号时，所以，所以.0
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