九年级上学期期中数学试题（人教版） (29)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (29)，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，注意墙长小于等于28m，则得出等内容，欢迎下载使用。
考试时间：100分钟试卷分值：100分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．请将答案正确填写在答题卡上．
一、单选题（每小题3分，共24分）
1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。
【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。
2. 一元二次方程配方后化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案．
【详解】解：，
∴，
即．
故选：A
【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【详解】当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以.
故选A
【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况
4. 抛物线先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（ ）
A. .B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
【详解】解：抛物线先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为，
所得抛物线为．
故选：A
5. 某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为（ ）
A. 15%B. 25%C. 20%D. 30%
【答案】B
【解析】
【分析】4月份下降了20%，则4月份售价为，5、6月开始增长至75元，平均增长率为，即售价为，解一元二次方程即可．
【详解】由题意得：
解得：，（舍去）
所以平均增长率
故选：B
【点睛】本题考查了增长率问题，若连续n个月增长率相同则有： ，正确列出方程式是本题关键．
6. 二次函数的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．
【详解】解：，
∴当x=−1时，二次函数取得最小值为2．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的最值，解题关键在于化为顶点式．
7. 如图，在ABC中，∠BAC＝102°，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且＝，则∠的度数为（ ）
A. 24°B. 26°C. 28°D. 36°
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转得到．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0；
因为图象与y轴交于负半轴，
∴得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且，
∴2a+b=0，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴△=，即，选项②正确；
∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），
∴x=2时，y＜0，即，选项③错误；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴，
把b=﹣2a代入得：，选项④正确，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 一元二次方程的一个根为，则__．
【答案】0
【解析】
【分析】根据题意将代入原方程，即可求得的值．
【详解】解：把代入得，
解得．
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
10. 已知点与点关于原点对称，则点P坐标为_______．
【答案】（5，2）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的等式进而得出答案．
【详解】解：由点P（x，y）与点Q（-5，x-7）关于原点对称，得
x=5，y=7-x．
解得x=5，y=2，
所以点P的坐标为（5，2），
故答案为：（5，2）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出关于x，y的等式是解题关键．
11. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据点A的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.
【详解】解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1可得：
抛物线与x轴交于（3，0）和（-1，0）
即当y=0时，x=3或-1
∴ax2＋bx＋c＝0的根为
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x轴的交点坐标是本题的解题关键.
12. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是______．
【答案】y＝（x＋1）2＋1
【解析】
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线可化简为y＝（x−1）2−2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，
所得的抛物线的解析式y＝（x−1＋2）2−2＋3＝（x＋1）2＋1，即y＝（x＋1）2＋1．
故答案是：y＝（x＋1）2＋1．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13. 如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
【答案】（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24
【解析】
【分析】设道路的宽为x，把草坪平移到一起，可以拼成矩形，矩形的两边分别为（18﹣x）、（24﹣x），根据题意列方程即可．
【详解】解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
14. 已知：直线经过抛物线的顶点，则该抛物线的函数表达式是______，不等式的解集是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将点代入解析式，即可求得直线的解析式，根据顶点坐标公式求出m、n的值，即可得到抛物线的函数表达式；解不等式的解集．
【详解】解：将点代入解析式，得2k-3=1,解得k=2, ∴直线的解析式为y=2x-3．
∵抛物线顶点，
∴
解得：
∵抛物线解析式为y=-+4x-3
令y=0,-+4x-3=0
解得：x=1或x=3．
的解集为．
【点睛】本题考查了抛物线的函数表达式和函数与不等式的比较大小．解题的关键是能写出解析式．
三、解答题（15题12分，16题-20题每题6分，21题-22题每题8分）
15. 解方程：
（1）(x－2)2 ＝16
（2）x2－2x－6＝0 （配方法）
（3）3x2－2x－1＝0
（4）2x(x－2)＝(x－2)
【答案】（1）或
（2）或
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）两边开方，即可求出方程的解；
（2）移项后分解因式，再两边开方，即可求出方程的解；
（3）分解因式，即可求出方程解；
（4）移项后提取公因式，即可求出方程的解；
【详解】解：（1）原方程可化为：
∴解为：或
（2）原方程可化为：
∴解为：或
（3）原方程可化为：
∴解为：或
（4）原方程可化为：
∴
∴解为：或
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
16. 已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象与x轴交点关系求解；
（2）根据对称轴公式求解.
【详解】（1）证明：令y=0，则，
∵△=，
=，
=，
∵≥0，
∴＞0
∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点．
(2).∵对称轴为x=，
∴k=2
∴解析式为
17. 二次函数与直线交于点.
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【答案】（1）； （2）当时，y随x的增大而减小.
【解析】
【分析】(1)先将点代入直线，得到，再利用待定系数法即可解决问题；
(2)利用配方法得到顶点式，求出顶点坐标即可解决问题.
【详解】（1）∵点在直线上，
，
把代入，得到，
∴二次函数的解析式为．
（2），
∴顶点坐标为，
对称轴为：，又，∴当时，y随x的增大而减小.
【点睛】本题考查待定系数法和顶点式，解题的关键是掌握待定系数法和顶点式的计算.
18. 如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x2+40x；（2）当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2．
【解析】
【分析】设AB为x，则AD为40-2x，面积y为长乘以宽：x(40-2x)．注意墙长小于等于28m，则得出
【详解】（1）根据题意得，y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+40x；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
该二次函数图像开口向下，
∴当x＝10时，y有最大值，y的最大值为200，
即当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2．
【点睛】本题考查二元一次方程在面积中的应用，注意x的取值范围要符合题目给出的限制范围，找到面积计算公式得出解析式是本题关键．
19. 如图，在中，，点、分别在、上，且，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接
（1）求证：；
（2）若，时，与之间有怎样的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，进而根据“SAS”可求证问题；
（2）由平行线的性质可得，然后可得，进而可得△BDC和△EFC是等腰直角三角形，最后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
由（1）可知，，，
∵，
∴，即，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
20. 某幢建筑物，从5米高的窗口用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点离墙距离．（结果保留根号）
【答案】 米．
【解析】
【分析】由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为，可设该抛物线的解析式为： ，把点代入，可求出抛物线解析式，把代入，即可求解．
【详解】解：由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为 ，
∴可设该抛物线的解析式为： ，
把点代入，得：
解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ，
∴当 时，有
解得： ， （不合题意，舍去）
∴水流落地点离墙距离（米）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意设抛物线的顶点式，并利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
21. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【答案】（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤90.
【解析】
【分析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用.
22. 如图，抛物线与轴交于两点，．
（1）求，的值．
（2）观察函数的图象，直接写出当取何值时，．
（3）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）＜或＞；（3）存在，
【解析】
【分析】（1）把，代入，列方程组，从而可得答案；
（2）由可得函数图象在轴上方，结合图象可得答案；
（3）由关于对称，连接 交对称轴于 则 则此时的周长最短，再求解的解析式，从而可得答案.
【详解】解（1） 抛物线与轴交于两点，，

解得：
（2）由（1）得：抛物线为：
而，，
当时，函数图象在轴的上方，结合图象可得：
＜或＞
（3）存在，理由如下：
如图，抛物线为：
抛物线的对称轴为：
由抛物线的对称性可得：关于对称，
连接 交对称轴于 则

此时的周长最短，
设为：


为：
当时，