九年级上学期期中数学试题（人教版） (35)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (35)，共27页。试卷主要包含了 抛物线的顶点坐标为， 若定义一种新运算等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. (1，0)C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是（−1，0）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝a（x-h）2＋k中，其顶点坐标为（h，k）．
4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
【详解】解：由原方程，得
x2+2x=2，
x2+2x+1=2+1，
（x+1）2=3．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到．若，，且，的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出，，根据三角形内角和定理可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
绕点逆时针旋转得到，

，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得当时，y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，函数值最小，最小值为2，
∵点在抛物线上，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中m>0，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：一次函数解析式中m>0，二次函数解析式中m>0，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
8. 已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用A，C坐标，即可得出D点坐标，代入，即可得出k的值
【详解】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN＝∠DCM，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，DN＝CM，
设D（a，b），
∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），
∴，解得，
∴D（3，4），
∵D在抛物线的图像上，
∴+3k＝4，
∴k=，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．
9. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可．
【详解】解∶∵对称轴
∴，2a+b=0；故②正确；
∴a、b异号，
∴ab＜0，故①正确；
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；
根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
10. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：①；②若，则；③的解为；④函数与轴交于和．其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据新运算，判断各项即可．
【详解】解：，
，故①正确；
，，
，
，故②正确：
当时，，，即，解得，
当时，，，即，解得，
故③错误；
，
令，即，该方程无解，
该函数与轴没有交点，
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键在于弄清新运算的运算法则，注意分情况讨论．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 一元二次方程：的解为：____________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，用因式分解法解方程即可解得答案．
【详解】解：，
即，
解得，．
故答案为：，．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是__________．
【答案】（3，7）
【解析】
【分析】过Q作QE⊥y轴于E点，证明△QEP≌△POA，得到EQ=PO=3，EP=OA=4后即可求解．
【详解】解：过Q作QE⊥y轴于E点，如下图所示：
∵旋转90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EQ⊥y轴，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
且∠QEP=∠POA=90°，PQ=PA，
∴△QEP≌△POA(AAS)，
∴EQ=PO=3，EP=OA=4，
∴EO=EP+PO=4+3=7，
∴点Q的坐标是(3，7)，
故答案为：(3，7)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，坐标与图形，本题的关键过Q作QE⊥y轴于E点，证明△QEP≌△POA．
13. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．
【答案】
【解析】
【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程．
【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．
第二个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
第三个月新建了500个充电桩，
于是有，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．
14. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是______．
【答案】或6##6或
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）等．先解一元二次方程求出该方程的实数根，再根据三角形的三边关系定理得出第三边，然后得出这个三角形是直角三角形或等腰三角形，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：，
因式分解得，
解得或，
三角形两边的长分别是4和3，
第三边取值范围为：，即，
第三边长度为3或5．
分两种情况：
当这个三角形的三边长分别为3，3，4，即为等腰三角形，
如图，中，，，作于点D，
，
，
；
当这个三角形的三边长分别为3，4，5，
，
这个三角形是直角三角形，且直角边的边长为3和4，
这个三角形的面积为，
综上可知，这个三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
15. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为______s．
【答案】8
【解析】
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴此二次函数图象开口向下．
∴当时，升到最高点．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为______
【答案】6
【解析】
【分析】找到对称轴直线x=2，在根据对称求出A（4,0），代入求出k的值，顶点坐标即可解题.
【详解】由题可知函数的对称轴为直线x=2，
∵原点和点A关于对称轴对称，
∴A（4,0），将A代入二次函数解析式得k=3
∴顶点坐标（2,3）
根据对称可知图中阴影部分的面积和=S矩形OCBD=6
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据对称表示出点A的坐标是解题关键.
17. 若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是___________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与的交点，分式方程的解法以及一元二次方程根的判别式．
先根据分式方程有整数解求出的整数值，再根据二次函数与轴有交点求出的范围，求出的整数值，进而求和．
【详解】解：在分式方程两边同乘以得：，
，
由题意得：，且，为整数，
的值为：1，3，8，，5，0，4，
二次函数，
，且△，
解得：且，
的值为：1，，0，3，
所有整数的和为：0，
故答案为：0．
18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
【答案】 ①. 6200 ②. 9313
【解析】
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可；
（2）先把方程右边的完全平方式移到左边，再利用平方差公式对方程左边分解因式，进而解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上．

（1）图中的面积为 ；
（2）将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，画出；
（3）将绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的，并直接写出点，的坐标．
【答案】（1）3.5 （2）见解析
（3）点的坐标为，点的坐标为，图见解析
【解析】
【分析】（1）利用割补法计算的面积；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出的坐标，然后描点即可；
（3）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点，即可．
【小问1详解】
如图，；
【小问2详解】
如图，为所作；
【小问3详解】
如图，，为所作，点的坐标为，点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21. 先化简，再求值：，其中满足方程．
【答案】．
【解析】
【分析】把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．
【详解】解：
=
=
=
=
∵，∴，
∴原式=．
【点睛】考点：分式的化简求值．
22. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料：
（1）如何设计，可使矩形花园的面积为300；
（2）矩形花园的面积可以为315吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可；
（2）设边AB的长是x米，利用矩形的面积公式列出函数关系是即可.
【详解】解：（1）设AB=x米，则BC=（50-2x）米 ,
根据题意可得，x（50-2x）=300, 解得：x1=10，x2=15
当x=10，BC=50-2×10=30＞25，故x1=10不合题意舍去，
所以只取x=15
答：可以围成AB的长为15米，BC长为20米，可使矩形花园的面积为300．
（2）假设能围成矩形花园的面积为315，根据题意得
x（50-2x）=315
-2x2+50x-315=0
因△=b2-4ac=502-4×(-2)×(-315)=-20＜0.
所以不能围成315㎡的矩形花园.
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用及二次函数的应用.
23. 如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是方程的拫．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，的面积为S．
（1）求S关于t的函数关系式；
（2）通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如表：
请直接写出 ， ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）3，7 （3）见解析
（4）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）分，两种情况讨论即可；
（2）根据（1）所求函数解析式求解即可；
（3）描出（2）中表格的各对对应值为坐标的点，然后用平滑的曲线连线即可；
（4）分，两种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：解方程，得，
∴正方形的边长为4，
∵E为的中点，
∴，
当时，，，
∴；
当时，，，，
∴；
综上，；
【小问2详解】
当时，；
当时，；
故答案为：3，7；
【小问3详解】
如图，
【小问4详解】
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
当时，，
解得（舍去），，
此时，点的坐标为；
当时，
∴，
解得（舍去），，
此时，点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，画函数的图象，等腰三角形的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
24. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
（2）当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【解析】
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【小问1详解】
解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
【小问2详解】
解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
25 如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．
（1）求抛物线函数表达式：
（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：
（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，(，)或(，)
【解析】
【分析】（1）直接把点A、B、C的坐标代入求得a，b，c即可；
（2）设点P的坐标为(，)，过点P作轴交直线于点，
设直线的解析式为，并求得直线的解析式为，设出点的坐标为(，)，表述出的长，最后利用即可求解；
（3）先把抛物线的解析式化为顶点式求得对称轴直线，然后根据题意设出点设点P的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，分两种情况进行求解：(Ⅰ)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线；(Ⅱ)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线；分别利用中点坐标公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得， ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设点M的坐标为(，)，过点P作轴，交直线于点，
设直线的解析式为，过点B（－3，0），C（0，3）两点，
∴ ，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为(，)，
∴，
∴
∵，
∴有最大值，此时，的最大值为；
【小问3详解】
解：∵抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的对称轴直线为，
设点M的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，
(Ⅰ)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为(，)；
(Ⅱ)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为(，)；
综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为(，)或(，)．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，三角形面积的求法等，难点在于（2），注意分类讨论，不要漏解．
26. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．过G作GE⊥GF分别交AB、AC于点E、F；
（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF=2AD；
（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；
（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）AE+AF=2AG，理由见解析；（3）AG+BG+CG的最小值为．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求证；
（2）过点G作HG上AG交AB延长线于点H，由等腰直角三角形可得∠DAB=∠DAC=45°，AG=HG，由“ASA”可证△AGF≌△HGE，可得AF=BH，可得结论；
（3）将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G，连接GG'，B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，由旋转的性质可得AG+BG+CG=GG'+B'G'+CG，则当点B'，点G'，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，由30°角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．
【详解】解：（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于点D，
则D也是BC上的中点，即AD是BC的垂直平分线，
∴AD=BD=CD，AB=2AD，∠B=∠DAC=45°，
∠BDE+∠ADE=90°，∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴ED=FD，BE=AF，
∴AB=AE+BE=AE+AF，
∴AE+AF=2AD；
（2）AE+AF=2AG，理由如下：
如图，过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∴∠AHG=∠BAD=45°，
∴AG=HG，
∴AH=2AG，
∵∠EGF=∠AGH=90°，
∴∠AGF=∠EGH，
又∵∠AHG=∠FAG=45°，
∴△AGF≌△HGE（ASA），
∴AF=BH，
∴AH=AE+BH=AE+AF=2AG；
（3）如图，将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G'，连接GG'，
B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，
∵AB=AB'=6，AG=A'G，
∴∠BAB'=60°，∠GAG'=60°，BG=B'G'，
∴△AGG'是等边三角形，
∴AG=GG'，
∴AG+BG+CG=GG'+B'G'+CG，
∴当点B'、G'、G、C共线时，
AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，
∵∠B'AC=∠B'AB+∠BAC=60°+90°=150°，
∴∠B'AN=30°，
∴B'N=3，AN=3B'N=33，
∴CN=6+33，
∴B'C=，
∴AG+BG+CG的最小值为：t
0
1
2
3
4
s
0
m
8
n
8