九年级上学期期中数学试题（华东师大版） (2)

这是一份九年级上学期期中数学试题（华东师大版） (2)，共23页。试卷主要包含了 如图是二次函数等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）
A. |﹣3|B. ﹣2C. 0D. π
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【详解】在实数|-3|，-2，0，π中，
|-3|=3，则-2＜0＜|-3|＜π，
故最小的数是：-2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 三棱柱C. 长方体D. 四棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．
【详解】A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；
C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
3. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A. 1，1，2B. 1，2，4C. 2，3，4D. 2，3，5
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4. 一个n边形的内角和为360°，则n等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．
【详解】根据n边形的内角和公式，得：
，
解得n=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
5. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，
即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
6. 如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°
【答案】D
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7. 抛物线经过平移后得到抛物线，其平移方法是（ ）
A. 向右平移4个单位，再向上平移2个单位B. 向右平移个单位，再向下平移2个单位
C. 向左平移4不单位，再向上平移2个单位D. 向左平移4个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
而平移后抛物线的顶点坐标为
∴平移方法为向左平移4个单位，再向下平移2个单位．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
8. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ）
A. 函数思想B. 数形结合思想C. 转化思想D. 公理化思想
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可．
【详解】解：这种解法体现的数学思想是转化思想．
故选：C
【点睛】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想．
9. 已知二次函数部分y与x的值如下表：
根据表格可知，一元次方程解是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程的解．
【详解】解：∵时，；时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵时，，
∴时，，
∴关于x的一元二次方程的解为，．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②C. ②③④D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝−＝1，
∴2a＋b＝0；故正确；
③∵2a＋b＝0，
∴b＝−2a,
∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，
∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,
所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共6小题）
11. 计算：（）0﹣1=_____．
【答案】0
【解析】
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行计算即可．
【详解】原式=1-1=0，
故答案为0．
【点睛】此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a0=1（a≠0）．
12. 某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为_____．
【答案】120
【解析】
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数．
【详解】∵这组数据中120出现次数最多，有3次，
∴这组数据的众数为120，
故答案为120．
【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据．
13. 已知一元二次方程的一个根是，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】把代入得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴把代入得： ，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程．
14. 某中学组织初二学生开展篮球比赛，以班为单位单循环形式（每两班之间赛一场），现计划安排21场比赛，则共有_____个班级参赛．
【答案】
【解析】
【分析】设有x个班级参赛，x个球队比赛总场数为，即可列方程．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：，
解得：，（舍），
则共有个班级参赛，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数的等量关系是解本题的关键．
15. 如图，在中，弦于点，在圆上，AB与CE满足，则的半径___________．
【答案】##8.5
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性，可得，再由垂径定理可得，在中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
设的半径r，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
即的半径．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，算术平方根的非负性，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
16. 如图，在ABC中，，，点P是ABC内一点，，且，那么_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，把BCP绕C逆时针旋转90°得到ACQ，连接PQ，可以证明PQC、APQ为等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，把BCP绕C逆时针旋转90°得到ACQ，连接PQ，
∴PQC为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴∠AQP=∠CQP=∠CPQ=45°，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，同时也利用了旋转的性质，有一定的综合性．
三．解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）采用直接开平方法求解即可．
（2）选用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
所以．
【小问2详解】
因，
所以，
所以x+5=0或x-1=0，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练选择求解方法是解题的关键．
18. 已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】设抛物线的顶点式，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3，0）代入即可解答．
【详解】解：设二次函数解析式为：，
∵顶点坐标为P（﹣2，3），
∴，
将点A（﹣3，0）代入得，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键．
19. 如图，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）把沿方向平移后，点A移到点，在网格中画出平移后得到的；
（2）把绕点按逆时针方向旋转，得到，在网格中画出旋转后．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质，画出即可；
（2）根据旋转的性质，画出即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
如图，即为所作．
【点睛】本题考查平移作图，画旋转图形．熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键．
20. 水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y（千克）与x的关系为二次函数，销售情况记录如表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）这批苹果多少天才能销售完；
【答案】（1）
（2）这批苹果20天才能销售完
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是理解最大值的含义．
（1）设出二次函数解析式的一般形式，由待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数的性质，当时，函数有最大值，再结合最大值的含义可得答案；
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为，
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴当时，y有最大值，最大值为400，
∴这批苹果20天才能销售完．
21. 将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B1A1C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）垂直．理由见试题解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知∠B=∠B1，BC=B1C，∠BCE=∠B1CF，利用ASA即可证出△BCE≌△B1CF；
（2）由旋转角等于30°得出∠ECF=30°，所以∠FCB1=60°，根据四边形的内角和可知∠BOB1的度数为360°-60°-60°-150°，最后计算出∠BOB1的度数即可．
【详解】证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，
所以∠BCA=∠B1CA1 ，BC=B1C ，∠B=∠B1
∵∠BCA-∠A1CA=∠B1CA1-∠A1CA
即∠BCE=∠B1CF
∵，
∴△BCE≌△B1CF（ASA）；
（2）解：AB与A1B1垂直，理由如下：
旋转角等于30°，即∠ECF=30°，
所以∠FCB1=60°，∠BCB1=150°，
又∠B=∠B1=60°，
根据四边形的内角和可知∠BOB1的度数为360°-60°-60°-150°=90°，
所以AB与A1B1垂直．
22. 如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．
（1）求证：OA垂直平分MD.
（2）若，求∠MON的度数.
（3）若，，求MN的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；
（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；
（3）由（2）可得：，得出，根据等边三角形得判定可得为等边三角形，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接MD，
由作图可知，，
∴，
∵OA是经过圆心的直线，
∴OA垂直平分MD；
【小问2详解】
解：如图所示，连接ON，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：由（2）可得：
，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
23. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1）；
（2）

（3）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
【小问2详解】
∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
【小问3详解】
∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
24. 【问题提出】如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连结（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是 ．
【应用】如图②，在中，D为边的中点，已知，求的长．
【拓展】如图③，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结．已知，则的长为 ．
【答案】问题解决：；应用：；拓展：
【解析】
【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得出结论；
（2）延长到E，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得；
（3）延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得．
【详解】解：（1）在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长到E，使得，连接，如图②，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长到G，使得，连接，如图③，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方式，属于中考压轴题．
25. 已知顶点为B（1，1）的抛物线C1：与y轴交于点A（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线的图象绕点C（）旋转180°得到抛物线，点P是抛物线上的一动点，求△PAB的面积的最小值；
（3）抛物线关于直线x＝m的轴对称图象交直线y＝x+1与E，F两点，且，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点A、B代入，即可求函数的解析式；
（2）利用中点坐标公式求出抛物线顶点B关于点C的对称点，此点即为旋转后函数的顶点，从而得到抛物线的解析式为
，设，则过点P与AB平行的直线解析式为，联立方程组，整理得，，当过P点与AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，P点到AB的距离最短，此时△PAB的面积最小，求出
，即可求；
（3）求出顶点B关于直线x＝m的对称点，此点为对称的抛物线的顶点，从而求出对称后的抛物线解析式为，联立方程组，整理得，，再由根与系数的关系求出，由题意可得，求出m的取值范围即可．
【小问1详解】
解：将A（0，2）代入，
∴b＝2，
∵顶点为B（1，1），
∴a﹣2a+2＝1，
解得a＝1，
∴；
【小问2详解】
∵抛物线C1的图象绕点C（）旋转180°，
∴顶点B（1，1）绕点C（）旋转180°后的点为（﹣，﹣1），
∴抛物线的解析式为，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设，
∴过点P与AB平行的直线解析式为，
联立方程组，
整理得，，
当x＝0时，P点到AB的距离最短，此时△PAB的面积最小，
∴，
∴，
∴△APB的面积最小值为；
【小问3详解】
顶点B（1，1）关于直线x＝m的对称点为（2m﹣1，1），
∴对称后的抛物线解析式为，
联立方程组，
整理得，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵4≤EF≤6，
∴4≤≤6，
解得≤m≤．
x
…
1
2
4
…
y
…
21
12
0
…
x
1
2
3
y
39
76
111