吉林省通化市集安一中、柳河一中、通化县七中2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

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全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ）
A.
B. 表示向上的点数是1或3或5
C. 表示向上的点数是1或3
D. 表示向上的点数是1或5
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断.
【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件，
所以事件不等于事件，故A错误；
事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误；
事件表示“向上的点数是1”，故D错误；
故选：B.
2. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角.
【详解】依题意，直线经过点，
则直线的斜率为,
故直线的倾斜角为.
故选：D.
3. 杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解.
【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，
代表依次摸出的卡片，，
则基本事件分别为：，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：，
所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，
则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.
故选：B.
4. 若直线的方程为，则此直线必不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得.
【详解】由可得，，
即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数，
故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.
故选：A.
5. 甲､乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，则谜题没被破解出的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解.
【详解】设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，
，
故，
所以，
即谜题没被破解的概率为.
故选：C.
6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线方程求出直线的斜率，再由的范围即可求解.
【详解】直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
因为α∈，所以≤≤，
因此k＝2cs α∈．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈．
又θ∈[0，π)，且正切函数在上单调递增，在上为单调递增函数，
结合正切函数的图像可知
所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.
故选：B
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
7. 从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是
A. 至少有一个红球，至少有一个白球
B. 恰有一个红球，都是白球
C. 至少有一个红球，都是白球
D. 至多有一个红球，都是红球
【答案】B
【解析】
【详解】由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．
易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；
而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．
故选B.
点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
8. 直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线斜率求得倾斜角，从而得出，然后由两角差的余弦公式计算．
【详解】设的倾斜角为，则，∴，
由题意知，
∴
.
故选：C．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中，
对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确；
对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确；
对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，
得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确；
对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，
得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确.
故选：ABD.
10. 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【详解】当直线经过原点时，斜率为，
所求的直线方程为，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为，
把点代入可得，或，
求得，或，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．
故选：BCD．
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若事件与事件是互斥事件，则
B. 若事件与事件是对立事件，则
C. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
D. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念一一判断即可.
【详解】对A，事件与事件互斥，则不可能同时发生，所以，故A正确；
对B，事件与事件对立事件，则事件即为事件，所以，故B正确；
对C，“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，
即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故C错误；
对D，事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故D正确；
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.
【详解】因为，且，则，
所以直线的斜率为，
又因为直线经过点，则直线的方程为，
所以直线的一般式方程为或.
故答案为：或.
13. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分.规定：每位选手回答这三个问题总得分不低于30分就算闯关成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各问题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.
【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率是，
由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，
只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，
所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为.
故答案为：，
14. 已知直线过点，且分别与轴､轴的正半轴交于两点，为坐标原点，则的最小值为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可知直线的斜率存在且，分别解出两点的坐标，表示出的表达式由基本不等式即可求得其取最小值即可.
【详解】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，则，
直线的方程为，则，
所以,
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 求符合下列条件的直线方程：
（1）直线过点，且斜率为；
（2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可.
（2）分截距为0和不为0两种情况求解.
【小问1详解】
因为直线过点，且斜率为，
所以，化简可得：.
【小问2详解】
当横、纵截距都是0时，设直线的方程为.
∵直线过点2,1，
∴，即直线的方程为.
当截距均不为0时，设直线的方程为.
∵直线过点2,1，
∴，解得，即直线方程为.
综上，所求直线方程为或.
16. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:(分钟).
（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得
.是互斥事件，.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得
一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.
17. 某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取其中的6个网点统计其元旦期间的网购金额（单位:万元），相关数据如下表所示:
（1）计算样本数据平均数;
（2）若将网购金额（单位:万元）不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，试估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数;
（3）从随机抽取的6个服务网点中任取2个进行网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.
【答案】（1）12 （2）30（个）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的数据求出平均数即可；
（2）根据概率值，求出优秀服务站的个数即可；
（3）分别列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，作商求出概率即可.
【小问1详解】
由题意知, 样本数据的平均数为 .
【小问2详解】
样本中优秀服务网点有 2 个, 概率为 , 由此估计这 90 个服务网点中优秀服务网 点有 (个).
【小问3详解】
样本中优秀服务网点有 2 个, 分别记为 , 非优秀服务网点有 4 个, 分别记为 , , 从随机抽取的 6 个服务网点中任取 2 个的可能情况有, , ，共 15 种，
记“恰有 1 个是优秀服务网点”为事件 , 则事件 包含的可能情况有 , , 共 8 种， 故所求概率.
18. 已知直线l：，
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）将变形为，列方程可得直线所过的定点；
（2）求出点，点的坐标，代入三角形的面积，解方程可得.
【详解】解：（1）由，可得，
∴直线：必过直线，的交点，
∴；
（2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
∴，
令，得；令，得，
三角形的面积为，
解得，
∴直线方程为：.
【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题.
19. 小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；
（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，由题意A，B，C相互独立（1）根据互斥事件的和及相互独立事件同时发生，知这三列火车恰好有两列正点到达为事件，计算概率即可（2）三列火车至少有一列正点到达的对立事件为都未准点到达，所求概率（3）三列火车恰有一列火车正点到达为事件,计算概率即可.
【详解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，则，，，所以，，.且A，B，C相互独立.
（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为
.
（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为.
（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为
.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件的概率，属于中档题.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
30
25
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
网点
1
2
3
4
5
6
金额
6
4
12
18
12
20