广西桂林市第十八中学2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）

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注意事项：
①试卷共4页．考试时间120分钟，满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ）
A. B. C. 与异面D. 与相交
【答案】A
【解析】
【分析】应用空间向量数量积的坐标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系.
【详解】由，故，
所以.
故选：A
3. 设集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
4. 某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）

A. B组打分的极差小于A组打分的极差B. B组打分的中位数为75
C. A组的意见相对一致D. A组打分的众数为50
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断.
【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；
对于B：小组B打分分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．
故选：C．
5. 函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积定义，数量积的运算律及向量模的计算方法即可求解.
【详解】由可得：，即.
因为为单位向量
所以.
所以，解得：.
故选：A
7 已知角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方式，结合一元二次方程的解法，求得，根据三角函数诱导公式以及余弦二倍角公式，可得答案.
【详解】由，，，，解得，
，
故选：B.
8. 如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分别是的中点，可得（是三角形的面积，是三角形的面积），由棱台的体积公式可求得，再根据，求得，即可得答案.
【详解】解：设三角形的面积为，三角形与三角形的面积为，三棱柱的高为，
则有，，设三棱柱的体积为，
又因为①，②，
所以③，
由题意可知④，
由①②③④可得，
所以，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数，下列选项中正确的有（ ）
A. 在上单调递减
B. 的图象关于原点对称
C. 的最小正周期为
D. 的最大值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】A.令，利用正弦函数的性质判断；B.利用奇函数的定义判断；C.利用正弦函数的周期性判断；D；利用正弦函数的最值判断；
【详解】A.当时，，因为在单调递减，
所以在单调递减，故选项A正确；
B.因为，所以为奇函数，
所以的图象关于原点对称．故选项B正确；
C. 代入周期公式得，故选项C错误；
D. ，的最大值为1，故选项D错误.
故选：AB．
10. 已知，且，则下列正确的有（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是9D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】由基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
，，当且仅当时，等号成立，A正确；
，当且仅当，即时等号成立，B正确．
，当且仅当，即时等号成立，C错误；
由得，所以，D错；
故选：AB．
11. 已知函数的定义域为，且，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】采用赋值法，利用已知条件，分析函数的有关性质即可判断.
【详解】对A,令，则，
化简可得，又因，
所以，故A正确；
对B,令，则，又因
化简可得f−x=fx，所以是偶函数，故B错误；
对C,令，则，因，
所以，故C正确；
对D,令，则，因，
所以，令，则①，
再令，②，由①②知，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求出长方体的长、宽、高，即可得点的坐标.
【详解】在长方体中，已知，，
所以，，，
所以点的坐标为，
故答案为：
13. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可.
【详解】复合函数可以看做，，
当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得；
当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得；
综上所述，或.
故答案为：或.
14. 平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方的方法化简已知不等式，然后根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案.
【详解】由，
所以，对任意实数成立，
所以，即，
即，所以.
故答案为：
【点睛】本题是一个综合性的题目，一个是数量积的运算，包括模的处理方法，一个是一元二次不等式恒成立问题，包括一元二次不等式的解法，还需要对主参变量进行确定.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为上一点，且，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出，再由正弦定理求出.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合面积关系计算即得.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，得，
即，而，解得，由正弦定理得，
所以.
【小问2详解】
依题意，由三角形面积公式得，
所以．
16. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生身高的80%分位数；（保留小数点后一位有效数字）
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求样本空间及事件E的概率．
【答案】（1）0.06
（2）179.7 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
（2）设80%分位数为x，根据百分位数的概念即可求解；
（3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【小问1详解】
第六组的频率为，
故第七组的频率为
【小问2详解】
设80%分位数为x，则，解得，
即该校的800名男生身高的80%分位数的估计值为179.7．
【小问3详解】
第六组的人数为，设为，
第八组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名男生的样本空间为，共有15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为，共7种情况.
所以.
17. 如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，得出，再证明和得出平面，即可证明；
（2）取中点，过作交延长线于，可得为二面角的平面角，设即可求出.
【小问1详解】
取中点，连接，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
【小问2详解】
取中点，在平面内过作交延长线于，连接，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，所以平面，
因平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以二面角的余弦值为.
18. 已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，-1
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数运算，可求得答案；
（2）根据（1）的结果，写出函数的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得实数的取值范围；
（3）整理化简，采用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解,讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，可求得最值,判断是否存在问题.
【小问1详解】
函数是偶函数，
，即,
即，
.
【小问2详解】
由（1）可知： ，
方程有解，即有解，
即有解，而，当且仅当时取等号，
故，
实数a的取值范围是
【小问3详解】
假设存在满足条件的实数m，
由题意，可得
令，则，
令，
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当，即时，
，解得；
当，即时
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）.
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为-1.
19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．
（1）证明：当时，；
（2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，“和谐区间”为
【解析】
【分析】（1）根据题目中给的公式即可证明.
（2）通过对的取值进行分情况讨论，结合的单调性以及（1）的结论，即可求得唯一的和谐区间.
【小问1详解】
由题意，得，所以sinxx>1−x26>1−π226=1−π224>12，
所以当时，．
【小问2详解】
对于函数，有，
①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”；
②同理时，也不存在，
下面讨论，
③若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意．
④若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，
所以，于是，
若，即，则sinb>sin−a，
故sinb+sina>0,−sina+sinb<0，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”．
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.