2021-2022学年广西桂林市第十八中学高二下学期开学考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年广西桂林市第十八中学高二下学期开学考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】应用集合的并运算求即可.

【详解】由题设，.

故选：C.

2．已知为虚数单位，复数z满足，则（       ）

A．1 B．2 C． D．0

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据模长公式求出.

【详解】.

故选：C.

3．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．支出最高值与支出最低值的比是8：1

B．4至6月份的平均收入为50万元

C．利润最高的月份是2月份

D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

【答案】D

【分析】根据折线统计图即可判断各选项,此类问题属于容易题．

【详解】由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1，故A错误，

由图可知，4至6月份的平均收入为万元，故B错误，

由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，

由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，

故选D．

【点睛】本题考查了统计图的识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．

4．已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（       ）.

A．63 B．81 C．99 D．108

【答案】C

【分析】先由为等差数列的前n项之和，可得 也成等差数列，则，成等差数列，再将，代入运算即可.

【详解】解：由为等差数列的前n项之和，

则, 也成等差数列，

则，成等差数列，

所以，

由，，

得，

故选C.

【点睛】本题考查了等差数列的性质及等差中项，重点考查了运算能力，属基础题.

5．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】画出可行域，找到最优解，得最值.

【详解】画出不等式组对应的可行域如下：

平行移动直线，当直线过点时，

.

故选：B.

6．如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　)

A． B．1 C．2 D．0

【答案】C

【详解】试题分析：函数的图象在点P处的切线方程是，所以，在P处的导数值为切线的斜率，2，故选C．

【解析】本题主要考查导数的几何意义．

点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值．

7．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，则(       )

A．5 B． C． D．10

【答案】B

【分析】向量垂直，它们数量积为零，求出λ即可计算.

【详解】依题意，即，解得，则＝(2，－6)，，

故．

故选：B.

8．P是椭圆上一点，且，则（　　）

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】A

【分析】利用椭圆的定义即可求出．

【详解】由椭圆的方程为，可化为，

∴a＝4．

∵P是椭圆上一点，

∴根据椭圆的定义可得：，

∴．

故选：A．

9．若第三象限角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知结合求出即可得出.

【详解】因为第三象限角，所以，

因为，且，

解得或，

则.

故选：D.

10．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】由题意可设，则，再由，可得，从而可求出的值

【详解】解：双曲线的渐近线方程为，故设，

设，则，

因为，

所以，即，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

故选：B

11．已知，则当时，与的大小关系是（       ）

A．

B．

C．

D．不确定

【答案】B

【分析】求出函数的单调区间，令，得或，结合图像可得，，三段和的大小关系，再根据函数的单调性即可得出与的大小关系.

【详解】解：由函数，

得函数在上递增，在上递减，在上递增，

作出函数和的图像，如图所示，

令，得或，

结合图像可知，当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

综上所述，当时，.

故选：B.

12．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答.

【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，

于是得函数在上单调递减，即，，即，

而在上单调递减，当时，，则，

所以k的取值范围是.

故选：B

二、填空题

13．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.

【答案】33

【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.

【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，

所以有，

故答案为：33

14．已知，，且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】因为，，且，

所以，当且仅当，即时等号成立．

故答案为：．

15．已知函数，若实数满足且，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】结合对数函数以及基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意函数，若实数满足且，

，

所以.

所以，即的取值范围是.

故答案为：

16．已知函数，，对任意的，总存在至少两个不同的使得，则的范围是______．

【答案】

【分析】由已知可得，令，则，构造函数，再利用函数求出其单调区间在递增，在递减，要在至少两个不同的使得，则要，而，从而可求出的范围

【详解】解：因为，，

所以，

令则，

令，，

得在递增，在递减，

又时，，

又时，，，

因为对任意的，总存在至少两个不同的使得，

所以当，恒成立，

故．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题主要考查函数的性质、值域等基础知识；考查推理论证、运算求解能力；考查数形结合、化归与转化思想；体现基综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注，解题的关键是令则，再构造函数，利用导数求出函数的单调区间，从而可得方程要有两个不同的交点时，只要，再结合可求出的范围，属于较难题

三、解答题

17．已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知，，可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列是公比为3的等比数列，且．可以得到数列的通项公式，最后求出数列的通项公式；

（Ⅱ）根据等差数列和等比数列前n项和公式，利用分组求和法求数列的前n项和.

【详解】解：（1）设等差数列的公差为d．

由，，得，解得．

所以．

即的通项公式为：，．

由于是公比为3的等比数列，且，

所以．

从而．

（Ⅱ）由（Ⅰ）．

数列的前n项和

．

【点睛】本题考查了等差数列基本量求法，考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力.

18．设函数.

(1)求在处的切线方程；

(2)求的极小值点和极大值点.

【答案】(1)；

(2)极大值点，极小值点.

【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；

（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可．

【详解】(1)函数，函数的导数为．

，，

在处的切线方程：，即．

(2)令，，解得，．

当时，可得，即的单调递减区间，

或，可得，∴函数单调递增区间，，．

的极大值点，极小值点．

19．已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值.

从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题.

【答案】条件选择见解析，

【分析】结合正弦定理化简已知条件，求得.若选①，则利用余弦定理求得；若选②，则结合正弦定理、余弦定理求得的值.

【详解】依题意，

由正弦定理得,

在三角形中，，

所以，，

由于，所以.

若选①，则，

由余弦定理得，

即，

解得或.

当时，符合题意.

当时，，则是直角三角形，不符合题意.

若选②，，由正弦定理得，

由余弦定理得，

即，

所以.

20．AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.

（1）判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；

（2）当△VAB为边长为的正三角形时，求四面体V﹣DEB的体积.

【答案】（1）⊥平面，理由见解析（2）

【分析】（1）由已知可得AC⊥BC，AC⊥VC，可证AC⊥平面VBC，D，E分别是VA，VC的中点，有DE∥AC，即可证明结论；

（2）由已知可证△VBC≌△VAC，得到BC=AC，进而求出BC，AC，VC值，利用等体积法有，即可求解.

【详解】（1）DE⊥平面VBC，证明如下:

∵AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，

∴AC⊥BC，∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，

AC⊂平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，

∴AC⊥平面VBC，∵D，E分别是VA，VC的中点，

∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC.

（2）∵△VAB为边长为的正三角形，

AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，

过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，

D，E分别是VA，VC的中点，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC，∴BC2+AC2=AB2=8.∴AC=BC=2，

D，E分别是VA，VC的中点，∴DE==1，

∴四面体V﹣DEB的体积为:

=.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，注意空间垂直间的转换，考查用等体积法求体积，属于中档题.

21．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.

（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.

【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，

∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，

∴，解得，则抛物线方程是．

（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，

∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，

设，，联立直线与抛物线的方程得，

消去，并整理得，于是，，

∴，

又，因此，即，

∴，解得或．

当时，直线的方程是，不满足，舍去．

当时，直线的方程是，即，

∴直线的方程是．

22．函数.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设，当a>0时，证明：恒成立.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；

【分析】（1）由题意可知，，再对分情况讨论，分别分析函数的单调性；

（2）要证，只需证，设，利用导数得到在时取得极小值，所以，再令，利用导数得到在时取得极小值，所以最小值为，从而得出当时，恒成立，即恒成立．

【详解】解：（1）由题意可知，，

①当时，，在上单调递增，

②当时，

．当时，，所以在上单调递减，

．当时，，

．当时，，所以在上单调递增；

（2）要证，所以只需证，

设，则，

当时，；当时，；当时，，

在时取得极小值，即为最小值，

令，则，

当时，；当时，；当时，，

在时取得极小值，即最小值为，

当时，恒成立，即恒成立．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题．