四川省成都市2020年中考数学模拟卷（六）（含解析）

这是一份四川省成都市2020年中考数学模拟卷（六）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，得m＜0．由直线经过一，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019·山东中考模拟）的相反数是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
与只有符号不同，
所以的相反数是 =1.5，
故选A.
【点睛】
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
2．（2019·湖北中考模拟）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1
【答案】D
【解析】
由题意得，x－1≥0，解得x≥1.故选D.
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数.
3．（2019·浙江中考模拟）习近平主席在2018年新年贺词中指出，2017年，基本医疗保险已经覆盖1350000000人．将1350000000用科学记数法表示为（ ）
A．135×107B．1.35×109C．13.5×108D．1.35×1014
【答案】B
【解析】
将1350000000用科学记数法表示为：1350000000=1.35×109，
故选B．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数,表示时关键要正确确定a的值及n的值.
4．（2019·河南中考模拟）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
从左面上看是D项的图形.故选D.
【点睛】
本题考查三视图的知识，左视图是从物体左面看到的视图.
5．（2019·河北中考模拟）内角和为540°的多边形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设它是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选C．
考点：多边形内角与外角．
6．（2019·山东中考模拟）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
解：A、由双曲线在一、三象限，得m＞0．由直线经过一、二、四象限得m＜0．错误；
B、正确；
C、由双曲线在二、四象限，得m＜0．由直线经过一、二、三象限得m＞0．错误；
D、由双曲线在二、四象限，得m＜0．由直线经过二、三、四象限得m＞0．错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数m的取值．
7．（2019·广西中考模拟）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32
【答案】B
【解析】
设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选B．
点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2019·甘肃中考模拟）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】
∵=>=，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵=<<，
∴选择甲参赛，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.
9．（2019·四川中考模拟）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【解析】
在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得,
由圆内接四边形的性质得到,
故选C.
点睛：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
10．（2019·内蒙古中考模拟）已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( )
A．k<4B．k≤4C．k<4且k≠3D．k≤4且k≠3
【答案】B
【解析】
若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x轴交点的特点.
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11．（2019·江苏中考模拟）计算= ．
【答案】．
【解析】
化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解：
．
12．（2019·浙江中考模拟）圆心角为120º的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为______．
【答案】.
【解析】
解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，则
∵S=
=12π，
∴R=6，
∴l==4π．
∴扇形的弧长为4π．
故答案为4π．
【点睛】
本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．
13．（2019·上海中考模拟）不等式组的解集是______.
【答案】-1＜x≤2.
【解析】
解
由得x＞-1，
由1得x≤2，
所以不等式组的解集为-1＜x≤2.
【点睛】
这是一道考查解一元一次不等式组的题目，解题的关键是正确求出每个不等式的解集.
14．（2019·福建中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．
【答案】3：1
【解析】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，DC＝AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，
∴，
∵．
故答案为3：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质求出DE、BA之间的关系是解题的关键．
三、解答题 （本大题共6小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（1）（2019·上海中考模拟）计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．
【答案】1．
【解析】
原式＝
＝1．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（2）（2019·江苏中考模拟）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【答案】x1＝1，x2＝﹣3．
【解析】
△＝22﹣4×（﹣3）＝16>0，
x＝，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
16．（2019·北京中考模拟）已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m＜2；（2）m=0.
【解析】
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0.
∴△=16-8m＞0.
∴m＜2
(2)∵m＜2，且m为非负整数，
∴m=0或1
当m=0时，方程为x2-4x=0，解得x1=0，x2=4，符合题意；
当m=1时，方程为x2-4x+2=0，根不是整数，不符合题意，舍去.
综上m=0
【点睛】
本题考查了学生通过根的判别式来确定一元二次方程中待定系数范围，掌握代入法解题是解决此题的关键.
17．（2019·天津中考模拟）某校九年级有600名学生，在体育中考前进行了一次模拟体测.从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为 ，图2中的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级模拟体测中得12分的学生约有多少人？
【答案】（Ⅰ）50，28；（Ⅱ）平均数：10.66；众数是：12；中位数是：11；
【解析】
解：（Ⅰ）本次参加跳绳的学生人数是4+5+11+14+16=50（人），
m=100×=28．
故答案是：50，28；
（Ⅱ）平均数是：（4×8+5×9+11×10+14×11+16）=10.66（分），
∵在这组数据中，12出现了16次，出现次数最多；
∴这组样本数据的众数是：12；
∵将这组样本数据自小到大的顺序排列，其中处于最中间位置的两个数都是11，有；
∴这组样本数据的中位数是：11；
（Ⅲ）∵该校九年级模拟体测中得12分的学生人数比例为32%，
∴估计该校九年级模拟体测中得12分的学生有600×12%=72（人）．
答：该校九年级模拟体测中得12分的学生有72人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图的综合运用，还考查了加权平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

18．（2019·海南中考模拟）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
．
【答案】（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】
（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°
∴∠APB=180°-30°-120°=30°
（2）只需算出航线上与P点最近距离为多少即可
过点P作PH⊥AB于点H
在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH
在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH
∴AB=AH-BH=PH=50
算出PH=25＞25，不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.
考点：解直角三角形
19．（2019·四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于A（a，2），B（4，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C是第一象限内一点，连接AC，BC，使AC∥x轴，BC∥y轴，连接OA，OB．若点P在y轴上，且△OPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1) 反比例函数的表达式为y＝（x＞0）;(2) 点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）
【解析】
（1）∵点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上，
∴﹣a+3＝2，b＝﹣×4+3，
∴a＝2，b＝1，
∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1），
又∵点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，
∵AC∥x轴，BC∥y轴，
则有CE⊥y轴，CF⊥x轴，点C的坐标为（4，2）
∴四边形OECF为矩形，且CE＝4，CF＝2，
∴S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF
＝2×4﹣×2×2﹣×4×1
＝4，
设点P的坐标为（0，m），
则S△OAP＝×2•|m|＝4，
∴m＝±4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（2019·黄冈市启黄中学中考模拟）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）证明见解析；
（2）⊙O的半径是7.5cm．
【解析】
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴．
∴．
则AC=15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．
考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
21．（2019·山东中考模拟）若关于x的方程有增根，则m的值是 ▲
【答案】0．
【解析】
方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．
∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=0．
22．（2019·河南中考模拟）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是_____．
【答案】a=1．
【解析】
解：∵方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
∵△=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，
∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，
当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴a≠2且a≠0．
设方程的两个根分别为x1、x2，
∴x1•x2=，
∵x1、x2均为正整数，
∴为正整数，
∵a为整数，a≠2且a≠0，
∴a=1，
故答案为：a=1．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：①找出△=（a-2）2≥0；②找出x1•x2=为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．
23．（2019·浙江中考模拟）如图，在4×4的正方形网格图中，以格点为圆心各画四条圆弧，则这四条圆弧所围成的阴影部分面积为_____．
【答案】3π﹣6．
【解析】
解：把4×4的正方形分成a，b，c，d，e，阴影部分6个部分．
可得S阴＝S正方形﹣a﹣b﹣c﹣d﹣e＝4×4﹣＝3π﹣6，
故答案为3π﹣6．
【点睛】
本题考查扇形的面积，弓形的面积，三角形的面积，正方形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．（2019·重庆初三）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=﹣的图象经过点C，与AB交与点D，则△COD的面积的值等于_____；
【答案】10．
【解析】
详解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，
∵四边形OABC为菱形，∴AB∥CO，AO∥BC．
∵DE∥AO，∴S△ADO=S△DEO，同理S△BCD=S△CDE．
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO．
∵tan∠AOC=，∴OF=3x，∴OC=5x，∴OA=OC=5x．
∵S菱形ABCO=AO•CF=20x2．
∵C（﹣3x，4x），∴×3x×4x=6，∴x2=1，∴S菱形ABCO=20，∴△COD的面积=10．
故答案为10．
点睛：本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键．
25．（2019·内蒙古中考模拟）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
在△CNB和△DMC中，，
∴△CNB≌△DMC（ASA），①正确；
∴CM＝BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB＝OD，
在△OCM和△OBN中，，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，
在△CON和△DOM中，，
∴△CON≌△DOM（SAS），②正确；
∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，
∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，③不正确；
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，

,④正确；
故答案为①②④．
【点睛】
此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键.
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
26．（2019·湖北中考模拟）大学生小亮响应国家创新创业号召，回家乡承包了一片坡地，改造后种植优质称猴桃．经核算这批称猴桃的种植成本为16元/kg．设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销得出如下规律：
①称猴桃的销售价格p（元/kg）与时间x（天）的关系：
当1≤x＜20时，p与x满足一次函数关系．如下表：
当20≤x≤30时，销售价格稳定为24元/kg；
②称猴桃的销售量y（kg）与时间x（天）的关系：第一天卖出24kg，以后每天比前一天多卖出4kg．
（1）填空：试销的一个月中，销售价p（元/kg）与时间x（天）的函数关系式为 ；销售量y（kg）与时间x（天）的函数关系式为 ；
（2）求试售第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）p＝，y＝4x+24；（2）销售第30天时，利润最大，最大利润为1152元．
【解析】
解：（1）依题意，当1≤x＜20时，设p＝kx+b，得，
解得p＝﹣x+36，
故销售价p（元/kg）与时间x（天）的函数关系式为，p＝ ，
由②得，销售量y（kg）与时间x（天）的函数关系式为：y＝4x+24，
故答案为p＝ ，y＝4x+24；
（2）设利润为W，
①当1≤x＜20时，W＝（﹣x+36﹣16）（4x+24）
＝﹣2（x﹣17）2+1058
∴x＝17时，W最大＝1058，
②当20≤x≤30时，
W＝（24﹣16）（4x+24）
＝32x+192
∴x＝30时，W最大＝1152
∵1152＞1058
∴销售第30天时，利润最大，最大利润为1152元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.
27．（2019·上海中考模拟）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．
（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．
【答案】（1）16（2）（3）或
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴cs∠BCA＝cs∠MBN＝，
∴
∴AC＝15
∴AB＝＝20
∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF，
∴AF＝＝12，
∵AF⊥BC
∴cs∠EAF＝cs∠MBN＝
∴AE＝20
∴EF＝＝16
（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，
由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，
∴BH＝＝16，
∵BF＝x，
∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，
∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，
∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN
∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，
∴△FAE∽△FCA
∴，∠AEF＝∠FAC，
∴AF2＝FC×EF
∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，
∴EF＝
∴BE＝BF+EF＝
∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠FAC，
∴△BDE∽△CFA
∴
∴
∴y＝（0（3）如图，若△ADF∽△CEA，
∵△△ADF∽△CEA，
∴∠ADF＝∠AEC，
∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，
∴∠DAF+∠MBN＝180°，
∴点A，点F，点B，点D四点共圆，
∴∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，
∴AB＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，
∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，
∴∠BDE＝90°＝∠AFC，
∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF，
∴AF＝＝12，
∴BF＝，
∵AB＝AE，∠AFC＝90°，
∴BE＝2BF＝32，
∴cs∠MBN＝，
∴BE＝，
如图，若△ADF∽△CAE，
∵△ADF∽△CAE，
∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，
∴AC∥DF
∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，
∴∠MBN＝∠DFB，
∴DF＝BD，
∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，
∴∠DAF+∠MBN＝180°，
∴点A，点F，点B，点D四点共圆，
∴∠ADF＝∠ABF，
∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，
∴△ABE∽△CAE
∴
设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）
∴BE＝k，
∵BC＝BE﹣CE＝25
∴k＝
∴AE＝，CE＝，BE＝
∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE，
∴△AFC∽△EFA，
∴，
设AF＝7a，EF＝20a，
∴CF＝a，
∵CE＝EF﹣CF＝a＝，
∴a＝，
∴EF＝，
∵AC∥DF，
∴，
∴，
∴DF＝，
综上所述：当BD为或时，△ADF与△ACE相似
【点睛】
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
28．（2019·天津二十中中考模拟）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．
∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
x（天）
2
4
6
…
p（元/kg）
35
34
33
…