青岛版九年级上册数学期中测试卷（1-3单元）（含答案解析）

这是一份青岛版九年级上册数学期中测试卷（1-3单元）（含答案解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图，添加一个条件使与相似，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在Rt中，，则的正切值为（ ）．
A．B．C．D．
3．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形
4．如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
5．中，，，则的值（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．6B．16C．8D．12
8．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图：已知大矩形宽，小矩形宽，小矩形在平移过程中保持，则重叠部分的四边形的面积是（ ）．
A．B．12C．6D．
10．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．已知：如图， ，若，那么 ．
12．如图，、相交于，且，若，，，则 ．
13．如图，在中，，则的长是 ．
14．计算：
15．如图，在三角形纸片中，点D是边上的中点，连接，把沿着翻折，得到，连接，若的面积为，，则 ．
16．如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ．
17．如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为 ．
18．如图，AB为半圆的直径，以半圆的一条弦非直径)为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则弦的长为 ．
19．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是 步．
20．如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ．
三、解答题（共60分）
21．已知，，点、分别在边、上，，．
(1)求CD的长；
(2)求证：．
22．如图，，点是线段上的一点，且．

(1)求证：．
(2)若，求的长．
23．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
24．如图， 内接于，D是的直径的延长线上一点， ，过圆心 O作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长．
25．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．
(1)求扶手前端到地面的距离；
(2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号）
26．如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

(1)的长为____________；
(2)当时，求t的值；
(3)试探究：t为何值时，为等腰三角形；
(4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长．
27．已知：四点在上，延长交于点，且．
(1)若，
①求证：；
②当时，求的度数．
(2)若的半径为4，求的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解决问题的关键是掌握相似三角形的判定定理：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【详解】解：由图得：，
∴当或或或或或时，，
选项B、C、D正确；
A选项中，的夹角与的夹角不一定相等，
这两个三角形不一定相似．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可．
【详解】解：，，，
，
．
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5．C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据，，求出的值，即可求解．
【详解】解：如下图：
∵中，，
∴，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论等知识．根据圆内接四边形的性质得到，则的度数是，根据得到的度数是，利用圆周角定理的推论即可得到的度数．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴的度数是，
∵，
∴的度数是，
∴，
故选：B
7．B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】解：∵是的直径，且，
∴，
∵
∴
在中，，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键．
根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合，
∴点在以点为圆心的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形，如图，过点作的垂线段，交于点，可得，再解直角三角形求得，即可求得平行四边形的面积，利用解直角三角形求得平行四边形的底边长是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点，
小矩形宽，
，
，
根据题意可得，
四边形为平行四边形，
平行四边形以为底，底边上的高为，
，
故选：A．
10．C
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】解：过点E作于点N，延长交于M，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
设，则
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C
11．9
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，得出，则，然后把代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
12．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质定理．由，得，即得，故．
【详解】解：，，
，
，
，，，
，
；
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键．
如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长．
【详解】解：如图，作于，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：6．
14．/
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
15．3
【分析】本题考查直角三角形的边角关系、等腰三角形、折叠轴对称的性质等知识．连接，过点作，垂足为，设，设，则，得出，根据等腰三角形的性质，利用三角形面积公式列出方程，进而得出答案．
【详解】解：连接，过点作，垂足为，设，
点是边上的中点，
，
由折叠得，，，
，
∴，，
∵， ，即，
∴，
，
在中，，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
，，
，即，
解得（负值已舍），
故答案为：3．
16．100
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
故答案为：
17．12
【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明垂直平分，垂直平分，进而得出，，等量代换即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
E是的外心，
，
P，Q分别是，的中点，
，，
垂直平分，垂直平分，
，，
的周长，
故答案为：12．
18．
【分析】本题将翻折变换、相似三角形的性质与判定、勾股定理，作AB关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，首先构造全等三角形，然后再利用勾股定理和相似三角形的性质解答．
【详解】解：如图，
，且，
，，
作AB关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，，则、、三点共线，
线段与线段AB关于直线对称，
，
， ，．
四边形是圆内接四边形，
，
又
，
又，
，
即．
则，
又，
，
．
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了内切圆和勾股定理，连接，设半径为步，由勾股定理得步，再由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，为内切圆，切点分别为，连接，设半径为步，
∴，，，
∵步，步，
∴由勾股定理得：（步）
∵为内切圆，
∴，，
∴
∴，解得：，
∴的直径是步，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值．
【详解】解：连接，作垂直于于H．
∵，，是直径，，，
∴，，四边形是矩形，
∴，，
∴，
，
在中根据勾股定理得到，
即的最小值为．
故答案为：．
21．(1)；
(2)见解析．
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论；
（1）先证明，进而可得，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可；
（2）根据线段长计算可得，进而可证明，由此可得，根据同位角相等两直线平行可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）：∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)4
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）根据垂直得到，利用同角的余角相等得到，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，代入已知线段长度即可求出的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
23．(1)证明见解析
(2)的半径是5．
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：，为的弦，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，为的弦，
，，
∴
设的半径是，
∴，
解得，
的半径是5．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等角对等边得出，等量代换得，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设设，则， ，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解．
【详解】（1）证明∶∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）
，
．
设，则．
在 中， 即
解得 (不合题意，舍去)，
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
（1）如图2，过作，垂足为，又过作，垂足为，过作，构造和中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；
（2）由平行线的性质知；根据题意得到，，，如图2，过作，垂足为，设，通过解和，根据等量关系列出方程，通过解方程求得答案．
【详解】（1）解：如图2，过作，垂足为，
又过作，垂足为，过作，垂足为，则．
则四边形为矩形，，
，、所在直线与地面的夹角分别为、，
，
则在中，．
在中，，，
．
又，前后车轮半径均为，
扶手前端到地面的距离为；
（2）解：，
，
，椅子的支点到点的距离为，，
，
如图2，过作，垂足为，设，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，
解得．
．
答：坐板的宽度为．
26．(1)
(2)
(3)或或
(4)秒
【分析】（1）作，可推出四边形是矩形得分别在直角三角形求出即可求解；
（2）作可得四边形是平行四边形，推出，；结合可得，推出，即可求解；
（3）分类讨论时时，三种情况即可求解；
（4）求出两种临界状态、下的的值即可求解；
【详解】（1）解：作，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：作交于点G，如图所示：

∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
（3）解：时：

即：，
解得：；
时：作，

则，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：；
时：作，

则，
∵，
∴，
∴，
即：；
解得：；
综上所述：当或或时，为等腰三角形
（4）解：由（1）可知：，
当时，如图所示：
，
解得：；
当时，如图所示：
，
解得：；
∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，，
∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒
【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义和性质等等，利用分类讨论的所学求解是解题的关键．
27．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由等边对等角得出，由圆周角定理得出，从而得出，即可得证；②由可得：，证明为等边三角形，得出，即可得解；
（2）作于，则，由勾股定理表示出，根据已知数据得出，结合，得出当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四点在上，
∴，
∴，
∴；
由可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：如图：作于，则，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，
∵的半径为4，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
A
C
B
B
B
A
C