河南省郑州市宇华实验学校2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2024−2025学年高二上学期9月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知、，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
2．已知，则下列说法一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．若，则点C在线段上
3．定义函数，设区间的长度为，则不等式解集区间的长度总和为（ ）
A．5B．6C．D．
4．口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，则（ ）
A．B．事件可能同时发生
C．与互斥D．事件A与事件B不相互独立
5．已知二面角的大小为，其棱上有两点，分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直，已知，则（ ）
A．2B．C．D．
6．若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（ ）
A．3B．1C．D．4
8．复数的虚部是（ ）
A．1012B．1011C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列选项正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是，
B．满足的集合M的个数为
C．已知，，则
D．已知指数函数（且）的图象过点，则
10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象
D．函数的最大值为
11．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象
B．若，则当时，的取值范围为
C．若在区间上恰有3个极大值点，则
D．若在区间上单调递减，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知幂函数的图像过点，且当时，恒有，则实数a的取值范围为 .
13．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ．
14．如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)若在上的最小值为，求的值；
(2)若函数恰有3个零点，求的取值范围．
16．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值；
(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求的值；
(2)如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积．
18．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正切值为5，求BQ的长．
19．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【分析】由得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为、，，所以，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选D.
【关键点拨】根据题意分析，关键是由可得，再利用基本不等式可得答案.
2．【答案】B
【分析】根据题意，由对数不等式可得，即可判断A，由幂函数以及指数函数的单调性即可判断B，由对数函数的值域即可判断C，由平面向量数乘的定义即可判断D
【详解】因为，则，即，
所以，故A错误；
因为在上单调递减，且，所以，
又，所以在单调递增，所以，
所以，故B正确；
因为，所以，当时，，
当时，，故C错误；
又，所以，由可得点C在延长线上，故D错误；
故选B.
3．【答案】B
【分析】根据的图象，记的三个零点为，则解集区间的长度总和为，对函数进行通分再结合函数零点，利用对应相等即可得解.
【详解】
画出的图象，记的三个零点为，
则解集区间的长度总和为，
通分得，
记①，
的三个零点为，则②，
对比①②两式中的系数得，，
所以区间长度总和.
故选B.
4．【答案】D
【分析】根据和事件概率判断A选项，应用互斥事件判断B,C选项，根据独立事件的概率乘积公式判断D选项,.
【详解】由已知可得，,
,A选项错误；
因为所以,事件A,B,C不可能同时发生，B选项错误；
事件表示“取到的不是红球”即“取到的是黄球或白球”，事件表示“取到的不是白球”即“取到的是黄球或红球”，
事件可以同时发生，即“取到的是黄球”，不是互斥，C选项错误；
不等于,所以事件A与事件B不相互独立,D选项正确.
故选D.
5．【答案】D
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.
【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，
因为，，则，
又因为，，，故二面角的平面角为，
因为四边形为平行四边形，则，，
因为，故为直角三角形，则，
因为，则，，因为，故平面，
因为平面，则，故.
故选D
6．【答案】C
【分析】先对分不同情况进行讨论，得出当时不满足条件，当或时满足条件，当时不满足条件，即得到所求的全部为和，从而得到答案.
【详解】若，则，所以不满足条件；
若或，则对有，或.
所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件；
若，则，所以不满足条件；
若，则由可知，存在正整数满足.
此时，，
从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件.
综上，满足条件的有和.
故选C.
7．【答案】A
【分析】根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解可得角；根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理，得，
由，得，
所以，即.
因为，所以，又，
所以，因为，所以.

由，
得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，
从而，当且仅当取等号.
则，
当且仅当取等号，则长的最大值为3.
故选：A.
8．【答案】D
【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为.
故选D.
【思路导引】题中给出的复数过于复杂时，需要先进行化简，利用错位相减法化简复数，再根据分母有理化计算出虚部为.
9．【答案】BC
【分析】对于A，命题的前提发生变化；对于B，求出满足条件的集合个数即可；对于C，由题意计算出即可判断；对于D，先求出，再算出即可判断.
【详解】对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变，
所以命题“，”的否定是，，
故选项A错误；
对于B，满足的集合M的个数为，
故选项B正确；
对于C，，，所以，
故选项C正确；
对于D，已知指数函数（且）的图象过点，
所以，所以，故选项D错误.
故选：BC.
10．【答案】BCD
【分析】根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、三角恒等变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A选项：将代入，得，
故的图象不关于点对称，故选项A错误；
对于B选项：在，令，则，
因为，所以，
根据余弦函数图象可知在单调递增，故选项B正确；
对于C选项：将图象上的所有点向右平移个单位长度，
可得到，
故选项C正确；
对于D选项：，
所以，
结合余弦函数的性质可知：，故选项D正确．
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】由题可得，
对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；
对于B，，，则，，所以，B正确；
对C，由可得，
由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；
对于D，，则，
因为单调递减，
所以，，且即，
解得，，且，
当时，，当时，，D错误.
故选：BC.
12．【答案】
【分析】先求出，利用分离参数法得到在上恒成立. 令，利用单调性求出，即可求得实数a的取值范围.
【详解】因为幂函数的图像过点，所以，解得：，所以.
所以在上恒成立可化为：在上恒成立.
令，只需.
因为，所以在上单减，
所以.
所以.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
13．【答案】.
【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
14．【答案】
【分析】由已知得，，，长度为2，且两两夹角已知，可用三个向量表示出，表示出模长即可得到最小值.
【详解】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形，
则，且，，
所以即为二面角的平面角，即.
因为，，设，
则，且，，
则
则，
，
则，当时，有最小值为.
所以，.
所以，线段MN长的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对a分类讨论及利用基本不等式求解；
（2）令，则方程化为，结合函数的图象进行求解．
【详解】（1）当时，在上单调递增，所以不存在最小值；
当时，，
所以，解得（舍去）或，故；
（2）令，
即，．
令，则方程化为，
画出的图象如图所示，
因为恰有3个零点，所以有两个根，，且，
记，
则，解得，
综上，的取值范围是．
16．【答案】(1)；
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）依题频率和为1可得答案；
（2）求出的取值及相应的概率可得答案；
（3）根据独立重复概率公式可得答案.
【详解】（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，
所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，
所以可取0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
所以；
（3）从所有花卉中随机抽取3株，
记至少有2株高度在为事件，
则.
17．【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换分析求解；
（2）中，可得，，可知，进而在中，利用余弦定理和面积公式分析求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
注意到，则，可得，
且，则，
可得，
则，
又因为，则，可知，
可得，，
所以.
（2）由（1）可得：，
因为，在中，可得，，
又因为，可得，
则，
在中，由余弦定理，
即，解得，可知，
所以的面积.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）取的中点M，连接MP，MB，利用平行四边形证明，由判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，根据向量法求出二面角的正切值，解出，即可得解.
【详解】（1）取的中点M，连接MP，MB，如图，
在四棱台中，四边形是梯形，，
又点M，P分别是棱的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平面中，作于O．
因为平面平面ABCD，平面平面，，
平面，所以平面ABCD．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．
以为正交基底，建立空间直角坐标系．
因为四边形是等腰梯形，，所以
又，所以．
易得，
所以．
设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，
令，可得，另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角平面角为，由题意得．
又，所以，
解得（舍去负值），因此．
所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1．
19．【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）由（2）可得在上单调递减，在上单调递增，
可得，，，
关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为.0
1
2