河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了已知直线,,若,则实数，千年宝地,一马当先，已知，，，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
4.试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合与之间的关系是( )
A.B.C.D.
2.已知,（e为自然对数的底数）,比较a,b,c的大小( )
A.B.C.D.
3.设函数，若有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
4.某校校庆日为每年5月4日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为( )
A.B.C.D.
5.为了得到函数的图象,只要将函数图象上所有点的( )
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移个单位长度
B.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,再把得到的图象向左平移个单位长度
C.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移个单位长度
D.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的图象向左平移个单位长度
6.已知直线,,若,则实数( )
A.1B.3C.1或3D.0
7.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，B是底面圆周上的一点，且，M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8.千年宝地,一马当先.2023年10月15日7时30分,吉利银河.2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑,比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与.为确保活动顺利举行,组委会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站(志愿者为选手递送饮料或饮用水,为选手提供能量补给),两个饮水站中间设置一个用水站(志愿者为选手递送湿毛巾等,协助医务工作者),共15个饮用水服务点,分别由含甲,乙在内的15支志愿者服务队负责,则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知，，，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
10.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )
A.圆锥的母线长为3
B.圆锥的表面积为
C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
D.若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为
11.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则下列说法正确的是( )
A.所有项的系数之和为1B.所有项的系数之和为-1
C.含的项的系数为240D.含的项的系数为-240
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知是函数的零点,则_______________.
13.已知复数w满足（i为虚数单位），在复平面内，复数z对应的点为Z，且z满足不等式，则点Z构成的平面图形的面积为__________.
14.在平面直角坐标系xOy中，过双曲线的右焦点F的直线在第一、第二象限交E的两渐近线分别于M，N两点，且.若，则双曲线E的离心率为____________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的最小正周期为T.若,且的图象关于直线对称.
(1)求函数的单调增区间；
(2)求函数在区间上的最值.
16.（15分）已知两个定点，，如果动点P满足.
(1)求点P的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；
(2)若直线分别与点P的轨迹和圆都有公共点，求实数k的取值范围.
17.（15分）如图,在中,点D在边BC上,.
（1）若,,,求AB；
（2）若是锐角三角形,,求的取值范围.
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，O，E分别是，的中点，平面经过点O，D，E与棱交于点F.
（1）试用所学知识确定F在棱上的位置；
（2）若，，求与平面所成角的正弦值.
19.（17分）已知双曲线的右焦点,渐近线方程.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,交y轴于点P,若,,求证:为定值；
（3）在（2）的条件下,若点Q是点P关于原点O的对称点,求面积的取值范围.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：C
解析：当时，；当时，，所以.
2.答案：D
解析：由三角函数线可得：不等式,
则,
又函数为增函数,为减函数,
则,
所以,综上所述：,故选：D.
3.答案：C
解析：当时，函数单调递增，函数值集合为，
当时，函数单调递减，函数值集合为，
当时，函数单调递增，函数值集合为，
作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有3个交点，
所以有三个不同的实数根，实数k的取值范围是.
故选：C.
4.答案：B
解析：记吹南风为事件A，下雨为事件B，因为，所以既吹南风又下雨的概率为，故选B.
5.答案：D
解析：,
对选项A:得到的函数为,错误；
对选项B:得到的函数为,错误；
对选项C:得到的函数为,错误；
对选项D:得到的函数为,正确；
故选:D
6.答案：A
解析：因为,所以,
解得:或,
当时,,,两直线平行,满足题意,
当时,,,两直线重合,舍,
所以.故选:A.
7.答案：C
解析：以O为坐标原点，过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成的角为，则.故选C.
8.答案：B
解析:由题意,,故共有饮水站8个,用水站7个,
分别设为,,
其中任取2个饮用水服务点安排给甲,乙,共有种不同的安排方法,
甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的时,可以分别取一个饮水站和一个用水站安排给甲,乙共有,再减去其中甲,乙相邻的情况,相邻时,
共有,,,…,,14种情况,故甲队和乙队服务类型不同且服务点相邻的安排方法为,即满足甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的安排方法有种,由古典概型可知,
故选:B
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.答案：AC
解析：由已知得，，两式分别平方相加得，整理得，故A正确，B错误；
，，，，，故C正确，D错误.故选AC.
10.答案：BD
解析：设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，，解得，所以圆锥的母线长为9，故A，C错误；圆锥的表面积，故B正确；如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接，则三角形为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为，故D正确.
11.答案：AC
解析：二项式的展开式的通项为，因为它第2项与第3项的二项式系数之比是，所以，求得，故通项公式为.令，求得，故的系数为，今代入.故所有项的系数之和为1.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.答案：2
解析：
所以,即,或.
则.
13.答案：
解析：，.，点Z构成的平面图形为一个圆环，其中大圆是以为圆心，2为半径的圆，小圆是以为圆心，1为半径的圆，点Z构成的平面图形的面积为.
14.答案：
解析：如图，设，，因为，易知，，所以；又，所以，在直角中，利用勾股定理可得，所以，求得(负值舍去)，也即，所以可得离心率为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）答案：(1),
(2)最小值为2,最大值为3
解析：（1）∵,
由函数的最小正周期T满足,得,解得,
又因为函数图象关于直线对称,所以,
所以,,所以,所以,
由,,得,
函数的单调增区间为,.
（2）, ,,
由,当或时,,
当时,
16.（15分）答案：(1)，轨迹是以为圆心，半径为2的圆
(2).
解析：(1)设，由，则，
化简得：；
P的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.
(2)直线l与圆相切或相交，
即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，
直线l与圆相切或相交，
即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，
综上，直线分别与P的轨迹和圆都有公共点时，
实数.
17.（15分）答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中,由余弦定理得,
即,而,解得,则,
在中,,由余弦定理得.
（2）在锐角中,,,且,则,
由正弦定理得,
显然,即有,因此,即,
所以的取值范围是.
18.（17分）答案：（1）F在棱的靠近B的三等分点处
（2）
解析：（1）如图，过P作直线l与平行，延长与l交于点G，连接交于点F.因为底面是矩形，O是的中点，所以，且.
因为，所以.
因为E是的中点，所以，所以.
又因为，且，所以.
故F在棱的靠近B的三等分点处.
（2）因为，O是的中点，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
取的中点Q，连接，易知，，两两垂直.
如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.设平面的法向量为，
则即
则，令，则，所以.
.（另解：，，故）设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
19.（17分）答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）依题意,,渐近线方程.
所以,又因为,解得:,,
所以双曲线C的方程为.
（2）由（1）知,双曲线C的渐近线方程为,
依题意,直线l的斜率k存在,且,
设直线l的方程为:,,,
由,消去x并整理得:,设,,
则,,
而点,则,,
因为,则有,即,同理,
所以,为定值.
（3）由（2）知,点,,,
因为,令,而函数在上单调递减,即,
因此,所以.
所以三角形QAB的面积的取值范围.