河南省焦作市宇华实验学校2023-2024学年高二上学期宏志班第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省焦作市宇华实验学校2023-2024学年高二上学期宏志班第二次月考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是（ ）
A．B．6C．14D．
3．在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相交或相切D．相切
6．如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择，两观测点，且在，两点测得塔顶的仰角分别为，.在水平面上测得，，两地相距，则铁塔的高度是
A．B．C．D．
7．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为A'，若四边形AA'PF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)
10．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ）
A．可以排成9个不同的三位数B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为D．所得的三位数大于400的概率为
11．已知，且是方程的两个实根，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， ．设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有（ ）
A．若平行于渐近线，则B．若，则
C．若，则D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为 ．
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 ．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
16．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
17．已知三角形ABC的三个顶点为，，，
(1)求三角形ABC外接圆的方程；
(2)若圆与圆相交于点P、Q，求|PQ|.
18．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点.
(1)证明：平面ABCD；
(2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由.
19．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围.
20．已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
21．某区工商局、消费者协会在月号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取名群众，按他们的年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，求被采访人恰好在第组或第组的概率；
（Ⅱ）已知第组群众中男性有人，组织方要从第组中随机抽取名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率.
22．已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）当时，求曲线的方程；
（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
1．D
【分析】根据复数的运算律求出复数，再求出对应的点即可.
【详解】，
故在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．
故选:D.
2．A
【分析】根据题意，结合向量平行的坐标运算，即可求解.
【详解】∵，∴，∴，∴，，∴.
故选：A．
3．A
【分析】设，根据，求得，再利用向量法求解即可.
【详解】解：设，
则，
，
因为，
所以，解得，
故，，
则，
所以异面直线与夹角的余弦值为.
故选：A.
4．D
【分析】
根据线面的位置关系及判定方法求解.
【详解】若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，可能有，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确，
故选：D.
5．A
【分析】方法一利用直线过定点，定点代入圆方程判断直线与圆的位置关系；方法二利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系；方法三利用直曲联立，有两个交点时判别式大于零.
【详解】方法一：直线恒过定点，而,所以点在圆内，故直线与圆相交.选A.
方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A.
方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得，则，所以直线与圆相交.故选A.
故选：A.
6．D
【详解】分析：由题意结合几何关系和余弦定理得到关于塔高的方程，解方程即可求得塔高.
详解：设,则,,
在中,由余弦定理知,
解得米,(舍去).
故铁塔的高度为600米.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查了余弦定理的应用.考查了学生空间观察能力和运用三角函数解决实际问题的能力.
7．C
【分析】过点F作，垂足为F'.设，根据和抛物线定义，可得，，，以及与的关系，再由四边形的面积为，解出即得.
【详解】作出图形如下所示，过点F作，垂足为F'.设，因为，故，，由抛物线定义可知，，则，故，四边形的面积，解得，故抛物线C的方程为.
故选：C
【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，考查运算求解能力和数形结合思想.
8．B
【分析】由“局部奇函数”可得，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，分类讨论可得答案.
【详解】由“局部奇函数”可得：，
整理可得：，
考虑到，从而可将视为整体，
方程转化为：，
利用换元设（），
则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，
故分一个解和两个解来进行分类讨论，设，
（1）当时，，解得：.
（2）当时，则，即，解得，
综上所述：，
答案：B.
9．AC
【分析】根据法向量的定义及向量的坐标表示、运算逐项分析即可判断.
【详解】∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，
∴B不正确；
C中, AC1⊥，AC1⊥，，AC1⊥面B1CD1且＝(1，1，1)，∴C正确，
D中，因＝(1，0，0)，∴·(0，1，1)＝0，又＝(0，1，1)，且(0，1，1)·(0，1，1)≠0，∴D不正确．
故选：AC
10．BD
【分析】利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
11．BCD
【分析】根据题意可得，，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D
【详解】由，是方程的两不等实根，
所以，，
，
由，，均为正数，
则，当且仅当取等号，等号不成立
，当且仅当取等号，
故选：BCD
12．ACD
【分析】
根据给定条件，求出的边长及内角，并结合对称性不妨令点P在第一象限，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】
依题意，在中，，而，，则，，
由对称性，不妨令点P在第一象限，如图
对于A，若平行于渐近线，而直线斜率为，则，得，A正确；
对于B，若，则，在中，由余弦定理得：
，，
离心率，B错误；
对于C，若，则，在中，
，离心率，C正确；
对于D，显然点，由得：，
即有点，而点M在双曲线C上，即，
整理得：，即有，显然，
因为，有，即，矛盾，因此，，
由得，即，则，
所以，D正确．
故选：ACD
13．
【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.
14．
【分析】利用等体积法求得到平面的距离.
【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，
依题意可知平面，
所以平面，
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
,，
所以，
由于，所以，
，
设到平面的距离为，则，
即.
故答案为：
15．
【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，
即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．
考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．
16．##
【分析】利用基本不等式来求得最小值.
【详解】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）设圆的一般方程，分别代入三个顶点，列出方程组，解方程组，可得所求的圆方程.
（2）将圆与圆的方程相减，得到公共弦方程，再利用勾股定理，可求出弦长.
【详解】（1）解：设三角形ABC外接圆的方程为，且，分别代入三个顶点为，，，
可得方程组：解得：，满足，
则：圆的方程为.
（2）解：先将圆方程化为：，
列出方程组，，
再将圆与圆的方程相减，即，得公共弦的直线方程为：，又因为圆的圆心坐标，且半径为，则圆心到公共弦的直线的距离为，故公共弦
18．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由平面，平面ABCD，所以，因为，所以四边形MDBN为平行四边形，所以可证明结论.
（2）建系，设，由平面AMN，解出，再由向量的模长公式计算长度.
【详解】（1）证明：连接BD，如图(1).

因为平面，平面ABCD，
所以.
因为，
所以四边形MDBN为平行四边形.
所以.
又平面，平面ABCD，所以平面ABCD.
（2）由题意知DM，DC，DA两两垂直.
以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)的空间直角坐标系，

则，，，，，
假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE.
易知，，.
设，，
则.
由平面AMN，得即
解得.
此时，所以.
故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角A；（2）利用正弦定理将所给等式转化为关于a、b、c的等式，结合余弦定理即可求出a，从而可得，代入三角形面积公式并将角统一为B，即可根据三角函数的值域求得三角形的面积的范围.
【详解】（1）由及正弦定理得：
，
因为，，所以，，
所以，又，所以；
（2）由正弦定理，，，
由得：，
即①，由余弦定理得，解得，
所以，
，
∵为锐角三角形，∴且，
即，∴，
∴，∴.
面积的取值范围为.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式、正弦型函数的值域，属于中档题.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）根据折叠问题中的线面位置关系，分别求解底面AECD的面积和锥体的高，进而可以求解出锥体的体积；
（2）运用空间向量求解面面角即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
易知，
则为等边三角形，则，
又因为平面平面，所以平面，
所以；
（2）连接，以为原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
则，又两平面的夹角范围为
所以平面与平面所成角的正弦值为．
21．（1）；（2）.
【详解】（Ⅰ）设第组的频率为
；
第组的频率为
所以被采访人恰好在第组或第组的概率为

（Ⅱ）设第组的频数，则
记第组中的男性为，女性为
随机抽取名群众的基本事件是：，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共种
其中至少有两名女性的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共种
所以至少有两名女性的概率为
考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.
22．(1) (2)
【分析】(1)由题意设 ， ，再表示出得出 .然后求得结果.
(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再代入面积公式表示出 再利用函数的单调性求得范围.
【详解】（1）设 ，则，
因为，则


所以，
整理得 .
所以，当时，曲线的方程为 .
（2）设. 由题意知，
直线的方程为：，直线的方程为：.
由（Ⅰ）知，曲线的方程为 ，
联立 ，消去，得，得
联立，消去，得，得

设 则在上递增
又，
的取值范围为
【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题.