福建省龙岩市新罗区龙岩学院附属中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市新罗区龙岩学院附属中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了 单选题， 多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 单选题
1．写出数列的一个通项公式（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内切D．外切
3．图中的直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
4．把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（ ）种方法.
A．81B．64C．12D．7
5．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
6．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A．36B．72C．81D．144
8．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、 多选题
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若，则D．若，则
10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
11．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数（k，b为常数）的图象上，则为等差数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
12．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A．B．抛物线的方程为
C．直线的方程为D．
三、填空题
13．已知a是1，2的等差中项， b是 1， 16的等比中项， 则ab等于 ；
14．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是 .
15．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
16．已知点，点B在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为 ．
四、解答题
17．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知圆．
(1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
(2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
20．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比大的正整数.
21．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
22．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
1．B
【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.
【详解】数列，
则其分母为，分子为，则其通项公式为.
故选：B
2．B
【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
3．D
【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，
由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，
.
故选：D.
4．B
【分析】分析每一个小球的放法，根据分步计数原理求解.
【详解】对于第一个小球有4种不同的放法，
第二个小球也有4种不同的放法，
第三个小球也有4种不同的放法，
即每个小球都有4种可能的放法，
根据分步计数原理知不同放法共有（种）.
故选：B.
5．C
【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到，用基本不等式求最值.
【详解】∵，∴，
由已知，得，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：C.
6．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
7．D
【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，
将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，
故共有种不同的排法，
故选：D
8．C
【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
9．AC
【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；
再根据两直线垂直列出方程，求出.
【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．
若，则，解得，C正确，D错误．
故选：AC
10．BCD
【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.
【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.
故选：BCD.
11．ABC
【分析】直接利用数列的递推关系式，等差数列和等比数列的定义判断A，B，C，D的结论．
【详解】对于A：点在函数，为常数）的图象上，故，
故（常数），则为等差数列，故A正确；
对于B：由于数列为等差数列，所以（常数），
故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；
对于C：若为等差数列，，所以，则，
又，所以，故，所以公差，
所以等差数列递减，则当时，，当时，，
则当时，最大，故C正确；
对于D：由于，当时，整理得，
当时，，故，
经检验，不满足上式，
故，故选项D错误．
故选：ABC．
12．ACD
【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.
【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
13．
【分析】根据等差和等比中项的定义求，即可求解.
【详解】因为是的等差中项，所以，
因为是，的等比中项，所以，
，所以.
故答案为：.
14．或
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案. ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；
②直线不过原点，设其方程为，
又由直线经过点，则有，解可得，
此时直线的方程为，
故直线l的方程为或.
故答案为：或.
15．
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
16．
【分析】设出动点M的坐标，根据M是线段AB的中点，利用中点坐标公式求出B点的坐标，再根据点B在圆上，代入圆的方程得到M的轨迹方程.
【详解】设，由定点，且M是线段AB的中点，
由中点坐标公式可得，即，
又点B在圆上，故，即，
整理得，
所以线段AB中点M的轨迹方程是,
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
18．(1)，圆心坐标，半径为
(2)或
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案
【详解】（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．
20．(1)288
(2)504
(3)240
【分析】（1）先在个位排1个奇数，然后在首位排除0之外的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果；
（2）分两类，个位数字是0，和不是0，利用两个计数原理进行求解即可；
（3）要比大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解．
【详解】（1）先排个位数，有种，
因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，
根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，
当个位数是0，有，
当个位不数是0，有，
根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；
（3）要比大，首位必须是4或5，其余位数全排列即可，
所以有（个）.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据求出首项及，构造法求出通项公式；
（2）求出，从而利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，所以，所以，
，
所以
22．（1）；（2）18.
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．