贵州省贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷

这是一份贵州省贵阳市清华中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，下列三角函数式的值不等于的是，口袋中有2个红球和2个白球等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；试卷满分150分）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点关于Oyz坐标平面的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．王伟在“国庆”节七天假期中每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如下表，则（ ）
A．王伟这七天每天运动时长的平均数是73
B．王伟这七天每天运动时长的中位数是75
C．王伟这七天每天运动时长的第80百分位数是92
D．王伟这七天每天运动时长的极差是45
4．下列三角函数式的值不等于的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，其图象不关于原点对称的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，则直线EF到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则实数a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”。则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与互为对立 C． D．与相互独立
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ）
A． B．
C． D．
11．在正方体中，，，则（ ）
A．为钝角 B．
C．平面 D．直线EF与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线与直线互相垂直，则实数的值为________．
13．已知圆与圆相交，则实数的取值范围是________．
14．如图，正方体的棱长为1，若空间中的动点满足，，，，则下列命题正确的是________．（请用正确命题的序号作答）
①若，则二面角的平面角为；
②若，则点到平面的距离为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则动点的轨迹构成的平面图形的面积为．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在平行六面体中，，，，，．求：
（1）的长；
（2）与BD所成角的余弦值．
16．（本题满分15分）
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．
17．（本题满分15分）
如图，在长方体中，，是AB的中点，是棱上一点．
（1）若是的中点，求证：平面MNC；
（2）若平面MNC，求AN的长．
18．（本题满分17分）
如图，四棱锥中，是等边三角形，，．
（1）证明：；
（2）若，，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
19．（本题满分17分）
已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）求的最小值；
（3）经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值．
清华中学2024—2025学年度上学期10月阶段考试答案及评分参考
高二数学
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有两个正确选项的选对1个得3分，有3个正确选项的选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．1或0（只填1或0其中1个给3分，凡填有除0、1以外的数值的本小题给0分）．
13．（填写或的扣1分；填写且不扣分）．
14．①④（只填①或④其中1个给3分，凡填有除①、④以外的序号的本小题给0分）．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
解：（1），
类似求得，， 2分
4分
．
所以，长为； 6分
（2）
． 8分
∴ 10分
而，∴
∴． 12分
所以，与所成角的余弦值为． 13分
16．（本题满分15分）
解：（1）设圆的方程为， 1分
由已知得， 4分
解得，，， 6分
所以圆的方程为，即； 7分
（2）（1）若直线有斜率，可设的方程为，即， 8分
由已知，则圆心到直线的距离 10分
解得， 11分
相应的直线的方程为，即； 12分
（2）若直线没有斜率，则的方程为， 13分
由解得，，满足条件， 14分
综上所述，直线的方程为或． 15分
17．（本题满分15分）
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 1分
由题设可得：，，，，，，，
∴，， 4分
计算得，
，
所以，，， 7分
又∵，∴平面MNC； 8分
（2）设AN的长为，则点的坐标为，进而得， 9分
设平面MNC的法向量为，由，且得，
，即，取得， 12分
∵，且平面MNC
∴，于是，即， 14分
解得，即AN的长为． 15分
18．（本题满分17分）
（1）证明：如图①，设为BD中点，连接PO、CO． 1分
图①
由，可得，
由，可得， 3分
又∵，，平面POC，
所以平面POC， 5分
又平面POC，所以． 6分
（2）解：∵，为BD中点，∴，
又∵，且A，B，C，D四点共面，∴A，O，C三点共线，且， 7分
∵，，∴，． 8分
由题意知为正三棱锥，所以点在底面ABD上的射影是正的中心，连接PM，如图②所示．
图②
根据正三角形的性质可得，，
∴， 9分
以为坐标原点，OA，OB所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系Oxyz，
可得，，，，，
∴，，，． 11分
设平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，
则
即 13分
令，可得，， 15分
∴．
所以，平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 17分
19．（本题满分17分）
解：（1）由已知得， 2分
化简得，即，
这就是动点的轨迹的方程； 4分
（2）法一：设，得，
代入轨迹的方程消去并整理得， 6分
∴，即， 8分
解得，故的最小值为； 9分
法二：设，即，将该方程视为一条直线，
由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆， 6分
由题意可知，直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不超过半径，
即， 8分
解得，故的最小值为； 9分
法三：由（1）的结论可设， 6分
则， 8分
∵，当时，的最小值为； 9分
（3）i）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 10分
由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 11分
到直线AB的距离，∴， 12分
类似地，，
∴． 14分
ⅱ）若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0，
此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），∴．
综上知，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值为7． 17分
注：各题的其它解法请参照评分参考酌情给分。
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
运动时长
58
92
100
70
80
45
60
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
B
B
C
D
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
BCD