河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学测试卷（含解析）

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学测试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．下列元素的全体能构成集合的是（ ）
A．某电视台著名节目主持人B．高中学生中的游泳能手
C．中国古代四大发明D．，，
2．对多项式分解因式正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
3．设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
4．下列不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（ ）
A．1个B．2个C．4个D．8个
7．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人．
A．3B．9C．19D．14
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8
11．已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知全集，，则 ．
13．若不等式的解集为，则 ．
14．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设集合，.
(1)当时，求，；
(2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合.
16．解下列不等式
(1)
(2)
(3)
17．已知集合，．
(1)当时，求集合，；
(2)若，求实数的取值范围．
18．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由．
19．已知函数，．
(1)解关于的不等式；
(2)若方程有两个正实数根，，求的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据集合中的元素满足确定性，互异性，无序性，即可判断选项.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，某电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合；
对于B，高中学生中的游泳能手，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合；
对于C，中国古代四大发明：指南针，火药，造纸术，印刷术，可以构成集合；
对于D，，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合．
故选C．
2．【答案】B
【分析】利用“十字”相乘法分解因式即得.
【详解】，ACD错误，B正确.
故选B.
3．【答案】C
【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数.
【详解】由且可知，可以取，则可取，
即，故集合的真子集个数为.
故选C.
4．【答案】A
【分析】先解不等式组，再进行判断即可.
【详解】由.
故选A.
5．【答案】D
【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.
【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，
当时，要使得不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述，的取值范围为.
故选D．
6．【答案】B
【分析】根据题意得到A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，一定不包含4和6，从而得到集合A的个数为2个.
【详解】集合A满足，，
∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，
一定不包含4和6，
所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为
故选B．
7．【答案】B
【分析】取特殊值，可知A错误；利用作差法即可判断比较出选项BCD的大小，得出结论.
【详解】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误；
对于B，若，则，所以B正确；
对于C，若，则，所以C错误；
对于D，若，则，所以D错误.
故选B.
8．【答案】C
【分析】利用文氏图，列式求解.
【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：
，解得，所以只参加一项比赛的有人，
故选C．
9．【答案】AD
【分析】根据集合与元素的关系，结合子集和相等集合的定义、空集的定义逐一判断即可.
【详解】因为集合中的元素在集合中，因此这两个集合是包含关系，不是属于关系，因此选项A错误；
因为集合与集合中的元素相同，所以这两个集合相等，因此选项B正确；
因为集合中的元素都在集合中，因此正确，故选项C正确；
因为集合中的元素不是空集，所以错误，因此选项D错误，
故选AD.
10．【答案】BD
【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可.
【详解】由题意，，
因为，
所以，
当时，，合题意，
当时，，，
因为，
所以或，所以或，
故．
集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，
集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.
故选BD.
11．【答案】ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当x=1时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】
【分析】化简集合，再求补集.
【详解】，且，
当时，，故．
故答案为：.
13．【答案】5
【分析】由题意可知：为方程的两根，利用韦达定理运算求解即可.
【详解】由题意可知：为方程的两根，
则，即，
所以.
故答案为：5.
14．【答案】1
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】为方程的两个实数根，
,，故
则，
，解得．
符合题意．
故答案为：1.
15．【答案】(1)，；
(2).
【分析】(1)由题意求出集合中方程的解，由中的元素根据交集、并集运算即可求解；
(2)由题意得中的元素只有3个，由中的元素即可得到的取值.
【详解】(1)当时，，
，即，解得或，，
，.
(2)若集合的真子集有7个，则，可得，
即中的元素只有3个，
而，解得或，则，
由(1)知，
则当时，，
故所有实数的取值所构成的集合为.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先分解因式，再由二次不等式的解法得解；
（2）两边同乘以去分母，转化为二次不等式求解；
（3）分类讨论，去掉绝对值号得解.
【详解】（1）由可得，
所以或，
即不等式的解集为.
（2）由可得，
化简可得，
解得或，
即不等式的解集为.
（3）由，
当时，，解得，
所以，
当时，，解得，
所以，
当时，，解得，
所以.
综上，不等式的解集为.
17．【答案】(1)，
(2)．
【分析】（1）利用交集和并集的概念求出答案；
（2）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，当时，．
所以，．
（2）当时，，解得，满足，
当时，若，则，解得，
故实数的取值范围为．
18．【答案】(1)合格，理由见解析
(2)变好了，理由见解析
【分析】（1），所以这所公寓的采光效果合格；
（2）设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米，作差法比较出，从而得到结论.
【详解】（1）这所公寓的窗户面积为20平方米，则地板面积为190平方米，
由题意可得：，
所以这所公寓的采光效果合格．
（2）设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米，
则，
由题意可知，，
所以，即．
所以公寓的采光效果变好了．
19．【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）因式分解得到，分，和三种情况，求出不等式的解集；
（2）由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出，表达出，求出的最小值.
【详解】（1）不等式即为，
∴，
方程的两根分别为2和，
当时，解不等式可得，
当时，不等式无解，
当时，解不等式可得，
综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）方程有两个正实数根，，
即方程有两个正实数根，，
则，解得，
由韦达定理得，，，
故，
当时，，达到最小值，故的最小值为．