邵阳市重点中学2023-2024学年数学八上期末达标测试试题【含解析】

这是一份邵阳市重点中学2023-2024学年数学八上期末达标测试试题【含解析】，共19页。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，则DE＝（ ）cm．
A．1B．2C．3D．4
2．如果一条直线经过不同的三点，，，那么直线经过（ ）
A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限
3．如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，6）C．（﹣1，6）D．（﹣9，2）
4．一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
5．代数之父——丢番图(Diphantus)是古希腊的大数学家，是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人． 丢番图的墓志铭与众不同，不是记叙文，而是一道数学题．对其墓志铭的解答激发了许多人学习数学的兴趣，其中一段大意为：他的一生幼年占，青少年占，又过了才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半．
下面是其墓志铭解答的一种方法：
解：设丢番图的寿命为x岁，根据题意得：
，
解得．
∴丢番图的寿命为84岁．
这种解答“墓志铭”体现的思想方法是（ ）
A．数形结合思想B．方程思想C．转化思想D．类比思想
6．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
7．已知是整数，当取最小值时，的值是( )
A．5B．6C．7D．8
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．6，7，11
10．如图，在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，点E是AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD=（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若，则的值为____.
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若AB＝AD＝DC＝3，∠A＝120°，则梯形ABCD的周长为_____．
13．因式分解：______________．
14．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例如：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：192021，根据上述方法.当时，多项式分解因式后形成的加密数据是______.
15．已知直线y＝kx＋b与x轴正半轴相交于点A（m＋4，0），与y轴正半轴相交于点B（0，m），点C在第四象限，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点C的坐标是______．
16． “关心他人，奉献爱心”.我市某中学举行慈善一日捐活动，活动中七年级一班50名学生自发组织献爱心捐款活动.班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了条形统计图.根据图中提供的信息，全班同学捐款的总金额是___元.
17．如图，木匠在做门框时防止门框变形，用一根木条斜着钉好，这样门框就固定了，所运用的数学道理是______________.
18．若，则等于______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），直线L过点（1，0）且与y轴平行．
（1）作出△ABC关于直线L的对称图形△A′B′C′；
（2）分别写出点A′，B′，C′的坐标．
20．（6分）某中学开展“数学史”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请计算八（1）班、八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩；
（2）请判断哪个班选出的5名选手的复赛成绩比较稳定，并说明理由？
21．（6分）已知某一次函数的图象如图所示.
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．
22．（8分）已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB．
23．（8分）已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′=90°．求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；
（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE
求证：AH＝2BD
25．（10分）已知a+b=2，求（）•的值．
26．（10分）如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=1．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】过D作DF⊥BC于F，由角平分线的性质得DE=DF，根据即可解得DE的长．
【详解】过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DF=DE，
∵△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，
又，
∴，
解得：DE=2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理，作出相应的辅助线是解答本题的关键．
2、A
【分析】一条直线l经过不同的三点，先设直线表达式为：，，把三点代入表达式，用a,b表示k、m ，再判断即可．
【详解】设直线表达式为：，
将，，代入表达式中，得如下式子：
，
由（1）（2）得：
，
得，
与（3）相减，
得，
直线为：．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线经过象限问题，涉及待定系数法求解析式，解方程组等知识，关键是掌握点在直线上，点的坐标满足解析式，会解方程组．
3、A
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【详解】由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选A．
【点睛】
本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
4、C
【解析】试题分析：设正方形的边长等于a，
∵正方形的面积是20，∴a==2，
∵16＜20＜25，∴4＜＜5，即4＜a＜5，
∴它的边长大小在4与5之间．
故选C．
考点：估算无理数的大小．
5、B
【分析】根据解题方法进行分析即可．
【详解】根据题意，可知这种解答“墓志铭”的方法是利用设未知数，根据已经条件列方程求解，
体现的思想方法是方程思想，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解题思想中的方程思想，掌握知识点是解题关键．
6、B
【解析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③
④均是正确的,②缺少条件无法证明.
【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,
∴∠CAB=90°,①正确,
∵AE平分∠CAD,EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA,③正确,
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确,
综上正确的一共有3个,故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键.
7、A
【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵，∴，
且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5，
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
8、C
【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
【详解】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，
△AQP和△AQP′中，
，∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=AB=6，
∴PQ+BQ的最小值是6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
9、C
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项正确；
D、62+72≠112，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．
10、C
【分析】根据已知条件DE是垂直平分线得到，根据等腰三角形的性质得到，结合∠ACB=90°可得从而，由跟勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：点为的中点，于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质和判定、勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线性质和等腰三角形性质是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-5
【解析】利用多项式乘以多项式的运算法则计算，即可求得a、b的值，由此即可求得a+b的值.
【详解】∵=，
∴a=1，b=-6，
∴a+b=1+（-6）=-5.
故答案为：-5.
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，熟练运用多项式乘以多项式的运算法则计算出是解决问题的关键.
12、1
【分析】首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，由AB＝AD＝DC＝2，∠A＝120°，易证得四边形AECD是平行四边形，△ABE是等边三角形，继而求得答案．
【详解】解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝CD，CE＝AD＝3，
∵AB＝DC，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝3，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝1．
故答案为：1．
【点睛】
考核知识点：平行四边形性质.作辅助线是关键.
13、 ；
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行分解因式，即可得到答案.
【详解】解：
=
=；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法和步骤.
14、1
【分析】先将多项式分解因式，再计算当时各个因式的值，然后将得到的各因式的数字按照从小到大的顺序排列即得答案．
【详解】解：，当时，，．
∴多项式分解因式后形成的加密数据是：1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是解答的关键．
15、（2，－2）
【分析】根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，证明全等三角形后，根据全等的性质可得对应线段等，即可得到等量，列出方程求解即可得到结论；
【详解】解：如图，过C作CF⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为E、F，则四边形OECF为矩形，∠BEC=∠CFA=90°，
由题意可知，∠BCA=90°，BC=AC，
∵四边形OECF为矩形，
∴∠ECF=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BEC和△AFC中，
∴△BEC≌△AFC
∴CE=CF，AF=BE，
设C点坐标为（a，b），则AF=m+4-a，BE=m-b
∴
解得，
∴点C（2，-2）
故答案为：（2，-2）
【点睛】
本题考查一次函数与坐标轴交点、等腰直角三角形性质、三角形全等性质和判定、两点间距离等知识点，画出图形，构造全等图形是解题的关键．
16、1620
【分析】由表提供的信息可知，把金额乘以对应人数，然后相加即可.
【详解】解：根据题意，得，
总金额为：
元；
故答案为1620.
【点睛】
本题考查了有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是读懂题意，根据表格中的数据进行计算.
17、三角形的稳定性
【分析】用一根木条斜着钉好之后就会出现一个三角形，根据三角形的稳定性即可得到答案.
【详解】用一根木条斜着钉好之后就会出现一个三角形，因为三角形具有稳定性，所以门框就会固定了.
故答案为：三角形的稳定性.
【点睛】
本题主要考查三角形的稳定性，掌握三角形稳定性的应用是解题的关键.
18、1
【分析】根据幂的乘方，将的底数化为2，然后根据同底数幂乘方的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
将代入，得
原式=
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂乘方的逆用和幂的乘方及逆用是解决此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）△A′B′C′如图所示．见解析；（2）A′（4，5），B′（5，2），C′（3，1）．
【分析】（1）先分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，再顺次连接即可．
（2）根据A′，B′，C′的位置写出坐标即可．
【详解】（1）△A′B′C′如图所示．
（2）∵A（﹣2，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），
∴它们关于直线l的对称点的坐标分别为：A′（4，5），B′（5，2），C′（3，1）．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识.
20、（1）八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分；（2）八（1）班的成绩比较稳定，见解析
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【详解】（1）=（75+80+85+85+100）=85（分），
=（70+100+100+75+80）=85（分），
所以，八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分．
（2）八（1）班的成绩比较稳定．
理由如下：
s2八（1）=[（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2]=70，
s2八（2）=[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160，
∵s2八（1）＜s2八（2）
∴八（1）班的成绩比较稳定．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21、（1）；（2）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先找到（2,0）关于y轴的对称点，然后利用待定系数法即可求解.
【详解】解：（1）设一次函数的解析式为：y=kx+b
据图可知：直线经过（0,3）和（2,0）两点
∴解得：
∴一次函数的解析式为：
（2）（2,0）关于y轴的对称点为（-2，0）
设一次函数的解析式为：y=mx+n
直线经过（0,3）和（-2,0）两点
∴解得：
该直线关于y轴对称的直线解析式为：
【点睛】
本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键.
22、见解析
【解析】试题分析：根据邻补角的定义证得∠ADB=∠ADC，再利用ASA证明△ABD△ACD，根据全等三角形的性质即可得结论.
试题解析：
证明：∵∠3=∠4，
∴∠ADB=∠ADC（等角的补角相等），
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD△ACD（ASA），
∴AC=AB．
23、（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；（2）见解析
【分析】（1）把已知的条件用语言叙述是一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边分别相等，结论是两个三角形全等，据此即可写出；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；
（2）在△ACO和直角△A'C'O′中，
，
∴△ACO≌△A′C′O，
∴OC=C′O，AO=A′O，
∴BC=B′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．
【点睛】
本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．
24、详见解析
【分析】由等腰三角形的底边上的垂线与中线重合的性质求得BC=2BD，根据直角三角形的两个锐角互余的特性求知∠1+∠C=90°；又由已知条件AE⊥AC知∠2+∠C=90°，所以根据等量代换求得∠1=∠2；然后由三角形全等的判定定理SAS证明△AEH≌△BEC，再根据全等三角形的对应边相等及等量代换求得AH=2BD
【详解】∵AD是高,BE是高
∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°
∴∠EBC=∠CAD
又∵AE＝BE
∠AEH=∠BEC
∴△AEH△BEC(ASA)
∴AH ＝BC
∵AB＝AC，AD是高
∴BC=2BD
∴AH ＝2BD
考点：1 等腰三角形的性质;2 全等三角形的判定与性质
25、
【分析】首先把该分式进行化简，把括号里面的分式进行通分，然后把括号外面的分母由完全平方差和完全平方和的互化公式，可把分母化成，最后进行相同因式的约分得到化简结果，再把整体代入求值.
【详解】解:原式=
当时
原式=
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，化简过程需要用到通分约分，通分时要找准最简公分母，约分时先把分子分母因式分解，得到各个因式乘积的形式，再找相同的因式进行约分得到最简分式.代入求值时，要有整体代入的思维.
26、（1）△AOB为等腰直角三角形；（2）OD⊥OE，证明见解析；（3）∠BDE与∠COE互余．
【分析】
（1）根据a2﹣2ab+b2=1，可得a=b，又由∠AOB=91°，所以可得出△AOB的形状；
（2）OD=OE，OD⊥OE，通过证明△OAD≌△OBE可以得证；
（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根据三角形外角的性质得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=91°，从而得出∠BDE+∠COE=91°，所以∠BDE与∠COE互余．
【详解】
解：（1）∵a2﹣2ab+b2=1．
∴（a﹣b）2=1，
∴a=b，
又∵∠AOB=91°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：
如图 ②，∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，
在△OAD和△OBE中，
△OAD≌△OBE（SAS），
∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∵∠AOD+∠DOB=91°，
∴∠DOB+∠BOE=91°，
∴OD⊥OE；
（3）∠BDE与∠COE互余，理由如下：
如图③，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO=45°，
∴∠DEB+∠BEO=45°，
∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，
∴∠DEB=∠COE，
∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=91°，
∴∠BDE+∠COE=91°
∴∠BDE与∠COE互余．