湖南省衡阳市逸夫中学2024-2025学年九年级上学期10月份月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市逸夫中学2024-2025学年九年级上学期10月份月考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列式子不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．C．D．
7．化简的正确结果为（ ）
A．B．C．3D．9
8．用配方法解方程，方程变形为，则（ ）
A．25B．24C．23D．22
9．代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
10．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，点在对角线上移动，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
二、填空题
11．的值为 ．
12．比较大小：3 .
13．方程的一次项系数是．则常数项是 ，
14．计算的结果是 ．
15．如果最简根式与是同类二次根式，那么 ．
16．已知，则的值为 ．
17．方程（m-1）+3x+5=0为一元二次方程，则m的值为 ．
18．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ．
三、解答题
19．计算
(1)；
(2)．
20．解方程：
(1)；（配方法）
(2)．
21．先化简，再求值：已知，，求的值．
22．关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程两实根 满足，求的值．
23．认真阅读下列解答过程，并解答下列各题：
比较与的大小．
解：
因为
所以
即：
(1)试比较与的大小；
(2)尝试计算：
24．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？
26．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

参考答案：
1．B
【分析】此题主要考查了二次根式的概念，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意；
B、被开方数不能为负数，故本选项符合题意；
C、是二次根式，故本选项不符合题意；
D、是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B
2．A
【分析】本题主要考查二次根式，三次根式的性质化简，最简二次根式的概念，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：、是最简二次根式，符合题意；
、是三次根式，不符合题意；
、不是最简二次根式，不符合题意；
、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
3．C
【分析】将化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案；
本题考查最简二次根式的知识，注意将各项化为最简后再判断是解题的关键．
【详解】解：，
，
,
，
,
∴能和合并的是
故选：C．
4．D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程整理后得到，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元三次方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
5．B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查数轴及二次根式化简、绝对值的化简，关键是根据数轴得出与的正负情况．
根据数轴先确定、的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
【详解】解：根据实数在数轴上的位置得知：，
即：，，
∴
．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行求解即可．
【详解】解：；
故选C．
8．C
【分析】利用配方法求解即可．
本题考查了配方法，正确理解配方法是解题的关键．
【详解】解：原方程变形得：，
配方得：，
即，
故，
，
故选：C．
9．D
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，分式有意义的条件解答即可．
本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：二次根式有意义，
故，
解得，
分式有意义，
故即，
故且，
故选D．
10．B
【分析】利用两点之间线段最短的原理解决问题，E关于的对称点为，且为的中点，连接交于点P， ，进而求的最小值．
【详解】解：作E关于的对称点为，连接交于点P，
由轴对称可知，，
在正方形中，，
又为的中点，
∴为的中点，
∴，
在中，
，
∵，当C、P、共线时取等号，
∴的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，正方形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，利用正方形的性质和勾股定理解决问题是解决问题的关键．
11．
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：32=9，(22)2＝8，
∵9＞8，
∴3＞22，
故答案为＞．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
13．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，进行求解即可．
【详解】解：方程化为一般形式是的常数项是1，
故答案为；1．
14．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算计算即可．掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先结合二次根式有意义的条件确定的值，然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意，可知，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
17．-1
【分析】把含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的概念即可完成．
【详解】由题意得：且m-1≠0
解得：m=－1
即当m=－1时，方程（m-1）+3x+5=0是一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般形式为，其中a≠0，且a，b，c是常数，理解概念是关键．
18．1
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴
∴原式
．
故答案为：1
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键；
（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】（）移项，利用配方法解答即可；
（）移项，利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：移项得，，
∴，
即，
∴或，
∴，．
21．13
【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据题意解得、的值，再将原式整理为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值．
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
则当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵方程两实根 ，
∴，
∴，
∴．
23．(1)
(2)9
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）根据题中方法进行二次根式的化简比较即可；
（2）利用题目所给的方法以及结合二次根式的变形进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
因为，
所以，
即：；
（2）解：
．
24．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状；
（2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
将代入方程，得：，
整理，得：，
即：，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
25．（1）二、三月份销售量的平均月增长率为25%；（2）每件降价50元，四月份可获利12000元．
【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x）；三月份的销售量为：320（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：500元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=12000求出即可．
【详解】（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：
320（1+x）2=500
解得：x1=0.25，x2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%．
（2）解：设每件降价y元，根据题意得：
（500+10×）（150-y-80）=12000
整理得：y2+180y-11500=0
解得：y1=50，y2=-230（不合，舍去）．
答：每件降价50元，四月份可获利12000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
26．(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【详解】解：（1），
，
所以x=0或或
，，；
故答案为-2，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当x=-1时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，


两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
B
A
C
C
D
B