辽宁省大连市第九中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份辽宁省大连市第九中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如下字体的四个汉字中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
3．如图，将绕点A逆时针旋转一定的度数，得到．若点D在线段的延长线上，若则旋转的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（ ）
A．或B．或C．或D．或
6．把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（ ）
A．y=（x+2）2+1B．y=（x+2）2+7C．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x+2）2﹣7
7．若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
8．下表示用计算器探索函数时所得的数值：
则方程的一个解的取值范围为（ ）
A．09．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则下列说法错误的是（ ）

A．点到轴的距离为B．当时，y随x的增大而减小
C．点也在反比例函数的图象上D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ．
12．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ．
13．反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

15．如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ．
三、解答题
16．已知二次函数的图象经过和．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
17．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的；
(2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标．
18．如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
(1)求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式；
(2)如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．
19．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．

图1 图2
(1)求I关于R的函数解析式；
(2)当时，求I的值；
(3)若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围．
20．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，设抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为，若为等边三角形，求的值；
(3)过（其中）且垂直轴的直线与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围．
22．【发现问题】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和Bx2,y2，用以下方式定义两点间的“折线距离”：．
（1）①已知点，则______；
②函数的图象如图1，是图象上一点，若，则点的坐标为______；
（2）如图2，菱形顶点的坐标是，，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标．
【拓展运用】
（3）函数和函数的图象如图3，是函数图象上一点，是函数图象上一点，当和分别取到最小值时，求的值．
23．如图1，在中，，点是边上一点，，将沿翻折至，与交于点．
(1)①通过测量，猜想并验证和的数量关系；
②求证：；
(2)如图2，过作交于点，若，，连接，求的长．
(3)如图3，若，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：．
2．D
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键．
【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线，
故选：D．
3．B
【分析】先由旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，
∴，
∴，
故旋转的度数为，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求出．
4．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解．
【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，先求出反比例函数表达式，进而求出点B的坐标，再根据利用函数图像与不等式的关系解不等式即可得到答案．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，，
，
∴当时，，
，，
的解集是指一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的自变量的范围，即或，
故选：C．
6．C
【分析】用配方法化成顶点式即可．
【详解】解：y=x2﹣4x+3，
y=x2﹣4x+4-4+3，
y=（x-2）2﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查了用配方法把二次函数化成顶点式，解题关键是熟练运用配方法化顶点式，注意配方法的步骤．
7．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握其性质特征是解决此题的关键．
先求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：二次函数，
开口向上，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
当时，随的增大而增大，
，
故选：．
8．C
【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
【详解】∵二次函数中，a=1>0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴
∴时y随x的增大而增大，
∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0，
∴方程的一个正根：0.5故选C.
【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法.
9．D
【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式．
【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是，
另一边长是，
与的函数关系式为：．
选项、、都不正确，选项正确．
故选：．
10．D
【分析】根据，即可判断A选项，根据反比例函数的图象即可判断B选项，求得，进而判断C选项，根据的几何意义，即可判断D选项，即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，则，则反比例函数解析式为，
∴A. 点到轴的距离为，故该选项正确，不符合题意；
B. 根据函数图象，可知，当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，，则点也在反比例函数的图象上，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，反比例函数的的几何意义，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．
【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．
13．
【分析】本题主要考查反比例函数图象和性质．此题难度适中．
根据反比例函数所在的象限，判定的符号，即，然后通过解不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内
，
解得，；
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得x=-1或，从而即可得解．
【详解】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得x=-1或，
∴，
∴；
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键．
【详解】过点作轴交轴于点，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
把代入，
∴，
∴a=-1，
故答案为：
16．(1)
(2)顶点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法列方程求解即可．
（2）把一般式通过配方转化为顶点式即可．
【详解】（1）解：把和代入，
得：，解得：，
∴此抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及用配方法求顶点式，熟练掌握待定系数法与配方法是解题关键．
17．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键．
（1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案；
（2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案；
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；．
18．(1)
(2)这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀
【分析】（1）设抛物线顶点式表达式，代入坐标求解．
（2）当时，解一元二次方程即可．
【详解】（1）由抛物线顶点是，设抛物线解析式为：，
把点代入得，∴抛物线解析式为：；
（2）当时，， 解得，（舍去），，
即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是结合图像利用抛物线顶点式求表达式．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）将，代入解析式，求出I的值，即可；
（3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果．
正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：设，由图象可知，
当时，，
∴，
∴；
（2）当时，；
（3）当，，
当，，
∴该台灯的电阻R的取值范围为．
20．(1)（13≤x≤18），
(2)销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），根据坐标（14，220），（16，180）代入求值即可；
（2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可；
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知，
当时，；当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），
（2）设每天所获利润为w元，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，
（元），
答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元；
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
21．(1)直线
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
（1）化为顶点式，即可求得对称轴；
（2）根据题意，画出图形，当时，，求得，则，由（1）可知，顶点C的坐标为．根据为等边三角形，得到，在中，由勾股定理得，则，继而可求解；
（3）分两种情况考虑，根据对称性求得的横坐标，确定的值，即的纵坐标，分①当时，②当时画出图形，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：依照题意，画出图形，如图1所示．
当时，，即，
解得：．
∴，
设对称轴交x轴于，则，
∵为等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
由（1）知顶点为，
∴；
（3）解：分两种情况考虑，如图2所示：
①当时，，
∴ ，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：
综上，或．
22．（1）①；②；（2）当在上，；（3）
【分析】（1）①代入定义中的公式求；
②设出函数的图象上点的坐标，通过建立方程求解；
（2）先由定义求出，根据菱形的性质求得点的坐标，用待定系数法求出的函数解析式，再设点在上坐标为，根据列方程求解，同理可判断了点不在其他三边上；
（3）先配方得，可得当时，最小，此时点坐标为，设点，由得，分类讨论求得最小时的值，再求的值．
【详解】解：（1）①；
②∵点在函数上，设，
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴点．
（2），，
设解析式为，，代入

当在上，设


同理可证点E不可能在上，
，
点不能在点右侧，
（3）解：设
，
当时，最小，
设
，
当时，
当时，最小值为
当时，
当时，最小值为，
∴当时，最小，
∴．
【点睛】本题在新定义下考查了求一次函数的解析式和配方法，二次函数的最值，关键是由拆线距离的定义来构造方程．
23．(1)①；②见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）①设，由折叠可得，，；
②在△中，，得．
（2）由（1）可得为等腰直角△，易证，又∵，，可得，可证，设，则，，在中由勾股定理可求出，在中，由勾股定理求出的长．
（3）过点作，取的中点，连接，可证得，设，可得，，在中，，求出的值即可．
【详解】（1）解：①
设，
②由①得，
．
（2），
，
∴，
设，，，，
在中，
在中，，
（舍），
∴，
，
∴，，
，
，
∵
．
（3）过作，取中点，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，点是的中点
∴是的中位线
∴，
∴
设，，

在中，
，，
∵，
∴，
解得，

．
【点睛】本题主要考查了轴对称和全等三角形的判定以及勾股定理，关键是找出图形中的全等三角形并证明，灵活运用设参和勾股定理求线段的长是常用的方法．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
C
C
A
C
D
D