河南省郑州市郑州实验外国语中学2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试题

这是一份河南省郑州市郑州实验外国语中学2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填B．（2）处可填
C．（3）处可填D．（4）处可填
3．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A．B．2C．D．5
4．若把方程化为的形式，则的值是（ ）
A．5B．2C．D．
5．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．根据以下平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
7．由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
A．1.0＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3D．14.41＜x＜15.84
8．有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（ ）
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球
9．如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
10．如图，在正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以为邻边构造平行四边形，连接，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
二、填空题
11．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是 ．
12．一个盒中有8枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有 枚白棋子．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为)，则点的坐标为 ．

14．如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．

15．若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)．
(2)．
17．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形是菱形
18．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
19．某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得，
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
(1)数学问题中横线处短缺的条件是______；
(2)所列方程中未知数x的实际意义是____________；
(3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
四、填空题
20．如图，已知直线，，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．
（1）若，，，则的长为 ；
（2）若，，则的长为 ．
五、解答题
21．阅读下列材料，完成相应任务．
材料一 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．
材料二 若，是一元二次方程的两个根，求的值．
解：，是一元二次方程的两个根，
，．
．
任务：
(1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________．
(2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根．
①求m的取值范围；
②若此方程的两根分别为，，且，求m的值．
22．某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
23．综合与实践
数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】
（1）如图1，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
可证：．请写出证明过程；
【深入思考】
（2）在（1）的条件下，如图2，若延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想，的数量关系，并证明你的猜想．
x
1.0
1.1
1.2
1.3
x2+12x
13
14.41
15.84
17.29
参考答案：
1．A
【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题．
【详解】解：设，则，
∴，
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．
【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：
解得，
经检验，是分式方程的解且符合实际意义，
即P点表示的数为．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．
4．A
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将配方得，
，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
故选∶D．
6．C
【分析】根据菱形的判定解答即可．
【详解】解：A．平行四边形的一个角为，则另一个相邻角为，不是菱形，该选项不符合题意；
B．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，故不是菱形，不符合题意；
C．平行四边形的一条边为10，对角线为16和12，其一半分别分为8，6，满足勾股定理的逆定理：，所以对角线相互垂直，故是菱形，符合题意；
D．由图可知，故对角线不垂直，所以不是菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答．
7．B
【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时的范围即为所求根的范围．
【详解】解：，
一元二次方程的一个根的范围为．
故选：．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
8．A
【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
【详解】解：观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球，
故选：A．
【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于利用树状图进行解答．
9．C
【分析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行四边形性质等．根据题意过点作交的延长线于，证明，再证明，继而得到本题答案．
【详解】解：过点作交的延长线于，
，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
12．16
【分析】本题考查了用频率估算概率，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率．首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，从而得到事件的概率，然后根据概率计算出白棋子的个数即可．
【详解】解：共取了300次，其中有100次取到黑棋子，
摸到黑色棋子的概率约为，
摸到白色棋子的概率约为，
共有10可黑色棋子，
设有个白色棋子，则，
解得：，
经检验，是方程的解，
故答案为：16．
13．
【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．
【详解】解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，，
则点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
14．/
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到，再根据相似图形的性质得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论．
【详解】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2＝，
∵（m﹣2）2≥0，
∴≥0，
解得：，
∴c的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键．
（1）先移项，然后运用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
或，
解得：，；
（2）
，，，
，
，
解得：，；
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
18．（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
【详解】解：（1）A区显示结果为： ，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
19．(1)单价每降低1元时，月销售量可增加20件
(2)单价降低了元
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据所列方程，可得出题干中缺失的条件；
（2）根据所列方程，可找出未知数的实际意义；
（3）利用月销售总利润每件的销售利润月销售量，可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：根据所列方程，可知问题中括号处短缺的条件是：单价每降低1元时，月销售量可增加20件．
故答案为：单价每降低1元时，月销售量可增加20件．
（2）解：根据所列方程，可知所列方程中未知数x的实际意义是单价降低了元．
故答案为：单价降低了元；
（3）解：根据题意，得，
整理，得，
解之，得，，
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴，
∴．
答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元．
20． 10
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，
（1）根据平行线分线段成比例的性质得，再代入计算；
（2）根据平行线分线段成比例得性质得，再代入计算即可．
【详解】（1）∵，，，，
∴，
即，
解得；
故答案为：6．
（2）∵，，，
∴，
即，
解得．
故答案为：10．
21．(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键．
（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
（2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴．
故答案为：；
（2）解：①∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得；
②∵关于x的方程的两根分别为α，β，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
由①知，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）根据树状图找出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球的情况，即可得解．
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图知共有6种情况；
（2）解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，
抽到颜色不同的两球共有4种情况，
所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）．理由见解析
【分析】（1）利用即可证明；
（2）由推出，，证明四边形是正方形，利用等量代换即可推出；
（3）连接和，证明，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴；
（2）；理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
（3）．理由如下：
连接和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，四边形是正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
D
C
B
A
C
B