2024-2025学年北京市海淀区十一学校龙樾学校九年级上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区十一学校龙樾学校九年级上学期10月月考数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程3x2−5x−4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3，−5，−4B. 3，5，4C. 3，−4，−5D. 3，5，4
2.第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日−8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+1)2+2B. y=3(x−1)2+2
C. y=3(x−2)2+1D. y=3(x−2)2−1
4.在平面直角坐标系xOy中，点P1,−2关于原点对称的点的坐标是( )
A. −1,2B. 1,−2C. −2,1 D. 2,−1
5.将x2+4x+2=0左边配成完全平方后，得方程( )
A. x+42=2B. x+22=2C. x+22=4D. x+42=4
6.如图，以1,−4为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是( )
A. 27.如图，已知△BEF的边EF和BE与圆O相切于C、B两点，BF经过圆心O，交圆O于A、B两点，点C为弧AB上靠近点A的三等分点，若BE= 3，则线段AF的长为( )
A. 1B. 3
C. 32D. 2− 32
8.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点C是弦AB的“α可及点”.如图，点A(0,1)，B(1,0).若点C是弦AB的“90∘可及点”，则点C的横坐标的最大值为( )
A. 1+ 22B. 1+ 22C. 1D. 1+ 32
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.二次函数y=x2+4x−3的顶点坐标是 ．
10.若m是方程x2+x−4=0的一个实数根，则代数式m2+m+2024的值为 ．
11.请写出一个开口向下的二次函数的表达式 ．
12.如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的深度是球状瓶身高度的13，液面的宽度为8cm，那么球状瓶身的半径长为 ．
13.某旅行社的一则广告如下：
现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用27500元，设这次旅游可以安排x人参加，根据题意建立方程为 ．
14.如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘，∠C=55∘，将▵ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C′恰好落在线段AC上，AB、A′C′交于点D，则∠A′DB的度数是 ．
15.如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF.若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 ．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0,B3,0，C为平面内的动点，且满足∠ACB=90∘，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x2−6x+8=0．
18.(本小题8分)
下面是某学习小组设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆外一点P．
求作：过点P且与⊙O相切的直线．
作法：如图，①连接OP，分别以O，P为圆心，大于12OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN，与OP交于点Q，以Q为圆心，以OQ长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；③作直线PA，PB.则直线PA，PB是所求作的⊙O的切线．
根据该小组设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，按照上述作法补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，MP，MO，NP，NO，
∵MP=MO，NP=NO，
∴MN是OP的垂直平分线，( )(填推理的依据)
∴Q为OP中点，QP=QO，
∴OP为⊙Q的直径，
∴∠PAO=90∘，( )(填推理的依据)
∵A点在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线．( )(填推理的依据)
19.(本小题8分)
如图，在以AB为直径的⊙O中，弦CD⊥AB于点H，与弦AE交于点F，连接BE，已知CD=8，AH=2．
(1)求⊙O的半径；
(2)若AC=CE，求BE的长．
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A0,−3，B−1,0．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出抛物线的图象；
(3)点Px1,y1是抛物线上一点，若−321.(本小题8分)
如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，▵AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(3,2)，B1,3．
(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为 ；
(2)▵AOB绕点O顺时针旋转90∘后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标 ；
(3)求点B运动的路径的长度．
22.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2+2m−3x+m2+1=0．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
(2)若方程两实根x1,x2 满足2x1+2x2=1，求m的值．
23.(本小题8分)
秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．
24.(本小题8分)
如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC=4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
(1)求证：BM与⊙O相切；
(2)当∠A=60∘时，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF=15∘，补全图形，并求点F到直线AB的距离．
25.(本小题8分)
糖类是一类有机化合物，有研究表明，不同种类的糖熔化过程中的温度变化不同。某校兴趣小组为研究糖的种类对其熔化过程中温度变化随时间的影响，选取了两种不同种类的糖，在其他方面均相同的情况下，记录糖初始温度，每隔0.5min测定其温度与初始温度的温度差为y，部分实验结果如下：
【说明】
a.此实验中均在同一实验室进行，糖的初温均相同；
b.可使用函数刻画温度差y(单位：℃ )与时间t(单位：min)之间的关系．
c.糖完全熔化后持续吸热，温度保持不变，将保持不变的这个温度称为其熔点．
【实验结果】
白砂糖：
饴糖：
根据上述结果，回答下列问题：
(1)建立平面直角坐标系，根据表格所给数据，分别画出y1与t，y2与t所满足的函数关系图象；
(2)在相同条件下，更容易熔化的糖是 (填“白砂糖”或“饴糖”)；
(3)查阅资料得知，该白砂糖的熔点在184∼189，该饴糖的熔点在136～138．
若初始温度为整数．
①初始温度是 ℃ ；
②对于饴糖，当与初始温度的温度差为100时，其加热时间t为 min，此时白砂糖的温度为 ℃ (结果均保留一位小数)
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a<0)上有两点x1,y1，x2,y2，它的对称轴为直线x=2t．
(1)若该抛物线经过点4,0，求t的值；
(2)当0①若t>1，则y1 0；(填“<”“=”或“>”)
②若对于x1+x2=2，都有y1y2>0，求t的取值范围．
27.(本小题8分)
在▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点P为▵ABC内一点．
(1)请你按照要求利用尺规作图作出∠APB=135∘，保留作图痕迹；
(2)说明∠APB=135∘的理由；
(3)在(1)的基础上过点C作CD⊥PA，垂足为D.用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边▵ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP.在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
(1)证明：AM=MP；
(2)∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，▵ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30∘．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.B
6.C
7.A
8.B
9.−2,−7
10.2028
11.y=−x2(答案不唯一)
12.3 2cm
13.x800−10x−30=27500
14.75∘/75度
15. 3
16. 2−1
17.解：x2−6x+8=0，
∴x2−6x+9=−8+9，
∴x−32=1，
∴x−3=1或x−3=−1，
解得：x1=4，x2=2．
18.(1)解：如图，PA，PB是所求作的⊙O的切线．
(2)证明：连接OA，MP，MO，NP，NO，
∵MP=MO，NP=NO，
∴MN是OP的垂直平分线，(与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
∴Q为OP中点，QP=QO，
∴OP为⊙Q的直径，
∴∠PAO=90∘，(直径所对的圆周角为直角)
∵A点在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线．(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)
故答案为：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角为直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
19.(1)解：如图，连接OD，
设半径OD=r，
∵CD=8，AH=2，CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴DH=4，OH=OA−AH=r−2，
∴r2=16+r−22，
解得r=5，
∴⊙O的半径为5；
(2)解：由(1)得：直径AB=10，AC⌢=AD⌢，∠E=90∘，
∵AC=CE
∴AC⌢=CE⌢，
∴AE⌢=CD⌢，
∴AE=CD=8，
∴BE= AB2−AE2=6．
20.(1)解：将A0,−3，B−1,0代入y=x2+bx+c
得：1−b+c=0c=−3,
解得：b=−2c=−3,
∴解析式为：y=x2−2x−3；
(2)解：列表：
描出点，再连线可得，图象如图所示：
(3)解：由函数图象得，
当−121.(1)解：如图，点A′和点A关于点O中心对称
∴A′−3,−2；
(2)解：如图，△A1OB1即为所求作，点B1的坐标3,−1．
(3)解：∵B1,3
∴OB= 12+32= 10
∴点B运动的路径的长度=90π× 10180= 10π2．
22.(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=2m−32−4×1×(m2+1)>0，
∴m<512，
则当m<512时，方程有两个不相等的实数根；
(2)∵x2+2m−3x+m2+1=0
∴x1+x2=−2m+3，x1x2=m2+1，
∵2x1+2x2=2x1+x2x1x2=1，
∴2−2m+3m2+1=1，
∴m2+4m−5=0，
∴m1=1，m2=−5，
∵方程两实根，
∴Δ=2m−32−4×1×(m2+1)≥0，
∴m≤512，
∴m=−5．

23.解：(1)以AB的中点为原点，建立如下的坐标系，
则点C(0,6)，点B(5,0)，
设函数的表达式为：y=ax2+c=ax2+6，
将点B的坐标代入上式得：0=25a+6，解得：a=−625，
故抛物线的表达式为：y=−625x2+6；
(2)设船桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为：2，
当x=2时，y=−625x2+6=−625×4+6=12625=5.04，
4.5<5.04，故边沿可以安全通过，
此时船的顶部高为4.5，4.5+0.5=5<6，故顶部通过符合要求，
故这艘游船能否安全通过玉带桥．
24.(1)证明：连接OB，
∵M为CD的中点，O是AC中点，
∴OM//AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90∘，
∴OM⊥BC，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
又OM=OM
∴▵OBM≌▵OCM，
∴∠OBM=∠OCM，
∵MC是⊙O切线
∴∠OCM=90∘，
∴∠OBM=90∘，
∴OB⊥BM，
∴BM是⊙O切线；
(2)如图所示，当点F在AB⌢上时，连接OF1，交AB于点G，
∵∠F1BA=15∘，
∴∠AOF1=30∘，
∵∠A=60∘，
∴OF1⊥AB，
∵直径AC=4，
∴AO=2，
∴AG=12AO=1，
∴OG= OA2−AG2= 3，
∴F1G=2− 3；
当点F在半圆AOC上时，过点F2作F2H⊥AB，垂足为点H，F2N⊥OG，垂足为点N，
∴四边形F2HGN是矩形，
在Rt▵F2NO中，OF2=2，
∵∠ABF1=∠ABF2=15∘，
∴∠AOF1=2∠ABF1=30∘，∠AOF2=2∠ABF2=30∘
∴∠F2ON=∠AOF2+∠AOF1=60∘，
∴∠OFN=30∘，
∴ON=12OF2=1，
∴FH=OG−ON= 3−1．
25.(1)解：根据题意，画图如下：
(2)解：根据熔点低的容易融化，
故饴糖更易融化，
故答案为：饴糖．
(3)解：①初始温度是0℃；
答案为：0．
②根据题意，得93.4+107.12=100.2℃ ，此时时间为2.5+32≈2.8min，128.2+145.42=136.8℃ ，
故答案为：2.8；136.8．
26.(1)∵抛物线经过点4,0，
∴0=16a+4b，
∴b=−4a，
∴2t=−b2a=−−4a2a=2，
∴t=1；
(2)∵a<0，
∴抛物线y=ax2+bx图象开口向下，
∵x=0时，y=0，
∴抛物线y=ax2+bx过原点，
①01，
∴对称轴x=2t>2，
∴y1>0
故答案为：>；
②x1+x2=2，
∴x1=2−x2，
∵0∴0<2−x2<1，
∴1∵抛物线的对称轴为直线x=2t，且经过原点，
∴与x轴的另一个交点为4t,0，
∵y1y2>0，
∴4t≥2或t≤0，
解得：t≥12或t≤0．
27.(1)解：分别以点A为圆心，AC为半径画弧，以B为圆心，BC为半径画弧，两弧相交于点O，
以O为圆心OA长为半径画⊙O，
在⊙O的劣弧AB⌢(不包括端点)上任取一点P，
连接AP,BP，
∠APB即为所求作；
(2)理由：
在⊙O的优弧AB (不包括端点)上取点D，连接AD,BD，
由作图知，AO=AC,BO=BC，
∵▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，
∴AC=BC=AO=BO，
∴四边形ACBO是正方形，
∴AO=BO,∠AOB=90∘，
∴∠D=12∠AOB=45∘，
∴∠APB=180∘−∠D=135∘；
(3)AP=2CD，证明：
过点B作BE⊥CD，交CD延长线于点E，CE交直线BP于点F，
∵AD⊥CD，
∴∠E=∠ADC=90∘，
∴∠CAD+∠ACD=90∘，
∵∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
∵AC=BC，
∴▵ACD≌▵BCEAAS，
∴CD=BE,AD=CE，
∵∠PDF=90∘,∠DPF=180∘−∠APB=45∘，
∴∠DFP=90∘−∠DPF=45∘，
∴DP=DF，
∵∠BFE=∠DFP=45∘，
∴∠EBF=90∘−∠BFE=45∘，
∴EB=EF，
当点P在CE左侧时，AD=AP+DP，CE=CD+DF+EF=2CD+DF，
∴AP+DP=2CD+DF，
∴AP=2CD；
当点P在CE上时，AD=AP，CE=CD+DE=2CD，
∴AP=2CD；
当点P在CE右侧时，AD=AP−DP，CE=CD+EF−DF=2CD−DF，
∴AP−DP=2CD−DF，
∴AP=2CD．
综上，AP=2CD．


28.解：问题解决：(1)证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴NC=MP,MN=PC
∵AM=NC
∴AM=MP；
(2)在等边▵ABC中，∠ACB=60∘，
∵MP//CN
∴∠PMC=∠ACB=60∘
∵AM=MP
∴∠CAP=∠MPA=30∘；
当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，
在Rt▵ACP中，AC=3,∠CAP=30∘
∴CP=12×3=32，
∴线段MN长度的最小值为32；
方法应用：过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连接AD，
∴四边形MNDH是平行四边形，
∴ND=MH,MN=DH,MH//ED
∵AM=ND
∴AM=MH，
∵四边形BCDE是矩形，
∴BC//ED,∠BCD=90∘
∴BC//MH
∴∠ACB=∠CMH=30∘
∵AM=MH
∴∠MAH=15∘
∵AC=CD=3m,∠ACD=∠ACB+∠BCD=120∘
∴∠DAC=30∘
∴∠DAH=45∘
∴当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小，
作CR⊥AD于点R，
在Rt▵ACR中，AC=2,∠CAR=30∘
∴CR=12×2=1，
∴AR= 3
∴AD=2AR=2 3
在Rt▵ADH中，AD=2 3,∠DAH=45∘
∴DH=AH= 22×2 3= 6，
∴线段MN长度的最小值为 6米．
我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元．
t
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
y1
0
35.8
63.3
89.1
109.7
128.2
145.4
160.0
171.2
171.2
171.2
t
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
y2
0
25.0
43.1
62.1
78.3
93.4
107.1
119.2
119.2
119.2
119.2
x
……
−1
0
1
2
3
……
y
……
0
−3
−4
−3
0
……