2024-2025学年北京市海淀区十一学校九年级上学期开学测试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区十一学校九年级上学期开学测试数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业．以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在▵ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A=90∘的是( )
A. a=3,b=4,c=5B. a=6,b=5,c=4
C. a=2,b= 2,c= 2D. a=1,b=2,c= 3
3.如图，在平行四边形ABCD中，AD=6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 不确定
4.某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42(单位：cm)的衬衫，一个月内的销量如下表：
你认为商店最感兴趣的是这组数据的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
5.函数y=ax−a与y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.在下列结论中，不一定成立的是( )
A. AE=BEB. ∠CBD=90∘C. ∠COB=2∠DD. ∠COB=∠C
7.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系ℎ=20t−5t2.下列叙述正确的是( )
A. 小球的飞行高度不能达到15mB. 小球的飞行高度可以达到25m
C. 小球从飞出到落地要用时4sD. 小球飞出1s时的飞行高度为10m
8.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在AB,BC的延长线上，且BE=CF，设AD=a,AE=b,AF=c.给出下面三个结论：①a+b>c；②2ab2a．上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数y= 2−x1−x中，自变量x的取值范围是 ．
10.若关于x的一元二次方程kx2−8x+16=0有实数根，则k的取值范围是 ．
11.如图，在正方形ABCD中．点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，FD12.在平面直角坐标系xOy中，将直线l1:y=−2x+m向左平移3个单位长度，得到直线l2:y=−2x+1，则m= ．
13.如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到▵A′B′C′，连接AA′，若AC⊥A′B′，则∠AA′B′的度数为 ，
14.在平面直角坐标系xOy中，已知点n−2,y1，n−1,y2，n+1,y3在抛物线y=ax2−2ax−2a<0上，若015.如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D.若∠BPC=60∘,CD=2 3，则线段PB的长为 ．
16.已知反比例函数y=−6x.则：
(1)当2≤x≤6时，y的取值范围为 ；
(2)当x≤−3时，y的取值范围为 ；
(3)当−2≤x≤6且x≠0时，y的取值范围为 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：−20230+ 4−122+−5．
(2)解不等式组：2x−5≤3x−1x−318.(本小题8分)
已知a−4b=0，求分式a2−3ab+b2a2+b2的值．
19.(本小题8分)
已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数．
(1)当z=−23时，y=6.当x=6时，z=4.求y与x之间的函数关系式；
(2)证明：y是x的反比例函数．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=AD，对角线AC,BD交于点O,AC平分角∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2 5,BD=4，求OE的长．
21.(本小题8分)
小明的爸爸买了甲、乙两种不同的一年期理财产品共20万元．甲种理财产品的预期年利率为8%，乙种理财产品的预期年利率为6%.按预期，小明的爸爸一年共可获得收益14400元．小明的爸爸购买甲、两种不同的理财产品各多少万元？
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象与函数y=2x的图象平行，且过点A1,3．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值都大于函数y=kx+bk≠0的值，直接写出m的取值范围．
23.(本小题8分)
糖类是一类有机化合物，有研究表明，不同种类的糖熔化过程中的温度变化不同。某校兴趣小组为研究糖的种类对其熔化过程中温度变化随时间的影响，选取了两种不同种类的糖，在其他方面均相同的情况下，记录糖初始温度，每隔0.5min测定其温度与初始温度的温度差为y，部分实验结果如下：
【说明】
a.此实验中均在同一实验室进行，糖的初温均相同；
b.可使用函数刻画温度差y(单位：℃ )与时间t(单位：min)之间的关系．
c.糖完全熔化后持续吸热，温度保持不变，将保持不变的这个温度称为其熔点．
【实验结果】
白砂糖：
饴糖：
根据上述结果，回答下列问题：
(1)建立平面直角坐标系，根据表格所给数据，分别画出y1与t，y2与t所满足的函数关系图象；
(2)在相同条件下，更容易熔化的糖是 (填“白砂糖”或“饴糖”)；
(3)查阅资料得知，该白砂糖的熔点在184∼189，该饴糖的熔点在136～138．
若初始温度为整数．
①初始温度是 ℃ ；
②对于饴糖，当与初始温度的温度差为100时，其加热时间t为 min，此时白砂糖的温度为 ℃ (结果均保留一位小数)
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，点F在⊙O上且CF⌢=CA⌢，连接AF．
(1)求证：AF=CD；
(2)连接BF,BD.若AE=2,BF=6，求BD的长．
25.(本小题8分)
为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a.18名学生的身高：
170，174，174，175，176，177，177，177，178，
178，179，179，179，179，181，182，183，186
b.18名学生的身高的平均数、中位数、众数：
(1)写出表中m，n的值；
(2)该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
(3)该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178.在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a<0)上有两点x1,y1，x2,y2，它的对称轴为直线x=2t．
(1)若该抛物线经过点4,0，求t的值；
(2)当0①若t>1，则y1 0；(填“<”“=”或“>”)
②若对于x1+x2=2，都有y1y2>0，求t的取值范围．
27.(本小题8分)
如图，正方形ABCD中，点E为边CD上任一点(不与C、D重合)，作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接DF，BF．
(1)直接写出∠AFD的度数；
(2)判断线段FA，FD，FB之间的数量关系(用等式表示)，并证明你的结论；
(3)过点B作BH⊥AF于点H，直接写出FA，FH，FC之间的数量关系(用等式表示)．
28.(本小题8分)
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边▵ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP.在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
(1)证明：AM=MP；
(2)∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，▵ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30∘．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.D
6.D
7.C
8.A
9.x≤2且x≠1
10.k≤1且k≠0
11.180∘−α/−α+180∘
12.7
13.20°/20度
14.y115.2 3
16.(1)−3≤y≤−1；
(2)0(3)y≥3或y≤−1．
17.(1)原式=1+2−14+5
=8−14
=314；
(2)解不等式2x−5≤3x−1得：x≥−2，
解不等式x−3∴不等式组的解集为−2≤x<2．

18.解：∵a−4b=0，
∴a=4b，
∴原式=4b2−3×4b×b+b24b2+b2=5b217b2=517．
19.(1)解：∵y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，
设y=aza≠0，z=bxb≠0，
∴y=abx，
∵z=−23时，y=6，
∴6=a−23，解得：a=−4，
当x=6时，z=4，
∴4=6b，解得：b=23，
∴y=−423x=−6x，
∴y与x之间的函数关系式为y=−6x；
(2)∵y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，
设y=aza≠0，z=bxb≠0，
∴y=abx，
∴y是x的反比例函数．

20.解：(1)证明：∵AB//CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴▱ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=4，
∴OB=12BD=2，
在Rt△AOB中，AB=2 5，OB=2，
∴OA= AB2−OB2=4，
∴OE=OA=4．
21.解：设甲种理财产品x万元，乙种理财产品20−x万元，
依题意可得：8%x+6%20−x=1.44，
解得：x=12，
20−12=8万元，
答：甲种理财产品12万元，乙种理财产品8万元．
22.(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与函数y=2x的图象平行，
∴k=2，
∵一次函数y=2x+b的图象过点A1,3，
∴3=2×1+b，
∴b=1，
∴这个一次函数的表达式为y=2x+1；
(2)解：如图，
当x=2时，y=2×2+1=5，
∴把点2,5代入y=mx，
∴m=52，
∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值都大于函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴m≥52．
23.(1)解：根据题意，画图如下：
(2)解：根据熔点低的容易融化，
故饴糖更易融化，
故答案为：饴糖．
(3)解：①初始温度是0℃；
答案为：0．
②根据题意，得93.4+107.12=100.2℃ ，此时时间为2.5+32≈2.8min，128.2+145.42=136.8℃ ，
故答案为：2.8；136.8．

24.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AD⌢=AC⌢．
又∵CF⌢=AC⌢，
∴CF⌢=AC⌢=AD⌢．
∴AF⌢=CD⌢．
∴AF=CD．
(2)解：如图，连接OC，连接OF，
设⊙O的半径为x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90∘，
∵CF⌢=CA⌢，
∴OC⊥AF，
∴OC//BF，
∴∠1=∠2，
又∵∠CEO=∠AFB=90∘，
∴▵CEO∽▵AFB，
∴COAB=OEBF，即x2x=x−26．
解得x=5，
∴OE=OA−AE=3，BE=AB−AE=8，
由勾股定理得，CE= OC2−OE2=4，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴DE=CE=4，
由勾股定理得，BD= DE2+BE2=4 5，
∴BD的长为4 5．
25.(1)将18名学生的身高从小到大排列为：170，174，174，175，176，177，177，177，178，178，179，179，179，179，181，182，183，186，
从中可以看出第9个数据和第10个数据分别是178，178，所以这组数据的中位数为178+178÷2=178，故m=178；
其中，179出现的次数最多，所以这组数据的众数为179，故n=179；
故答案为：178，179．
(2)甲组学生的身高分布于175∼181，乙组学生的身高分布于170∼179，
据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，
所以执旗效果更好的是甲组，
故答案为：甲．
(3)根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在175厘米∼178厘米，
从乙组的数据可以知道，在175厘米∼178厘米的身高有2个，分别是176、177，
故答案为：176、177．

26.(1)∵抛物线经过点4,0，
∴0=16a+4b，
∴b=−4a，
∴2t=−b2a=−−4a2a=2，
∴t=1；
(2)∵a<0，
∴抛物线y=ax2+bx图象开口向下，
∵x=0时，y=0，
∴抛物线y=ax2+bx过原点，
①01，
∴对称轴x=2t>2，
∴y1>0
故答案为：>；
②x1+x2=2，
∴x1=2−x2，
∵0∴0<2−x2<1，
∴1∵抛物线的对称轴为直线x=2t，且经过原点，
∴与x轴的另一个交点为4t,0，
∵y1y2>0，
∴4t≥2或t≤0，
解得：t≥12或t≤0．

27.(1)解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90∘，
∠ACD=45∘，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC=90∘，
∴∠AFC=∠ADC，
∴A,C,F,D四点共圆，
∴∠AFD=∠ACD=45∘．
(2)解：FB+FD= 2FA，证明如下：
连接AC，过点A作AH⊥AF，交FB的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90∘，
∠BAC=45∘，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC=90∘，
∴∠AFC+∠ABC=180∘，
∴A,B,C,F四点共圆，
∴∠BAC=∠BFC=45∘，
∴∠AFH=45∘，
∴∠H=∠AFH=45∘，
∴FA=HA，
∴FH= FA2+HA2= 2FA，
∵∠AFD=∠ACD=45∘，
∴∠AFD=∠AHB．
∵正方形ABCD，
∴AB=DA,∠BAD=90∘，
∴∠BAF+∠DAF=90∘，
∵AH⊥AF，
∴∠HAF=90∘，
∴∠BAF+∠BAH=90∘，
∴∠DAF=∠BAH，
∵∠BAH=∠DAF∠AHB=∠AFDAB=DA,
∴▵ADF≌▵ABHAAS，
∴DF=BH，
∵FH=FB+BH，
∴FH=FB+FD，
∴FB+FD= 2FA．
(3)证明：FA+FC=2FH，证明如下：
过点C作CQ⊥BH于点Q，
则四边形CQHF是矩形，
∴FH=CQ,FC=HQ．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC,∠ABC=90∘，
∴∠ABH+∠CBH=90∘，
∵CQ⊥BH，
∴∠CQB=90∘，
∴∠QCB+∠CBH=90∘，
∴∠ABH=∠BCQ，
∵∠ABH=∠BCQ∠AHB=∠BQCAB=BC,
∴▵BCQ≌▵ABHAAS，
∴AH=BQ，BH=CQ，
∴BH=FH，
∵BH=BQ+QH，
∴BH=BQ+FC=AH+FC，
∴FH+FC=BH+FC=BQ+2FC=AH+2FC
=FA−FH+2FC，
∴FA+FC=2FH．

28.解：(1)证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴NC=MP,MN=PC
∵AM=NC
∴AM=MP；
(2)在等边▵ABC中，∠ACB=60∘，
∵MP//CN
∴∠PMC=∠ACB=60∘
∵AM=MP
∴∠CAP=∠MPA=30∘；
当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，
在Rt▵ACP中，AC=3,∠CAP=30∘
∴CP=12×3=32，
∴线段MN长度的最小值为32；
方法应用：过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连接AD，
∴四边形MNDH是平行四边形，
∴ND=MH,MN=DH,MH//ED
∵AM=ND
∴AM=MH，
∵四边形BCDE是矩形，
∴BC//ED,∠BCD=90∘
∴BC//MH
∴∠ACB=∠CMH=30∘
∵AM=MH
∴∠MAH=15∘
∵AC=CD=3m,∠ACD=∠ACB+∠BCD=120∘
∴∠DAC=30∘
∴∠DAH=45∘
∴当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小，
作CR⊥AD于点R，
在Rt▵ACR中，AC=2,∠CAR=30∘
∴CR=12×2=1，
∴AR= 3
∴AD=2AR=2 3
在Rt▵ADH中，AD=2 3,∠DAH=45∘
∴DH=AH= 22×2 3= 6，
∴线段MN长度的最小值为 6米．

领口大小/cm
38
39
40
41
42
销量/件
64
199
180
110
47
t
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
y1
0
35.8
63.3
89.1
109.7
128.2
145.4
160.0
171.2
171.2
171.2
t
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
y2
0
25.0
43.1
62.1
78.3
93.4
107.1
119.2
119.2
119.2
119.2
平均数
中位数
众数
178
m
n
甲组学生的身高
175
177
177
178
178
181
乙组学生的身高
170
174
174
176
177
179