2024-2025学年浙江省杭州市萧山区新桐中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
展开这是一份2024-2025学年浙江省杭州市萧山区新桐中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案),共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中,y是x的二次函数的是( )
A. y=1x2B. y=x2+1x+1C. y=2x2−1D. y= x2−1
2.抛物线y=x2+14x+54的对称轴是( )
A. 直线x=7B. 直线x=−7C. 直线x=14D. 直线x=−14
3.把抛物线y=3x2向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到的抛物线的解析式为( )
A. y=3(x+2)2−5B. y=3(x+5)2+2
C. y=3(x−2)2+5D. y=3(x+2)2+5
4.已知A(−1,y1),B(2,y2),C(4,y3)是二次函数y=−x2+2x+c的图象上的三个点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A. y1
下列各选项中,正确的是( )
A. 这个函数的最小值为−1B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与x轴无交点D. 当x>2时,y的值随x值的增大而增大
6.已知函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A. k<4B. k≤4C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3
7.如图,某同学在投掷实心球,他所投掷的实心球的高ℎ(m)与投掷距离x(m)之间的函数关系满足ℎ=−112x2+23x+53,则该同学掷实心球的成绩是( )
A. 6m
B. 8m
C. 10m
D. 12m
8.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为( )
A. B.
C. D.
9.已知二次函数y=(x−a−1)(x−a+1)−2a+9(a是常数)的图象与x轴没有公共点,且当x<−2时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是( )
A. a>−2B. a<4C. −2≤a<4D. −210.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=−1,部分图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②b2−4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数,则有a−bt≤at2+b、⑤为图象经过点(12,2)时,方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1,x2(x1
B. ②③⑤
C. ②③④⑤
D. ②③④
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
11.若y=(m−2)x|m|+2x+3是关于x的二次函数,则m的值是______.
12.抛物线y=x2−3x−1010与x轴的其中一个交点坐标是(p,0),则2p2−6p+4的值为______.
13.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+9x相可,且经过(−1,0)和(3,0),则这条抛物线的解析式为______.
14.如图所示,抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,测得拱桥内水面宽为12m.当水面升高1m后,拱桥内水面的宽度为______m.
15.如图所示,二次函数y1=ax2+bx−3图象与一次函数y2=−x+m的图象
交于A(−1,0),B(2,−3)两点.当y1>y2时,自变量x的取值范围______.
16.对于一个函数,当自变量x取a时,函数值y也等于a,则称a是这个函数的不
动点.已知二次函数y=−2x2+6x+m.
(1)若2是此函数的不动点,则m的值为______.
(2)若此函数有两个相异不动点a与b(a≠b),且a<−2三、解答题:本题共8小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=2x2+4x−6;
(1)求出该函数图象的顶点坐标;
(2)求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.
18.(本小题8分)
已知抛物线:y=−x2+4x−5.
(1)若该抛物线经过平移后得到新抛物线y=−x2−4x+1,求平移的方向和距离;
(2)若将该抛物线图象沿x轴翻折,求得到新的抛物线的函数表达式.
19.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示:
(1)请直接写出该抛物线的顶点;
(2)请求出该抛物线的解析式;
(3)当−2
某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开(如图1所示).已知计划中的材料可建墙体总长46米,设两间饲养室合计长x(米),总占地面积为y(米 2).
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
(2)现需要设计这两间饲养室各开一扇门(如图2所示),每扇门宽1米,门不采用计划中的材料.求总占地面积最大为多少米 2?
21.(本小题8分)
已知二次函数y=a(x−2)2−8a(a≠0).
(1)若二次函数的图象与y轴交于点C(0,4),求a的值;
(2)若当−1≤x≤4时,y的最小值为−8,求a的值.
22.(本小题10分)
某电商以每件40元的价格购进某款T恤,以每件60元的价格出售,经统计,“十一”的前一周的销量为500件,该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售,经调查,发现该T恤在“十一”前一周销售量的基础上,每降价1元,“十一黄金周”销售量就会增加50件.设该T恤的定价为x元,“十一黄金周”获得的利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)若要求销售单价不低于成本,且按照物价部门规定销售利润率不高于30%,如何定价才能使得利润最大?并求出最大利润是多少元?(利润率=利润进价×100%)
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,点(1,m)和(3,n)都在二次函数y=ax2+bx(a≠0,a,b是常数)的图象上.
(1)若m=n=−6,求该二次函数的表达式.
(2)若a=−1,m
24.(本小题12分)
综合与探究
如图,抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点B的坐标是(−4,0),点C的坐标是(0,4),M是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P为线段MB上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,D点坐标为(m,0),△PCD的面积为S.
①求△PCD的面积S的最大值.
②在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.D
6.B
7.C
8.A
9.C
10.D
11.−2
12.2024
13.y=−2x2+4x+6
14.6 2
15.x<−1或x>2
16.−2 m>18
17.解:(1)∵y=2x2+4x−6=2(x+1)2−8,
∴该函数图象的顶点坐标为(−1,−8);
(2)当x=0时,y=−6,
∴该函数与y轴相交于(0,−6),
当y=0时,2x2+4x−6=0,
解得:x1=−3,x1=1,
∴该函数与x轴的交点坐标为(−3,0),(1,0).
18.解:(1)抛物线:y=−x2+4x−5=−(x−2)2−1,
平移后的新抛物线:y=−x2−4x+1=−(x+2)2+5,
∴把原抛物线向左平移4个单位,向上平移6个单位可得到新抛物线;
(2)将抛物线图象沿x轴翻折,得到新的抛物线的开口方向与原来相反,顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称,
∴新的抛物线的函数表达式为:y=(x−2)2+1.
19.解:(1)根据抛物线的对称性,由自变量x和函数值y的对应值可以确定抛物线的顶点坐标为(1,−4),
故答案为:(1,−4);
(2)由图表得,x=0,y=−2;x=1,y=−4;x=−1,y=4,
代入y=ax2+bx+c(a≠0)得:
c=−2a+b+c=−4a−b+c=4,
解得a=2b=−4c=−2,
∴抛物线的解析式为y=2x2−4x−2;
(3)当x=−2时,y=14;当x=2时,y=−2,
又∵当x=1时,y得最小值为−4,
∴y得取值范围为:−4≤y<14.
20.解:(1)由题意得:y=46−x3x=−13x2+463x,
∵46−x3>0,
∴x<46,
故:y=−13x2+463x,(0
故:当x=24时,y由最大值192平方米;
21.解:(1)将点C(0,4)代入y=a(x−2)2−8a(a≠0),
得4a−8a=4,
解得a=−1;
(2)顶点坐标为(2,−8a),
当a<0时,当x=−1时,函数最小值9a−8a=−8,解得a=−8,
当a>0时,当x=2时,函数最小值为−8a=−8,解得a=1,
综上所述,a的值为−8或1.
22.解:(1)根据题意可得:
w=(x−40)[500+50(60−x)]=−50x2+5500x−140000;
∴w与x之间的函数关系式为:w=−50x2+5500x−140000;
(2)由题意可得:
x≥40x−4040≤0.3,
解得40≤x≤52,
∵a=−50<0,
∴抛物线开口向下,
∵抛物线的对称轴为直线x=55,
∴当40≤x≤52时,w随x的增大而增大,
∴当x=52时,w的最大值为:w=(52−40)[500+50×(60−52)]=10800(元),
答:当定价为每件52元时,才能使利润最大,最大利润为10800元.
23.解:(1)当m=n=−6时,把(1,−6)和(3,−6)代入y=ax2+bx得:
a+b=−69a+3b=−6,解得a=2b=−8,
∴二次函数的表达式为y=2x2−8x;
(2)当a=−1时,y=−x2+bx,
把(1,m)和(3,n)代入得:m=−1+bn=−9+3b,
∵m
解得b>4,
∴b的取值范围是b>4;
(3)把(1,m)和(3,n)代入y=ax2+bx得:
m=a+bn=9a+3b,
∵mn<0,
∴(a+b)(9a+3b)<0,
∴a+b>09a+3b<0或a+b<09a+3b>0,
由a+b<09a+3b>0,得:b<−ab>−3a,
∵a<0,
∴b<−ab>−3a无解,即a+b<09a+3b>0,不等式无解,
则a+b>09a+3b<0
∴a+b>0且3a+b<0,
把(−1,y1),(2,y2),(4,y3)代入y=ax2+bx,
得:y1=a−b,y2=4a+2b,y3=16a+4b,
∴y1−y2=a−b−(4a+2b)=−3(a+b)<0,y1−y3=a−b−(16a+4b)=−5(3a+b)>0,
∴y1
∴y3
∴−16−4b+c=0c=4
解得:b=−3c=4,
∴该抛物线的解析式为y=−x2−3x+4.
(2)①∵y=−x2−3x+4=−(x+32)2+254,
∴抛物线的顶点为M(−32,254),
设直线BM的解析式为y=kx+d,则,−4k+d=0−32k+d=254
解得:k=52d=10,
∴直线BM的解析式为y=52x+10,
由题意得D(m,0),其中−4≤m≤−32,设P(m,52m+10),
∴PD=52m+10,OD=−m,
∴S△PCD=12PD⋅OD=12(52m+10)⋅(−m)=−54(m+2)2+5,
∵−54<0,
∴当m=−2时,S取得最大值5;
②存在,理由如下:
∵∠PDC=90°−∠CDO,
∴∠PDC<90°,不可能为直角;
当∠CPD=90°时,则∠CPD=∠PDB,
∴PC//x轴,
∴52m+10=4,
解得:m=−125,
∴P(−23,2);当△PCD为直角三角形时,点P的坐标为(−125,4)或(−2,5).
x
…
−2
0
1
3
…
y
…
6
−4
−6
−4
…
x
…
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
−2
−4
−2
4
14
28
…
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