2024-2025学年北京市朝阳区东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈N∣x>1},B=x∣x≤3，则A∩B=( )
A. {x∣1c>bC. b>a>cD. c>a>b
5.已知a>0，b>0，则“a+b>1”是“ab>14”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，能使m⊥n成立的一组条件是( )
A. α//β,m⊥α,n⊥βB. α//β,m⊂α,n⊥β
C. α⊥β,m⊥α,n//βD. α⊥β,m⊂α,n//β
7.已知函数f(x)=2sin2x+π3，则下列命题正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=π3对称 B. f(x)的图象关于点π6,0对称
C. f(x)在0,π12上为增函数 D. f(x)的图象向右平移π12个单位得到一个偶函数的图象
8.如图，在▵ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=( )
A. −14AB−54ACB. −14AB−34ACC. 14AB−54ACD. 14AB−34AC
9.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1−近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为( )(参考数据：lg2≈0.30,lg3≈0.48)
A. 2小时B. 0.8小时C. 0.5小时D. 0.2小时
10.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=2，且S4=S7，则下列说法中正确的是( )
A. an为递增数列
B. 当且仅当n=5时，Sn有最大值
C. 不等式Sn>0的解集为n∈N∗n≤10
D. 不等式an>0的解集为无限集
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若角α的终边经过点P(1,−2)，则tan2α的值为 ．
12.已知数列an满足a1=2,an+1−2an=0(n=1,2,⋯)，则an的前6项和为 ．
13.若函数f(x)=sinx+cs(θ−x)，对任意的x∈R都满足f(−x)+f(x)=0，则常数θ的一个取值为 ．
14.已知正方形ABCD的边长为1，点P满足AP=λAB(λ>0)，则PC⋅DP的最大值为 ．
15.设函数f(x)=lnx,&x>0,x2+4x+1,&x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f−x0−fx0=0；④若实数x10，解得x1= a，x2=− a(舍去)．
当 a≤1，即01，即a>1时，x在[1,+∞)上变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表
所以函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f( a)=alna−a+1．
综上所述：
当01时，函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f( a)=alna−a+1．
(3)当a≤0时，则f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立
∴函数f(x)在[1,+∞)上是减函数，则f(x)≤f(1)=0
∴a≤0成立
当a>0时，由(2)可知：
①当0f(1)=0，即在区间[1,+∞)上存在x= a使得f(x)>0，a>1不成立
综上所述：a的取值范围为a≤1，即a的最大值为1．

20.解：
(1)
若a=1，则fx=xex+1−1，f′x=ex+1−xex(ex+1)2．
①在x=0处，f′0=1+11+12=12，f(0)=−1．
所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=12x−1．
②令gx=ex+1−xex，g′(x)=−xex，
在区间(0,+∞)上，g′(x)0,g2=−e2+10，此时f(x)的定义域为R．
当x0，ℎ(x)在区间(lna,+∞)上是增函数．
所以ℎ(x)min=ℎ(lna)=2a−alna．
又ℎ0=1+a>0，
由题意，当2a−alna>0，即0