2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={(x,y)|y=x2}，B={(x,y)|2x−y−1=0}，则A∩B=( )
A. x=1，y=1B. (1,1)C. {1,1}D. {(1,1)}
2.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>0)，则“a= 2”是“椭圆C的离心率为 22”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知一组数据1，2，3，4，x的下四分位数是x，则x的可能取值为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
4.已知x∈N∗，若122024=13x+y，0≤y<13，则y=( )
A. 1B. 6C. 7D. 12
5.不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球.记事件M：至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是( )
A. M+N=NB. M∩N=NC. M与N互斥D. M与N独立
6.已知函数f(x)图象如图所示，则f(1−x)的图象是( )
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥P−ABC满足AB=3，BC=4，AC=5，且其表面积为24，若点P(正投影在△ABC内部)到AB，BC，AC的距离相等，则三棱锥的体积为( )
A. 8 2B. 6 35C. 3 35D. 4 2
8.若a2m−am+n+am−n≥1(a>1)，则( )
A. m=nB. m≥nC. m≤nD. 无法确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据1，2，3，5，5，6，则特征量为5的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 极差
10.已知随机事件B，A，则( )
A. P(A|B)+P(A−|B)=1
B. 若P(B|A)=P(B)，则A，B独立
C. 若P(B|A)=P(A|B)，则A，B互斥
D. 若P(B|A)=P(B−|A)，则P(B)=P(B−)
11.已知函数f(x)的定义域为R，若满足f(2−x)+f(x−1)=−1，且函数f(x)图像关于(1,0)中心对称，则( )
A. f(0)=−1B. f(2024)=2023
C. f(x+2024)=f(x)D. i=−20242024f(i)=−4049
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=ex−12x2在x=0处的切线方程为______．
13.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的两焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P为双曲线上一点，且满足|PF2|=c，PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率为______．
14.已知数据x1，x2，…，x5的均值为6，方差为5.数据y1，y2，…，y10的均值为3，方差为2.则数据x1，x2，…x5，y1，y2，…，y10的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表．
在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2．
(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？
(2)从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，已知△PCD是正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PCD⊥平面ABCD.若AB= 2BC．
(1)证明：BC⊥面PCD；
(2)求二面角P−BD−C的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2(a+lnx)．
(1)若a=12时，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥x2−x−1恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，点A(0,1)在C上．
(1)求C的方程；
(2)设C的右顶点为B，点P，Q是椭圆上的两点(异于顶点)，若直线AP，AQ与x轴交于点E，F，若BE=BF，求证：直线PQ恒过定点．
19.(本小题17分)
甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响．
(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；
(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设Pn(n≥3,n∈N∗)为甲未获得连续3次胜利的概率．
①求P3，P4；
②证明：Pn+1≤Pn．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.B
6.A
7.D
8.B
9.CD
10.AB
11.ABD
12.y=x+1
13.1+ 3
14.5
15.解：(1)由题意不喜欢该游戏的人数为0.2×100=20，
从而可得2×2列联表：
零假设H0：男、女玩家对该款游戏的喜爱没有差异，
根据列联表中数据可求得：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+a)(a+c)(b+c)=100(60×12−20×8)268×32×20×30≈9.007>3.841，
依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为玩家得性别对该款游戏的喜爱有差异；
(2)若从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，其中男性有6人，女性有2人，
若从抽取8名玩家中抽取3人调查，
设所抽取的女性玩家的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，
因为P(X=0)=36C20CC83=514，P(X=1)=26C21CC83=1528，P(X=2)=16C22CC83=328，
则X的分布列为：
则E(X)=0×514+1×1528+2×328=34．
16.(1)证明：由ABCD为矩形，可得BC⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥面PCD；
(2)解：因为△PCD是正三角形，ABCD为矩形，
平面PCD⊥平面ABCD，取DC中点O，AB中点E，
连接OE，OP，则OE，OC，OP两两垂直，
以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设BC=2，则AB=2 2，OP= 6，
则P(0,0, 6)，B(2, 2,0)，D(0,− 2,0)，
DP=(0, 2, 6)，DB=(2,2 2,0)，
设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅DP= 2y+ 6z=0n⋅DB=2x+2 2y=0，令y=− 3，可得x= 6，z=1，
故平面PBD的一个法向量为n=( 6,− 3,1)，
不妨取平面BDC的一个法向量为m=(0,0,1)，
则cs=m⋅n|m||n|=1 10×1= 1010，
由图可知，二面角P−BD−C为锐角，
所以二面角P−BD−C的余弦值为 1010．
17.解：(1)当a=12时，f(x)=x2(12+lnx)，
f′(x)=2x(12+lnx)+x=2x(1+lnx)=0⇒x=1e，
当0当x>1e时，f′(x)>0，f(x)在(,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(1e)=1e2⋅(−12)=−12e2．
(2)不等式x2(a+lnx)≥x2−x−1等价于a+lnx≥1−1x−1x2，
等价于a≥(1−1x−1x2+ln1x)max，令t=1x，可得g(t)=1−t−t2+lnt，
g′(t)=−1−2t+1t=−2t2−t+1t=−(2t−1)(t+1)t=0⇒t=12，
当00，g(t)在(0,12)上单调递增；
当t>12时，g′(t)<0，g(t)在(12,+∞)上单调递减，
所以g(t)max=g(12)=1−12−14+ln12=14−ln2，
所以a≥14−ln2，即a的取值范围是[14−ln2,+∞)．
18.解：(1)根据题意可得e=ca= 32b=1a2=b2+c2，解得a=2b=1，
∴椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)证明：如图，设BE=BF=λ，不妨设E在F左侧，

则E(2−λ,0)，F(2+λ,0)，A(0,1)，
∴kAP=1λ−2，kAQ=−12+λ,1kAP+1kAQ=−4，
将椭圆平移至x24+(y+1)2=1，即x2+4y2+8y=0，
此时A平移至A′(0,0)，P，Q分别平移至P′(x1,y1)Q′(x2,y2)，
设P′Q′方程为mx+ny=1，
则x2+4y2+8y(mx+ny)=0，∴(4+8n)(yx)2+8m⋅yx+1=0，
∴kAP，AAQ是关于t的方程(4+8n)t2+8mt+1=0的两不等实根，
∴kAP+kAQ+4kAP⋅kAQ=0⇒−8m4+8n+4⋅14+8n=0⇒m=12，
∴直线P′Q′的方程为12x+ny=1，
∴P′Q′恒过定点(2,0)，
∴PQ恒过定点(2,1)．
19.解：(1)设甲胜乙的概率为P0，甲胜丙的概率为P′0，
因为乙的技术比丙高，所以P0若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为：(1−P′0)P0P′0+P′0P0=2P′0P0−P′02P0；
若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为：(1−P0)P′0P0+P0P′0=2P′0P0−P′0P02；
显然2P′0P0−P′02P0<2P′0P0−P′0P02，
所以甲应先与乙比赛有优势，即甲猜测错误．
(2)①P3=1−(12)3=78，P4=1−[(12)3+(12)4]=1316；
②证明：考察Pn+3，分为情形一：第n+3局甲输；
情形二：第n+3局甲赢，n+2局甲输；
情形三：第n+3局甲赢，n+2局甲赢，n+1局甲输；
由题意分为三种情形如下：
情形一、第n场输了，则前n−1场甲未获得连续3次胜利，此时概率为12Pn−1；
情形二、第n场赢了，第n−1场输了，则前n−2场甲未获得连续3次胜利，此时概率为14Pn−2；
情形三、第n场赢了，第n−1场赢了，第n−2场输了，则前n−3场甲未获得连续3次胜利，此时概率为18Pn−3；
由全概率公式得Pn=12Pn−1+14Pn−2+18Pn−3(n≥4,n∈N∗)；...(i)
因此Pn−1=12Pn−2+14Pn−3+18Pn−4(n≥5,n∈N∗)；...(ii)；
(i)−12(ii)得：Pn−Pn−1=−116Pn−4≤0，
又因为P3>P4，所以当n≥3，n∈N∗时，Pn+1≤Pn+1． 男性
女性
合计
喜欢
20
不喜欢
8
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
合计
喜欢
60
20
80
不喜欢
8
12
20
合计
68
32
100
X
0
1
2
P
514
1528
328