2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）开学数学试卷（含答案）

展开

这是一份2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2>2x}，B={−2,0,1,3}，则A∩B=( )
A. {−2,0,3}B. {−2,3}C. {0,3}D. {3}
2.已知命题p：∃x>0，3x>1，则￢p( )
A. ∃x>0，3x≤1B. ∃x≤0，3x>1C. ∀x>0，3x≤1D. ∀x>0，3x>1
3.函数y=e−x,e−x≥lnxlnx,e−xA. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增
4.已知函数f(x)=(x−1)2−1，则( )
A. f(x−1)=f(1−x)B. f(x−1)=f(x+1)
C. f(1+x)=f(1−x)D. f(1+x)=−f(1−x)
5.已知2m=3n=5，则4mn=( )
A. 3B. 6C. 8D. 9
6.设b，c∈R，函数f(x)=x+b x+c，则“关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为R”是“f(x)>0恒成立”的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要
7.已知直线y=ax+b与曲线y=x+1x相切，则2a+b的最大值为( )
A. 12B. 2C. 52D. 5
8.若函数f(x)=x|x−a|−1的3个零点由小到大排列成等差数列，则a=( )
A. 2B. 5C. 4 33D. 2 153
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列曲线平移后可得到曲线y=2x的是( )
A. y=2x+3B. y=2x−3C. y=23xD. y=2x3
10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好.( )
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为200m2，则窗户面积至少应该为30m2
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了n%(m≠n)；地面面积两次都增加了m+n2%，则教室的通风效果变差
11.设函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)不恒为0，下列结论正确的是( )
A. 若f(x)具有奇偶性，则满足f(x)=p(x)+q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)中恰有一个为常函数，其函数值为0
B. 若f(x)不具有奇偶性，则满足f(x)=p(x)+q(x)奇函数p(x)与偶函数q(x)不存在
C. 若f(x)为奇函数，则满足f(x)=p(x)q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对
D. 若f(x)为偶函数，则满足f(x)=q(p(x))的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数f(x)的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个f(x)= ______．
13.已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP= ______(用x表示)，当△ADP的面积最大时，x= ______．
14.已知a为常数，且a>0.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+a)≤f(x)≤f(x+3a)，且当0≤x≤a时，f(x)=ax2−x，则a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，E，F，G分别是棱AB，BC，BB1上的动点，且AE=BF=B1G.
(1)求证：A1F⊥C1G；
(2)若平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为13，求BF．
16.(本小题15分)
某学习小组研究得到以下两个公式：
①sin(α+β)⋅sin(α−β)=sin2α−sin2β；②sin(α+β)⋅sin(α−β)=cs2β−cs2α.
(1)请你在①和②中任选一个进行证明；
(2)在△ABC中，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，csA=45，BC=2，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
分别过椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点F1，F2作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．
(1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
(2)求四边形PF1F2Q的面积的最大值．
18.(本小题17分)
已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为12,14.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：
(1)概率P(A)，P(B)；
(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；
(3)在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
19.(本小题17分)
(1)函数y=2x与y=lg2x的图象有怎样的关系？请证明；
(2)是否存在正数c，对任意的x>c，总有2x>x2>lg2x？若存在，求c的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)已知常数a>1，证明：当x足够大时，总有ax>xa>lgax.
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.D
6.C
7.C
8.B
9.AB
10.BCD
11.ACD
12.x2(答案不唯一)
13.12−72x 6 2
14.1
15.解：(1)证明：因为B1B⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，
所以B1B⊥AB，B1B⊥BC，又∠ABC=90°，
故B 1B，AB，BC两两垂直，
以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=BB1=1，AE=BF=B1G，
设AE=BF=B1G=m，0≤m≤1，
所以A1(1,1,0)，F(0,0,m)，C1(0,1,1)，G(0,1−m,0)，
则A1F=(0,0,m)−(1,1,0)=(−1,−1,m)，
C1G=(0,1−m,0)−(0,1,1)=(0,−m,−1)，
则A1F⋅C1G=(−1,−1,m)⋅(0,−m,−1)=m−m=0，
故A 1F⊥C1G；
(2)因为E(1−m,0,0)，则EG=(0,1−m,0)−(1−m,0,0)=(m−1,1−m,0)，
则A1F⋅EG=(−1,−1,m)⋅(m−1,1−m,0)=1−m+m−1=0，
则A1F⊥EG，又C1G∩EG=G，C1G，EG⊂平面EGC1，
所以A1F⊥平面EGC1，
故A1F=(−1,−1,m)为平面EGC1的一个法向量，
又平面AA1B1B的法向量为n=(0,0,1)，
则平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为|cs|=|A1F⋅n||A1F||n|=|(−1,−1,m)⋅(0,0,1)| m2+1+1=|m| m2+2，
又平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为13，
所以|m| m2+2=13，
解得m=12，
即BF=12．
16.解：(1)证明：若选①：sin(α+β)⋅sin(α−β)=(sinαcsβ+csαsinβ)(sinαcsβ−csαsinβ)
=sinαcs2β−cs2αsinβ=sinα(1−sinβ)−(1−sinα)sin2β=sin2α−sin2β；
若选②：sin(α+β)⋅sin(α−β)=(sinαcsβ+csαsinβ)(sinαcsβ−csαsinβ)
=sinαcs2β−cs2αsin2β=(1−cs2α)cs2β−cs2α(1−cs2β)=cs2β−cs2α；
(2)因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，
所以sinC(sinAcsB−csAsinB)=sinB(sinCcsA−csCsinA)，
即sinA(sinCcsB+csCsinB)=2sinBsinCcsA，
即sinAsin(C+B)=2sinBsinCcsA，即sin2A=2sinBsinCcsA，
由正弦定理可得：a2=2bccsA，
又因为csA=45，BC=a=2，A∈(0,π)，所以bc=52，sinA=35，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×52×35=34．
17.解：(1)由C：x24+y23=1可知F1(−1,0)，F2(1,0)，椭圆上顶点为(0,3)，即P(0,3)，
直线PF1的斜率为 3，则直线QF2的方程为：y= 3(x−1)，
联立y= 3(x−1)x24+y23=1，消去y并整理得5x2−8x=0，
解得x=0或x=85，因点Q在x轴上方，故得点Q(85,3 35)，
于是直线PQ的斜率为：kPQ= 3−3 35−85=− 34；
(2)如图，设过点F1，F2的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，

利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形PF1F2Q的面积是▱PRSQ面积的一半．
显然这两条平行线的斜率不可能是0(否则不能构成构成四边形)，可设直线PR的方程为l：x=my−1，
代入C：x24+y23=1，整理得：(3m2+4)y2−6my−9=0，
显然Δ>0，设P(x1,y1)，R(x2,y2)，则y1+y2=6m3m2+4y1y2=−93m2+4，
则|PR|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2
= 1+m2⋅ (6m3m2+4)+363m2+4
= 1+m2⋅ 144m2+144(3m2+4)2=12(m2+1)3m2+4，
点F2到直线l：x−my+1=0白距离为d=2 m2+1，
则四边形PF1F2Q的面积为S=12|PR|⋅d=12×12(m2+1)3m2+4×2 m2+1=12 m2+13m2+4，
令t= m2+1，则t≥1且m2=t2−1，
所以S=12t3(t2−1)+4=12t3t2+1=123t+1t，
因为函数y=3t+1t=3(t+13t)在1，+∞)上单调递增，
所以当t=1时，y=3t+1t取得最小值为4，此时Smax=3，
即四边形PF1F2Q的面积的最大值为3．
18.解：(1)P(A)=23×34=12，P(B)=23×12=13；
(2)X的可能取值为−1，0，1，
因为P(X=−1)=12×13=16，P(X=0)=12×13+12×23=12，P(X=1)=12×23=13，
所以X的分布列为：
所以E(X)=−16+0+13=16；
(3)若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为(23)4×C42×(12)2×(12)2=227，
若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为C41×13×(23)3×C43×(12)3×12=881，
若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为C42(13)2(23)2(12)4=154，
所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为227+881+154=31162．
19.证明：(1)函数y=2x与y=lg2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
令(a,b)为函数y=2x图象上任意一点，即b=2a，
则a=lg2b，因此点(b,a)在函数y=lg2x的图象上，
反之亦然，而点(a,b)与(b,a)关于直线y=x对称，
所以函数y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称；
解：(2)存在正数c=4，对任意的x>4，2x>x2>lg2x恒成立，
令f(x)=2x−x2，显然f(2)=f(4)=0，
根据指数函数与幂函数的增长特征，在x∈(2,4)上恒有f(x)<0，
当x>4时，求导得f′(x)=2xln2−2x，令F(x)=2xln2−2x，x>4，
求导得F′(x)=2x(ln2)2−2，函数F′(x)在(4,+∞)上单调递增，F′(x)>F′(4)=(4ln2)2−2>0，
函数F(x)在(4,+∞)上单调递增，F(4)=16ln2−8=8(ln4−1)>0，函数f(x)在(4,+∞)上单调递增，
因此∀x∈(4,+∞)，f(x)>f(4)=0；
令φ(x)=x2−lg2x，x>4，求导得φ′(x)=2x−1xln2，函数φ′(x)在(4,+∞)上单调递增，
φ′(x)>φ′(4)=8−14ln2>0，因此函数φ(x)在(4,+∞)上单调递增，φ(x)>φ(4)=14>0，
所以存在正数c，对任意的x>c，总有2x>x2>lg2x，cmin=4；
证明：(3)a>1，不妨令x>1，则不等式ax>xa⇔xlna>alnx⇔lnxx令g(x)=lnxx−lnaa,x>1，求导得g′(x)=1−lnxx2，
当10，当x>e，g′(x)<0，
函数g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
当a≥e时，∀x∈(a,+∞)，g(x)当1又g(e)=1e−lnaa>0，而x趋近于正无穷大时，lnxx−lnaa趋近于−lnaa<0，
因此存在大于e的正数x0，使得g(x0)=0，当x>x0时，g(x)所以对于a>1，存在正数x0，使得∀x>x0，恒有ax>xa；
a>1，不妨令x>1，lgax=t>0，不等式xa>lgax⇔aat>t⇔lntt−alna<0，
令ℎ(t)=lntt−alna，则函数ℎ(t)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，ℎ(t)max=ℎ(e)=1e−alna，
令H(a)=alna，a>1，求导得H′(a)=1+lna>0，函数H(a)在(1,+∞)上单调递增，值域为(0,+∞)，
存在a0>1，使得H(a0)=1e，当a≥a0，即alna≥1e时，∀t∈(e,+∞)，ℎ(t)<0恒成立，
当1对于∀t∈(t2,+∞)，ℎ(t)<0恒成立，因此对于a>1，存在正数t2，使得∀x>t2,xa>lgax恒成立，
取M=max{x0,t2}，对于任意的x>M，ax>xa>lgax成立，
所以当x足够大时，总有ax>xa>lgax． X
−1
0
1
P
16
12
13

2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）开学数学试卷（含答案）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网