2024-2025学年安徽省合肥市庐江县部分校八年级上学期第一次质量检测数学试卷人教版

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市庐江县部分校八年级上学期第一次质量检测数学试卷人教版，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，证明题，作图题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，1cmB．2cm，2cm，6cm
C．5cm，10cm，4cmD．7cm，5cm，10cm
3．等腰三角形的两边长分别为2、4，则它的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．以上都不对
4．将四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和（ ）
A．180°B．360°
C．540°D．180°或360°或540°
5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
6．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=6，AC=8，则BD长（ ）
A．12B．14C．16D．18
7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置∠A=35°，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．80°B．70°C．45°D．35°
8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为（ ）
A．36°B．180°7C．30°D．24°
9．已知直角三角形30°角所对的直角边长为5，则斜边的长为（ ）
A．5B．10C．8D．12
10．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，∠AOD=40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．160°B．120°C．80°D．60°
二、填空题（每题3分，共24分）
11．点Aa,4，点B3,b关于x轴对称，则a+b2023= ．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，则该等腰三角形的顶角的度数为 ．
13．如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC＝65°，∠C＝30°，那么∠BDE的度数是 .
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=12cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为ts,P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t 时，△PBQ是直角三角形．
15．如图， ΔABC 中， ∠ACB=90∘ ， AC16．如图，△ABC中∠BAC=60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C'处，连接C'D与C'C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC'=DC'；那么下列结论：①∠1=∠2；②AD垂直平分C'C；③∠B=3∠BCC'；④DC'∥EC；其中正确的是： ；（只填写序号）
17．如图，△ABC的周长为12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作OD⊥BC于点D，OD=3，则△ABC的面积为 .
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为 ．
三、证明题（共8题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：AF=DA．
四、作图题（共10分）
20．如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．
（1）画出△ABC关于直线n对称的△A'B'C'；
（2）在直线m上作出点P，使得△APB的周长最小.（保留作图痕迹）
五、解答题（共2题，共32分）
21．如图，已知B(−1，0)，C(1，0)，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=2∠BAO．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB在此过程中，∠BAC的度数是否变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
22．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究．
（1）问题发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，将△ADE绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接BD，CE．填空：
①BDCE的值为 ；
②∠BEC的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AM⊥DE于M，将△ADE绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接BD，CE．
①求∠BEC的度数；
②请判断线段BE，CE，AM之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
在(2)的条件下，若AM=3，CE=4，求四边形ABCE的面积．
六、实践探究题（共16分）
23．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．
（1）【积累经验】
如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当0<α<180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，请直接写出△FBD与△ACE的面积之和．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1cm+2cm=3cm，不能摆成三角形，不符合题意；
B、2cm+2cm<6cm，不能摆成三角形，不符合题意；
C、4cm+5cm<10cm，不能摆成三角形，不符合题意；
D、5cm+7cm>10cm，能摆成三角形，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的概念
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
7．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠A=35°，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠ADE+∠AED=180°−∠A=145°，
∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A'的位置，
∴∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED=290°，
∵∠1+∠A´DE=180°，∠2+∠A´ED=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠A´DE+180°-∠A´ED=360°-290°=70°.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理“三角形的内角和等于180°”求出∠ADE+∠AED的度数，根据折叠的性质可得∠ADA'+∠AEA'=2∠ADE+∠AED，然后由平角的性质可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形30°所对的直角边为5，
∴ 斜边长为2×5=10．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半计算即可.
10．【答案】A
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】∵ OD平分∠AOC，∠AOD=40°，
∴ ∠AOC=2∠AOD=80°，
∵ OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=160° .
故答案为：A
【分析】根据角平分线的定义可求得答案。
11．【答案】−1
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
12．【答案】45°或135°
【知识点】等腰三角形的性质
13．【答案】95°
【知识点】三角形内角和定理
14．【答案】485或6
【知识点】含30°角的直角三角形
15．【答案】45∘ 或 30∘
【知识点】等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA= 12 ∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分类如下：①如图1，
当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°.此时∠B=2x=45°；②，如图2，
当BD=BE时，则∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x，
解得x=37.5°，此时∠B=（180-4x）°=30°.
综上所述∠B=45°或30°.
故答案为：45°或30°
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】①由题意得△ACD≌△AC'D，则∠1=∠2，故①正确；
②∵AD是折痕，∴C'和C关于AC对称， AD垂直平分C'C，故②正确；
③设∠ACE=β，∵CE平方∠ACB，∴∠ACB=2β，∠B=120°−2β，
∵BC=C'D，∴∠BDC'=120°−2β，∴∠AC'D=240°−4β，
∵∠AC'D=∠ACD，∴240°−4β=2β，∵β=40°，∠B=40°=∠C'DB，
∵CD=C'D，∴∠C'CD=∠DCC'=20°，∴∠B=2∠BCC'，故③错误；
④∵∠ECD=40°，∠C'DB=40°，
∴DC'∥EC；故④正确；
故答案为：①②④。
【分析】由折叠得性质得△ACD≌△AC'D、AD垂直平分C'C，则∠1=∠2；设∠ACE=β，即可求出∠B=120°−2β=∠BDC'，∠AC'D=240°−4β，
再由∠AC'D=∠ACD得到∴240°−4β=2β从而求出β=40°，则∠B=40°=∠C'DB，
即可得出；由∠ECD=40°，∠C'DB=40°即可得出DC'∥EC。
17．【答案】18．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=3，∴△ABC的面积= 12 ×12×3=18．故答案为18．
【分析】如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得OE=OD=OF=3，由△ABC的面积=12×BC×OD+12×AB×OE+12×AC×OF=12（AB+BC+AC）×3计算即可.
18．【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故答案为：24°．
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，根据三角形外角的性质可得∠B＝∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，再利用三角形内角和即可求解.
19．【答案】证明：连接BE，
∵点E是AC的中点，AC=2AB，
∴AB=AE，BE=AE，
∴AB=BE=AE，即△ABE是等边三角形，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD=∠EAD=30°，
在△BAD和△EAD中，
AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD ，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴∠AED=∠B=90°，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAE=90°﹣60°=30°=∠DAE，
∴∠AFE=∠ADE，
∴AD=AF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先连接BE，根据点E是AC的中点，AC=2AB，判定△ABE是等边三角形，再根据∠BAC的平分线AD交BC于点D，判定△BAD≌△EAD（SAS），得出∠AED=∠B=90°，然后求得∠FAE=90°﹣60°=30°=∠DAE，得出∠AFE=∠ADE，最后得到AD=AF．
20．【答案】（1）解：如图1，△A'B'C'就是所求的三角形；
（2）解：如图2，点P就是所求的点.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据对称的性质，作出 △ABC 三个顶点关于直线n的对称点，然后连接起来即所求 △A'B'C' ；
（2）作点A关于直线m的对称点A''，连接BA''与直线m交于点P，由△APB的周长AB+BP+AP=AB++BP+PA'，则当A''、B、P三点共线时， △APB的周长有最小值.
21．【答案】（1）证明：∵B(−1，0)，C(1，0)，
∴OB=OC，
∵OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠BAC=2∠BAO，
∵∠BDC=2∠BAO，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠DFB=∠AFC，
∴∠ABD=180°−∠BDC−∠BFD=180°−∠BAC−∠AFC=∠ACD，
即∠ABD=∠ACD；
（2）证明：如图，过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN（AAS）
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
（3）解：∠BAC的度数不变化；
如图，理由：在CD上截取CP=BD，连接AP．
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP(SAS)．
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，可知线段OB=OC；根据等腰三角形的判定和性质，可得AB=AC；根据等量代换原则，可得∠BDC=∠BAC；根据三角形内角和定理和等量代换原则，可得∠ABD=∠ACD；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，可得AB=AC；根据三角形全等的判定和性质，可得AM=AN；根据等腰三角形的性质，可得AD平分∠CDE；
（3）根据等量代换原则，可得AD=PD；根据三角形全等的判定和性质，可得AD=AP，∠BAD=∠CAP；根据等边三角形的判定和性质，可得△ADP是等边三角形，∠DAP=60°；根据等量代换原则，即可求出∠BAC为60°.
22．【答案】（1）①1；②60°
（2）①∠BEC=90°；②BE=CE+2AM
（3）35
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
23．【答案】（1）DE=BD+CE
（2）解：DE=BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°−α，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（3）解：∵∠BAD<∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴S△ABD=S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC=12BC⋅ℎ=12，S△ABF=12BF⋅ℎ，
∵BC=3BF，
∴S△ABF=4，
∵S△ABF=S△BDF+S△ABD=S△FBD+S△ACE=4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）DE=BD+CE，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC(AAS)，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE．
【分析】（1）根据角之间关系可得∠DBA=∠EAC，则AB=AC，再根据全等三角形判定定理可得△DBA≌△EAC(AAS)，则AD=CE，BD=AE，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得∠DBA=∠EAC，则AB=AC，再根据全等三角形判定定理可得△DBA≌△EAC(AAS)，则AD=CE，BD=AE，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE(AAS)，则S△ABD=S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.