浙江省宁波江北区四校联考2024-2025学年数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份浙江省宁波江北区四校联考2024-2025学年数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是
A．且B．且C．且D．且
2、（4分）若是三角形的三边长，则式子的值（ ）.
A．小于0B．等于0C．大于0D．不能确定
3、（4分）如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接，，，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①；②；③④是等边三角形．
A．只有①②B．只有①④C．只有①②③D．①②③④
4、（4分）二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）过原点和点的直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，△A1B1C1是由△ABC沿BC方向平移了BC长度的一半得到的，若△ABC的面积为20cm2，则四边形A1DCC1的面积为（ ）
A．10 cm2B．12 cm2C．15 cm2D．17 cm2
7、（4分）某青年排球队12名队员的年龄情况如下表所示：
这12名队员的平均年龄是（ ）
A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁
8、（4分）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．B．C．50D．25
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）方程＝0的解是___．
10、（4分）如图①，在▱ABCD中，∠B＝120°，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为_____．
11、（4分）将直线y＝2x+3向下平移2个单位，得直线_____．
12、（4分）_______
13、（4分）已知a=，b=，则a2-2ab+b2的值为____________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠. 书包每个定价20元，水性笔每支定价5元. 小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）. 设购买费用为元，购买水性笔支.
（1）分别写出两种优惠方法的购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式；
（2）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.
15、（8分）如图，在边长为的正方形四个角上，分别剪去大小相等的等腰直角三角形，当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积也随之发生变化，它们的变化情况如下：
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）请将上述表格补充完整；
（3）当等腰直角三角形的直角边长由增加到时，阴影部分的面积是怎样变化的？
（4）设等腰直角三角形的直角边长为，图中阴影部分的面积为，写出与的关系式.
16、（8分）己知：，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
17、（10分）如图所示，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接，.
（1）求证：；
（2）若点在上，且，连接，求证：.
18、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点．
（1）求证：DE＝BF．
（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若是的小数部分，则的值是______．
20、（4分）已知关于x的方程m2x2+2(m﹣1)x+1＝0有实数根，则满足条件的最大整数解m是______．
21、（4分）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形 、正方形 、…、正方形，使得点 …在直线l上，点 …在y轴正半轴上，则点 的横坐标是__________________。
22、（4分）当x＝________时，分式的值为零．
23、（4分）若点A、B在函数的图象上，则与的大小关系是________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值：，其中，
25、（10分）如图，是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；
(2)在(1)的前提下，在第二象限内的格点上找一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是；
(3)求((2)中△ABC的周长(结果保留根号)；
(4)画出((2)中△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
26、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
【详解】
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即≠2，＞0，
解得m≠2且m＜6
故选D.
点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m的式子表示x解分式方程，构造不等式组是解题关键.
2、A
【解析】
先利用平方差公式进行因式分解，再利用三角形三边关系定理进行判断即可得解.
【详解】
解：=(a-b+c)(a-b-c)
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
(a-c+b)(a-c-b)<0
故选A.
本题考查了多项式因式分解的应用，三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.
3、B
【解析】
根据平行四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理对各项进行判断即可．
【详解】
为平行四边形，
，
，
，
①对．
②
，
，
，
，
②不对
③无特殊角度条件，无法证③
同理，
④，
，，
，
，
，
，
等边，④对，
选①④
故选B．
本题考查了三角形的综合问题，掌握平行四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
4、A
【解析】
二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】
∵在实数范围内有意义，
∴x−2⩾0，解得x⩾2.
故选A.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握运算法则
5、A
【解析】
设直线的解析式为y=kx（k≠0），把（2，3）代入函数解析式，根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：∵直线经过原点，
∴设直线的解析式为y=kx（k≠0），
把（2，3）代入得3=2k，
解得，
该直线的函数解析式为y=x．
故选：A．
此题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6、C
【解析】
解：∵△A1B1C1是由ABC沿BC方向平移了BC长度的一半得到的，
∴AC∥AC1，B1C=B1C1，
∴△B1DC∽△B1A1C1，
∵△B1DC与△B1A1C1的面积比为1：4，
∴四边形A1DCC1的面积是△ABC的面积的，
∴四边形A1DCC1的面积是：cm2，
故选C
7、C
【解析】
根据平均数的公式 求解即可．
【详解】
这12名队员的平均年龄是
（岁），
故选：C．
本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．
8、D
【解析】
根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【详解】
根据题意，∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°﹣30°=45°，
∴∠A=45°，
∴AB=AC.
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故选D．
考点：1等腰直角三角形；2方位角.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x＝5.
【解析】
把两边都平方，化为整式方程求解，注意结果要检验.
【详解】
方程两边平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝3，x2＝5，
经检验，x2＝5是方程的解，
所以方程的解为：x＝5.
本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
10、14
【解析】
根据图象点P到达C时，△PAB的面积为6，由BC＝4，∠B＝120°可求得AB＝6，H横坐标表示点P从B开始运动到A的总路程，则问题可解．
【详解】
由图象可知，当x＝4时，点P到达C点，此时△PAB的面积为6
∵∠B＝120°，BC＝4
∴
解得AB＝6
H点表示点P到达A时运动的路程为4+6+4＝14
故答案为14
本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象性质，解答时注意研究动点到达临界点前后函数图象的变化．
11、y=2x+1．
【解析】
根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得：将直线y=-2x+3先向下平移3个单位，得到直线y=－2x+3-2，即y=-2x+1.
故答案是：y=﹣2x+1.
12、2019
【解析】
直接利用平方差公式即可解答
【详解】
=2019
此题考查平方差公式，解题关键在于掌握运算法则
13、8
【解析】
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【详解】
a2-2ab+b2=（a-b）2=.
故答案为8.
本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）方法①；方法②；（2）方案①购买更省钱，理由见解析
【解析】
（1）分别表示两种优惠方法的费用与购买水笔的只数之间的关系，
（2）分别求出两种方案下当x=12时y的值，比较并做出判断．
【详解】
解：（1）方法①：，即；
方法②：，即
（2）按方法①购买需要元；
按方法②购买需要元
答：按照方案①购买更省钱
考查一次函数的图象和性质、根据题意写出函数关系式是解题的关键．
15、 (1) 自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积;(2)见解析;(3) .
【解析】
（1）根据定义确定自变量、因变量即可；
（2）根据题意计算即可；
（3）观察数据表格确定阴影面积变化趋势；
（4）阴影面积为正方形面积减去四个等腰直角三角形面积．
【详解】
解：（1）在这个变化过程中，自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积；
（2）等腰直角三角形直角边长为6时，阴影面积为202-4× ×62=328，
等腰直角三角形直角边长为9时，阴影面积为202-4××92=238；
（3）当等腰直角三角形的直角边长由增加到时，阴影部分的面积由减小到；
（4）.
故答案为：(1) 自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积; (2)见解析; (3) .
本题考查函数关系式，函数求值，涉及到了函数的定义、通过数值变化观察函数值变化趋势．熟练掌握正方形和等腰直角三角形的面积公式是解题的关键．
16、 (1);(2)
【解析】
（1）首先将代数式进行通分，然后根据已知式子，即可得解；
（2）首先根据完全平方差公式，将代数式展开，然后将已知式子转换形式，代入即可得解.
【详解】
∵，，
∴，
（1）
（2）
此题主要考查二次根式的运算，熟练掌握，即可解题.
17、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）由正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】
证明（1）在正方形中，
∵，
又∵
∴
∴
（2）∵
∴
又∵
∴
在和△中
∵ 又由（1）知
∴
∴
又∵
∴
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
又∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DE＝BF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
又∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据题意知，而，将代入，即可求解．
【详解】
解：∵ 是的小数部分，而我们知道，
∴，
∴．
故答案为1．
本题目是二次根式的变型题，难度不大，正确理解题干并表示出来，是顺利解题的关键．
20、1
【解析】
分m=1即m≠1两种情况考虑，当m=1时可求出方程的解，从而得出m=1符合题意；当m≠1时，由方程有实数根，利用根的判别式即可得出△=-8m+4≥1，解之即可得出m的取值范围.综上即可得出m的取值范围，取其内最大的整数即可.
【详解】
解：当m＝1时，原方程为2x+1＝1，
解得：x＝﹣，
∴m＝1符合题意；
当m≠1时，∵关于x的方程m2x2+2(m﹣1)x+1＝1有实数根，
∴△＝[2(m﹣1)]2﹣4m2＝﹣8m+4≥1，
解得：m≤且m≠1．
综上所述：m≤．
故答案为：1．
本题考查的是方程的实数根，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
21、
【解析】
根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得所求点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标．
【详解】
∵观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，
∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）．
观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，
∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1）．
故答案为．
此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键．
22、3
【解析】
根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可得答案.
【详解】
∵分式的值为零，
∴x-3=0,x+5≠0，
解得：x=3，
故答案为：3
本题考查分式值为0的条件，要使分式值为0，则分子为0，分母不为0；熟练掌握分式值为0的条件是解题关键.
23、
【解析】
将点A、B分别代入函数解析式中，求出m、n的值，再比较与的大小关系即可．
【详解】
点A、B分别代入函数解析式中
解得
∵
∴
故答案为：．
本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质和代入求值法是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
先利用二次根式的性质化简，合并后再把已知条件代入求值.
【详解】
原式=
当，y= 4时
原式=
本题主要考查了二次根式的化简求值，注意先化简代数式，再进一步代入求得数值.
25、（1）详见解析；（2）(-1，1)；（3）2+2；（4）详见解析.
【解析】
（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C即可；
（3）利用格点三角形分别求出三边的长度，即可求出△ABC的周长；
（4）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
【详解】
解：(1)建立平面直角坐标系如图所示；
(2)(-1，1)；
(3)AB==2,
BC=AC==,
∴△ABC的周长=2+2；
(4)画出△A'B'C′如图所示.
本题考查了作图，勾股定理，熟练正确应用勾股定理是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
三角形的直角边长/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
阴影部分的面积/
398
392
382
368
350
302
272
200
三角形的直角边长/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
阴影部分的面积/
328
238