浙江杭州余杭区2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份浙江杭州余杭区2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、（4分）如图，矩形中，，，点从点出发，沿向终点匀速运动，设点走过的路程为，的面积为，能正确反映与之间函数关系的图象是( )
A． B． C． D．
3、（4分）若分式有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列事件中，确定事件是（ ）
A．向量与向量是平行向量B．方程有实数根；
C．直线与直线相交D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
5、（4分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CDD．AB∥CD
6、（4分）如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度( )
A．逐渐增加B．逐渐减小
C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等
7、（4分）放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离和放学后的时间之间的关系如图所示，给出下列结论：①小刚家离学校的距离是；②小刚跑步阶段的速度为；③小刚回到家时已放学10分钟；④小刚从学校回到家的平均速度是．其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8、（4分）如图，已知正方形ABCD的面积等于25，直线a，b，c分别过A，B，C三点，且a∥b∥c，EF⊥直线c，垂足为点F交直线a于点E，若直线a，b之间的距离为3，则EF=（ ）
A．1B．2C．-3D．5-
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）根据图中的程序，当输入时，输出的结果______.
10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；……按此规律操作下去，得到的正方形的面积是______________．
11、（4分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值范围是___．
12、（4分）一组数据x1，x2，…，xn的平均数是2，方差为1，则3x1，3x2，…，3xn，的方差是_____．
13、（4分）如果将直线y=3x-1平移，使其经过点(0，2)，那么平移后所得直线的表达式是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，某校组织学生到地开展社会实践活动，乘车到达地后，发现地恰好在地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶10公里到达地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达地．求、两地间的距离，
15、（8分） 解不等式组：，并求出它的整数解的和．
16、（8分）计算：+（2﹣π）0﹣（）
17、（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N．连接BM，DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB=4，AD=8，求MD的长．
18、（10分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（﹣3，5），点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分） “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
20、（4分）把直线y＝﹣x﹣1沿着y轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为_____．
21、（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．
22、（4分）若=3-x，则x的取值范围是__________．
23、（4分）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形.
（1）如图，当点在上时，求证:
（2）当旋转角的度数为多少时，？
（3）若，请直接写出在旋转过程中的面积的最大值.
25、（10分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．
ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．
26、（12分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示
（1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min；
（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人相遇的时间．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
首先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．
【详解】
点P(2,3)关于x轴的对称点为(2,−3)，
(2,−3)在第四象限.
故选：D.
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握对称的性质.
2、C
【解析】
首先判断出从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=x（0≤x≤1）；然后判断出从点C到点D，△ABP的底AB的长度一定，高都等于BC的长度，所以△ABP的面积一定，y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=1（1≤x≤3），进而判断出△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是哪一个即可.
【详解】
解：从点B到点C，△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=x（0≤x≤1）；
因为从点C到点D，△ABP的面积一定：2×1÷2=1，
所以y与点P运动的路程x之间的函数关系是：y=1（1≤x≤3），
所以△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致是：
．
故选：C．
此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键.
3、A
【解析】
直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得：x≠-1．
故选A．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4、B
【解析】
根据“必然事件和不可能事件统称确定事件”逐一判断即可．
【详解】
A. 向量与向量是平行向量，是随机事件，故该选项错误；
B. 方程有实数根，是确定事件，故该选项正确；
C. 直线与直线相交，是随机事件，故该选项错误；
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，是随机事件，故该选项错误；
故选：B．
本题主要考查确定事件，掌握确定事件和随机事件的区别是解题的关键．
5、C
【解析】
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】
A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；
D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴▱ABCD是矩形，正确；
故选：C．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
6、D
【解析】
【分析】如图，连接BD，由菱形的性质以及∠A=60°，可得△BCD是等边三角形，从而可得BD=BC，再通过证明△BCF≌BDE，从而可得CF=DE，继而可得到AE+CF=AB，由此即可作出判断.
【详解】如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴CD=BC，∠C=∠A=60°，∠ABC=∠ADC==120°，
∴∠4=∠DBC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC，
∵∠2+∠3=∠EBF=60°，∠1+∠2=∠DBC=60°，
∴∠1=∠3，
在△BCF和△BDE中，
，
∴△BCF≌BDE，
∴CF=DE，
∵AE+DE=AB，
∴AE+CF=AB，
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的定理与性质是解题的关键.
7、A
【解析】
由t=0时s=1000的实际意义可判断①；
由8≤t≤10所对应的图象表示小刚跑步阶段，根据速度=路程÷时间可判断②；
根据t=10时s=0可判断③；
总路程除以所用总时间即可判断④．
【详解】
解：①当t=0时，s=1000，即小刚家离学校的距离是1000m，故①正确；
②小刚跑步阶段的速度是=300（m/min），故②正确；
③当s=0时，t=10，即小刚回到家时已放学10min，故③正确；
④小刚从学校回到家的平均速度是=100（m/min），故④正确；
故选：A．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键.
8、A
【解析】
延长AE交BC于N点，过B点作BM⊥AN于M点，过N点作NH⊥FC于H点，在Rt△ABM和Rt△BMN中，易得cs∠BAM=cs∠MBN，即，解得BN=，从而求出CN长度，在Rt△HNC中，利用cs∠HNC=cs∠MBN=，求出NH长度，最后借助EF=NH即可．
【详解】
解：延长AE交BC于N点，过B点作BM⊥AN于M点，过N点作NH⊥FC于H点，
因为正方形的面积为23，所以正方形的边长为3．
在Rt△ABM中，AB=3，BM=3，利用勾股定理可得AM=2．
∵∠BAM+∠ABM=90°，∠NBM+∠ABM=90°，
∴∠MBN=∠BAM．
∴cs∠BAM=cs∠MBN，即 ，解得BN=．
∴CN=BC-BN=．
∵∠HNC=∠MBN，
∴cs∠HNC=cs∠MBN=．
∴ ，解得NH=3．
∵a∥c，EF⊥FC，NH⊥FC，
∴EF=NH=3．
故选：A．
本题考查正方形的性质、平行线间的距离、解直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线，转化角和边．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
根据题意可知，该程序计算是将x代入y＝−2x＋1．将x＝5输入即可求解．
【详解】
∵x＝5＞3，
∴将x＝5代入y＝−2x＋1，
解得y＝2．
故答案为：2．
解题关键是弄清题意，根据题意把x的值代入，按程序一步一步计算．
10、
【解析】
根据正比例函数的性质得到，，均为等腰直角三角形，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【详解】
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴正方形的边长为1，面积为1．
∵直线l为正比例函数的图象，
∴，，均为等腰直角三角形，
∴，
，
正方形的边长为，面积为．
同理，正方形的边长为，面积为
……
所以正方形的面积是．
本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到，，均为等腰直角三角形，正确找出规律是解题的关键．
11、1．
【解析】
首先计算出不等式的解集x≤，再结合数轴可得不等式的解集为x≤1，进而得到方程=1，解方程可得答案．
【详解】
2x﹣a≤﹣1，
x≤，
∵解集是x≤1，
∴＝1，解得：a＝1，
故答案为1．
此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是正确解不等式．
12、1
【解析】
根据x1，x2，x3，…xn的方差是1，可得出3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差是1×32即可．
【详解】
∵数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，方差是1，
∴数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差是1×1=1．
故答案为：1．
本题考查了方差，若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．
13、
【解析】
根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=3x+b，然后将点（0，1）代入即可得出直线的函数解析式．
【详解】
解：设平移后直线的解析式为y=3x+b．
把（0，1）代入直线解析式得1=b，
解得 b=1．
所以平移后直线的解析式为y=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
本题考查一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、公里
【解析】
先过点C向AB作垂线，构造直角三角形，利用60°和45°特殊角，表示出相关线段，利用已知CB长度为10公里，建立方程，解出这些相关线段，从而求得A、C两地的距离．
【详解】
解：如图，过点作于点，
则，，，
在中，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
在中，
，
、两地间的距离为公里．
本题主要考查了勾股定理应用题，正确构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解是解题关键．
15、﹣1＜x≤2，1.
【解析】
先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解．
【详解】
解不等式①，得：x≤2，解不等式4x﹣2＜5x﹣1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以不等式组的整数解的和为0+1+2=1．
本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的和，所以要找出在这范围内的整数．
16、3.
【解析】
根据实数运算法则进行计算，特别要注意二次根式的运算法则.
【详解】
解：原式
=3
本题考核知识点：实数运算. 解题关键点：掌握实数运算法则，重点是二次根式运算法则.
17、（1）证明见解析；（2）MD长为1．
【解析】
（1）利用矩形性质，证明BMDN是平行四边形，再结合MN⊥BD，证明BMDN是菱形．
（2）利用BMDN是菱形，得BM=DM，设，则，在中使用勾股定理计算即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵BD的垂直平分线MN
∴BO=DO，
∵在△DMO和△BNO中
∠MDO=∠NBO，BO=DO，∠MOD=∠NOB
∴△DMO ≌△BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD
∴BMDN是菱形
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD=x，则MB=DM=x，AM=(8-x)
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=1
答：MD长为1．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，及勾股定理，熟练使用以上知识是解题的关键．
18、（﹣3，2）
【解析】
先作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．根据矩形的性质及题意得到直线CD′的解析式，即可得到答案.
【详解】
如图，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．此时△DCE′的周长最小．
∵四边形AOCB是矩形， B（﹣3，5），
∴OA＝3，OC＝5，
∵AD＝2OD，
∴AD＝2，OD＝1，
∴AD′＝AD＝2，
∴D′（﹣5，0），∵C（0，5），
∴直线CD′的解析式为y＝x+5，
∴E′（﹣3，2）．
本题考查矩形的性质和求一元一次方程，解题的关键是掌握矩形的性质和求一元一次方程.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、内错角相等,两直线平行
【解析】
解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”．
20、y＝﹣x+1
【解析】
根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案．
【详解】
解：把直线y＝﹣x﹣1沿着y轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为y＝﹣x﹣1+2，即y＝﹣x+1．
故答案为：y＝﹣x+1．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
21、1
【解析】
连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【详解】
连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE=BQ+QE=，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=1．
故答案为1．
考点：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
22、
【解析】
试题解析：∵=3﹣x，
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
23、－1
【解析】
根据一次函数的定义，可得答案.
【详解】
解：由是关于x的一次函数，得
，解得m=-1.
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）当旋转角的度数为时，；（3）
【解析】
（1）由旋转的性质和矩形的性质，找出证明三角形全等的条件，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）连接，由旋转的性质和矩形的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（3）根据题意可知，当旋转至AG//CD时，的面积的最大，画出图形，求出面积即可.
【详解】
(1)证明：矩形是由矩形旋转得到的，
，
，
又，
∴，
，
；
（2）解：连接
矩形是由矩形旋转得到的，
，
，
，
∴，
，
即，
；
，
，
，
当旋转角的度数为时，；
（3）解：如图：当旋转至AG//CD时，的面积的最大，
∵，
∴，，
∴；
∴的面积的最大值为.
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确做出辅助线，利用所学的性质进行求解.注意利用数形结合的思想进行解题.
25、（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）.
【解析】
（1）只要证明△BAE≌△ACD；
（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，只要证明BG=AE，BG∥AE即可；
ⅱ）求出四边形BGAE的周长，△ABC的周长即可；
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
∵AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠CAD．
（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．
理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，
∴AG＝AD，AB＝AC，
∴∠GAD＝∠BAC＝60°，
∴△GAB≌△DAC，
∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，
∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，
∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，
∴BG∥AE，
∴四边形AGBE是平行四边形，
ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．
∵BH＝CH＝
∴
∴
∴四边形BGAE的周长＝,△ABC的周长＝3（k+1），
∴四边形AGBE与△ABC的周长比＝
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为100m/s；（2）自变量x的范围为0≤x≤；（3）两人相遇时间为第8分钟．
【解析】
(1)认真分析图象得到路程与速度数据；
(2)采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；
(3)两人相遇实际上是函数图象求交点．
【详解】
解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为小玲路程与时间图象
则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为（4000-2000）÷（30-10）=100m/s
(2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，
∴他离家的路程y=4000﹣300x，
自变量x的范围为0≤x≤，
(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，
∴4000﹣300x=200x
解得x=8
∴两人相遇时间为第8分钟．
故答案为(1)4000，100；(2)y=4000﹣300x，0≤x≤；(3)第8分钟.
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人