长沙市重点中学2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份长沙市重点中学2024年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）方程的解是
A．B．C．或D．或
2、（4分）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时点P的坐标是( )
A．(2016，0)B．(2017，1)C．(2017，－1)D．(2018，0)
5、（4分）如图所示,在▱ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE,△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是( )
A．△CDF≌△EBC
B．∠CDF=∠EAF
C．CG⊥AE
D．△ECF是等边三角形
6、（4分）如图，函数与的图象交于点，那么关于x，y的方程组的解是
A．B．C．D．
7、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A． B． C． D．且
8、（4分）一次函数y=5x-4的图象经过( ).
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）用一块长80cm，宽60cm的纸板，在四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为1500cm2的无盖长方体纸盒，则截去的小正方形的边长为___________.
10、（4分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____
11、（4分）已知：，则______.
12、（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
13、（4分）某市出租车的收费标准如下：起步价5元，即千米以内（含千米）收费元，超过千米的部分，每千米收费元．（不足千米按千米计算）求车费（元）与行程（千米）的关系式________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解分式方程：
（1）；
（2）＝1；
15、（8分）八年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名八年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生？
（2）求扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整.
16、（8分） (1)因式分解：
(2)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.
17、（10分）如图，在△ABC中，．请用尺规在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明
18、（10分）甲、乙两名射击选示在10次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示：
根据以上信息，请解答下面的问题；
（1）补全甲选手10次成绩频数分布图．
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（3）教练根据两名选手手的10次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？（至少从两个不同角度说明理由）．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按图所示的方式放置.点、、，…和点、、，…分别在直线和轴上.已知，，则点的坐标是______.
20、（4分）小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是_____．
21、（4分）平面直角坐标系中，A、O两点的坐标分别为（2，0），（0，0），点P在正比例函数y＝x（x＞0）图象上运动，则满足△PAO为等腰三角形的P点的坐标为_____．
22、（4分）当_____________时，在实数范围内有意义．
23、（4分）某个“清凉小屋”自动售货机出售三种饮料.三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶. 工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，饮料的数量（单位：瓶）是饮料数量的2倍，饮料的数量（单位：瓶）是饮料数量的2倍. 某个周六，三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出. 但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元. 则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是__________元.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：y＝y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝﹣1时y＝1．
(1)求y关于x的函数关系式．
(2)求x＝﹣时，y的值．
25、（10分）画出函数y=2x-1的图象.
26、（12分）为了增强学生的身体素质，某校坚持长年的全员体育锻炼，并定期进行体能测试，下面是将某班学生的立定跳远成绩（精确到0.01m），进行整理后，分成5组，画了的频率分布直方图的部分，已知：从左到右4个小组的频率分别是：0.05，0.15，0.30，0.35，第五小组的频数是1．
（1）该班参加测试的人数是多少？
（2）补全频率分布直方图．
（3）若该成绩在2.00m（含2.00）的为合格，问该班成绩合格率是多少？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：（x-2）2=3（x-2），
（x-2）2-3（x-2）=0，
（x-2）（x-2-3）=0，
x-2=0，x-2-3=0，
x1=2，x2=1．
故选C．
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2、B
【解析】
根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【详解】
解：正比例函的函数值随的增大而减小，
，
一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0，
一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴的负半轴相交．
故选：．
本题考查正比例函数的性质和一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质和一次函数的图象.
3、D
【解析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误．
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确．
故选：D．
本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点．
4、B
【解析】
试题解析：以时间为点P的下标．
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-1），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）．
∵2017=504×4+1，
∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．
故选B.
5、C
【解析】
A.在平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC,
∠CDF=∠EBC,
CD=EB,
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；
B.在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故B正确；
C. .当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故C错误；
D. 同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故D正确；
故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
6、A
【解析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】
解：根据题意可得方程组的解是．
故选：A．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7、D
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。故选D。
8、C
【解析】
根据一次函数的性质结合k、b的值即可确定答案.
【详解】
∵k=5＞0，
∴一次函数y=5x-4的图象经过第一、三象限，
∵b=-4＜0，
∴一次函数y=5x-4的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴一次函数y=5x-4的图象经过第一、三、四象限，
故选C．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理 直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1cm
【解析】
根据题意，将纸板的四个角截去四个相同的小正方形后，得到一个底面积为100的无盖长方体纸盒，设截去的小正方形的边长为，根据底面的面积公式，列一元二次方程求解即可．
【详解】
解：设截去的小正方形的边长为，由题意得，，
整理得，
解得．
当时，＜0, ＜0，不符合题意，应舍去；
当时，＞0，＞0，符合题意，所以=1．
故截去的小正方形的边长为1cm．
故答案为：1cm
本题考查一元二次方程的应用，根据题意将无盖长方体纸盒的底面面积表示出来，列关于ｘ的一元二次方程求解即可．
10、1
【解析】
求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=1时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【详解】
解：x2-6x+8=0，
（x-2）（x-1）=0，
x-2=0，x-1=0，
x1=2，x2=1，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=1时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是1，
故答案为：1．
本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．
11、
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，求出x的值，然后可得y的值，易求结果.
【详解】
解：由题意得：，
∴x=-2，
∴y=3，
∴，
故答案为：.
本题考查了二次根式和分式的性质，根据他们各自的性质求出x，y的值是解题关键.
12、1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx1+5x+m1﹣1m=0有一个根为0，
∴m1﹣1m=0且m≠0，
解得，m=1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
13、
【解析】
本题是一道分段函数，当和是由收费与路程之间的关系就可以求出结论．
【详解】
由题意，得
当时，
；
当时，
，
∴，
故答案为：．
本题考查了分段函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) 经检验x＝3是分式方程的解；（2）经检验x＝﹣1是分式方程的解.
【解析】
（1）根据分式方程的原则求解即可,注意分式方程的增根.
（2）根据分式方程的原则求解即可,注意分式方程的增根.
【详解】
解：（1）去分母得：3x﹣3＝2x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+4x+4﹣4＝x2﹣4，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
本题主要考查分式方程的求解，特别注意一定不能忘记分式方程根的检验.
15、（1）560人；（2）54°；（3）补图见解析.
【解析】
分析：（1）由“专注听讲”的学生人数除以占的百分比求出调查学生总数即可；
（2）由“主动质疑”占的百分比乘以360°即可得到结果；
（3）求出“讲解题目”的学生数，补全统计图即可；
详解：（1）根据题意得：224÷40%=560（名），
则在这次评价中，一个调查了560名学生；
故答案为：560；
（2）根据题意得：×360°=54°，
则在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；
故答案为：54；
（3）“讲解题目”的人数为560-（84+168+224）=84，补全统计图如下：
点睛：此题考查了频率（数）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
16、 (1)；(2) .
【解析】
(1)先提取y,再根据完全平方公式即可得到答案；
(2)先分别求出不等式组中两个不等式的解，再将答案表示的数轴上.
【详解】
(1)因式分解：


(2)解不等式组：
解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图.

∴原不等式组的解集为：
本题考查因式分解、解不等式组和数轴，解题的关键是掌握因式分解、解不等式组和数轴.
17、见详解
【解析】
根据线段垂直平分线性质作图求解即可．
【详解】
解：如图，作AB的垂直平分线，交AC于P．
则PA=PB，点P为所求做的点．
本题考查尺规作图．线段垂直平分线的性质：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .作线段的垂直平分线是解决本题关键．
18、（1）4；（2）8、1.2、7.5；（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定．
【解析】
（1）根据甲的成绩频数分布图及题意列出10﹣（1+2+2+1），计算即可得到答案；
（2）根据平均数公式、中位数的求法和方差公式计算得到答案；
（3）从平均数和方差进行分析即可得到答案.
【详解】
解：（1）甲选手命中8环的次数为10﹣（1+2+2+1）＝4，
补全图形如下：
（2）a＝＝8（环），
c＝×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，
b＝＝7.5，
故答案为：8、1.2、7.5；
（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数和方差，解题的关键是读懂频数分布直方图，掌握平均数、中位数和方差的求法.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
由正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将A1、A2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB1，OB2的长，设B2G=A3G=t，表示出A3的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A3的坐标．
【详解】
连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，
∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，
∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，
∵C1（1，-1），C2（，−），
∴A1（1，1），A2（，），
∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（-2）=5，
将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得： ，
解得： ，
∴直线解析式为y=x+，
设B2G=A3G=t，则有A3坐标为（5+t，t），
代入直线解析式得：t=（5+t）+，
解得：t=，
∴A3坐标为.
故答案是：.
考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键．
20、0.7
【解析】
用通话时间不足10分钟的通话次数除以通话的总次数即可得．
【详解】
由图可知：小明家3月份通话总次数为20+15+10+5=50（次）；
其中通话不足10分钟的次数为20+15=35（次），
∴通话时间不足10分钟的通话次数的频率是35÷50=0.7.
故答案为0.7.
21、（1，1）或（，）或（1，1）
【解析】
分OP＝AP、OP＝OA、AO＝AP三种情况考虑：①当OP1＝AP1时，△AOP1为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A的坐标可得出点P1的坐标；②当OP1＝OA时，过点P1作P1B⊥x轴，则△OBP1为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A的坐标可得出点P1的坐标；③当AO＝AP3时，△OAP3为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A的坐标可得出点P3的坐标．综上即可得出结论
【详解】
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1．
分三种情况考虑，如图所示．
①当OP1＝AP1时，∵∠AOP1＝45°，
∴△AOP1为等腰直角三角形．
又∵OA＝1，
∴点P1的坐标为（1，1）；
②当OP1＝OA时，过点P1作P1B⊥x轴，则△OBP1为等腰直角三角形．
∵OP1＝OA＝1，
∴OB＝BP1＝，
∴点P1的坐标为（，）；
③当AO＝AP3时，△OAP3为等腰直角三角形．
∵OA＝1，
∴AP3＝OA＝1，
∴点P3的坐标为（1，1）．
综上所述：点P的坐标为（1，1）或（，）或（1，1）．
故答案为：（1，1）或（，）或（1，1）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，分OP＝AP、OP＝OA、AO＝AP三种情况求出点P的坐标是解题的关键．
22、a≥1
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得a-1≥0，再解不等式即可．
【详解】
由题意得：a-1≥0，
解得：a≥1，
故答案为： a≥1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
23、760
【解析】
设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x=19x元，周六C饮料数量为1.5x瓶，则B饮料数量为3.2x瓶，A饮料数量为6x瓶，周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x=29.1x元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x-19x=10.1x元，由于发生一起错单，收入的差为403元，因此，403加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，所以这起错单发生在A、B饮料上（A、B一瓶的差价为1元），且是消费者付A饮料的钱，取走的是B饮料；于是可以列方程求出C的数量，进而求出工作日期间一天的销售收入．
【详解】
设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，
工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x=19x元，周六C饮料数量为1.5x瓶，则B饮料数量为3.2x瓶，A饮料数量为6x瓶，周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x=29.1x元，
周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x-19x=10.1x元，
由于发生一起错单，收入的差为403元，因此，403加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，
所以这起错单发生在A、B饮料上（A、B一瓶的差价为1元），且是消费者付A饮料的钱，取走的是B饮料；
于是有：10.1x-（3－2）=403
解得：x=40.
工作日期间一天的销售收入为：19×40=760元.
故答案为：760.
考查销售过程中的数量之间的关系，以及方程的整数解得问题，通过探索、推理、验证得到答案．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)y＝2x2+；(2)y＝﹣．
【解析】
（1）设y1＝k1x2，y2＝，根据y＝y1﹣y2，列出y与k1，k2和x之间的函数关系，再将x，y的已知量代入，便能求出k1，k2的值，进而得到y关于x的函数关系式.
（2）把x=-代入y关于x的函数关系式即可．
【详解】
解：(1)设y1＝k1x2，y2＝，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝k1 x2﹣，
把x＝1，y＝3代入y＝k1 x2﹣得：k1﹣k2＝3①，
把x＝﹣1，y＝1代入y＝k1 x2﹣得：k1 + k2＝1②，
①，②联立，解得：k1＝2，k2＝﹣1，
即y关于x的函数关系式为y＝2x2+，
(2)把x＝﹣代入y＝2x2+，
解得y＝﹣．
本道题主要考查了学生对待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式的熟练掌握情况,能够正确的表示出y、x的函数关系式，进而用待定系数法求得其解析式是解答此题的关键.
25、见解析.
【解析】
通过列出表格，画出函数图象即可．
【详解】
列表：
画出函数y=2x-1的图象.如图所示.
此题考查一次函数的图象，解题关键在于掌握其性质定义.
26、（1）参加测试的有60人；（2）详见解析；（3）0.2．
【解析】
（1）根据第五组的频数与频率可以求得该班参加测试的人数；
（2）根据频率分布直方图可以求得第五组的频率，从而可以将统计图补充完整；
（3）根据频率分布直方图中的数据可以求得该班成绩合格率．
【详解】
解：（1）1÷（1﹣0.05﹣0.15﹣0.30﹣0.35）＝60（人）
答：参加测试的有60人；
（2）第五组的频率是：1﹣0.05﹣0.15﹣0.30﹣0.35＝0.15，
补全的频率分布直方图如图所示：
（3）0.30+0.35+0.15＝0.2，
答：该班成绩合格率是0.2．
本题考查频率分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
选手
A平均数
中位数
众数
方差
甲
a
8
8
c
乙
7.5
b
6和9
2.65