云南省重点中学2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份云南省重点中学2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )
A．2B．3C．5D．7
2、（4分）当有意义时，a的取值范围是( )
A．a≥2B．a＞2C．a≠2D．a≠－2
3、（4分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为
A．B．10cmC．20cmD．12cm
4、（4分）如图，直线经过第二、三、四象限，的解析式是，则的取值范围在数轴上表示为（ ）.
A．B．
C．D．
5、（4分）如图,已知的顶点,,点在轴的正半轴上,按以下步骤作图:①以点为圆心、适当长度为半径作弧,分别交、于点,；②分别以点,为圆心、大于的长为半径作弧,两弧在内交于点；③作射线,交边于点.则点的坐标为( )
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5B．3C．3.5D．4
7、（4分）下列各组数中，不是直角三角形的三条边的长的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．5，12，13D．4，5，6
8、（4分）为了调查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．11，11B．12，11C．13，11D．13，16
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，□OABC的顶点O，A的坐标分别为（0，0），（6，0），B（8，2），Q（5，3），在平面内有一条过点Q的直线将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则该直线的解析式为___．
10、（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
11、（4分）如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若，，则阴影部分的面积为__________．
12、（4分）一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3，则第四组数据的个数为______．
13、（4分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：① BC=DF，②∠DGF=135；③BG⊥DG，④ 若3AD=4AB，则4S△BDG=25S△DGF；正确的是____________（只填番号）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）2019年4月25日至27日，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议。我国准备将地的茶叶1000吨和地的茶叶500吨销往“一带一路”沿线的地和地，地和地对茶叶需求分别为900吨和600吨，已知从、两地运茶叶到、两地的运费（元/吨）如下表所示，设地运到地的茶叶为吨，
（1）用含的代数式填空：地运往地的茶叶吨数为___________，地运往地的茶叶吨数为___________，地运往地的茶叶吨数为___________.
（2）用含（吨）的代数式表示总运费（元），并直接写出自变量的取值范围；
（3）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案.
15、（8分）如图，将平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形．
16、（8分）如图，在□ABCD 中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果DE=3，EF=4，DF=5，求EB、DF两平行线之间的距离．
17、（10分）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是 ；
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．
18、（10分）如图1，在ABC中，∠A=80°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD与CE交于点F.
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，EG、DG分别平分∠AEF、∠ADF， EG与DG交于点G ，求∠EGD的度数.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20+2，那么△DEF的周长是_____．
20、（4分）约分：_______.
21、（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简=_____．
22、（4分）化简:=_________.
23、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________使其成为菱形（只填一个即可）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，一次函数与的图象相交于
（1）求点的坐标及；
（2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积.
（3）结合图象，直接写出时的取值范围.
25、（10分）已知一次函数的图象经过（2，5）和（﹣1，﹣1）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在给定的直角坐标系xOy中画出这个一次函数的图象，并指出当x增大时，y如何变化？
26、（12分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
试题解析：∵这组数据的众数为7，
∴x=7，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，
中位数为：1．
故选C．
考点：众数；中位数.
2、B
【解析】
根据二次根式及分式有意义的条件即可解答.
【详解】
∵有意义，
∴a-2>0，
∴a＞2.
本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式及分式有意义的条件是解决问题的关键.
3、B
【解析】
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
【详解】
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR•BC＝AS•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝ AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝ ＝10（cm），
故选：B．
本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
4、C
【解析】
根据一次函数图象与系数的关系得到m-2＜1且n＜1，解得m＜2，然后根据数轴表示不等式的方法进行判断．
【详解】
∵直线y=（m-2）x+n经过第二、三、四象限，
∴m-2＜1且n＜1，
∴m＜2且n＜1．
故选C．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠1）是一条直线，当k＞1，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜1，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（1，b）．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
5、B
【解析】
依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=，可得G（，3）．
【详解】
解：如图：
∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，3），
∴AH=1，HO=3，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=，
∴G（，3），
故选：B．
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
6、D
【解析】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=1．
故选D．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
7、D
【解析】
根据勾股定理即可判断.
【详解】
A.∵ 32+42=52，故为直角三角形；
B. 62+82=102，故为直角三角形；
C. 52+122=132，故为直角三角形；
D. 42+52≠62，故不是直角三角形；
故选D.
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.
8、D
【解析】
众数是出现次数最多的数，中位数是把数据从小到大排列位置处于中间的数；
【详解】
将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，
中位数为：13；
数据16出现的次数最多，故众数为16.
故选：D.
此题考查中位数，众数，解题关键在于掌握其定义.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y＝2x﹣1．
【解析】
将▱OABC的面积分成相等的两部分,所以直线必过平行四边形的中心D,由B的坐标即可求出其中心坐标D,设过直线的解析式为y＝kx＋b,把D和Q的坐标代入即可求出直线解析式即可.
【详解】
解:∵B（8，2）,将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心,
平行四边形OABC的对称中心D（4,1）,
设直线MD的解析式为y＝kx＋b,
∴
即,
∴该直线的函数表达式为y＝2x﹣1,
因此，本题正确答案是: y＝2x﹣1.
本题考察平行四边形与函数的综合运用，能够找出对称中心是解题关键.
10、
【解析】
可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【详解】
解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
11、40
【解析】
作出辅助线，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【详解】
如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S =S
即S −S =S −S，
即S =S =15cm，
同理可得S =S =25cm，
∴阴影部分的面积为S +S =15+25=40cm.
故答案为40.
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于进行等量代换.
12、2
【解析】
先根据各小组的频率和是2，求得第四组的频率；再根据频率=频数÷数据总数，进行计算即可得出第四组数据的个数．
【详解】
解：∵一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.2、0.3，
∴第四组的频率为：2-0.25-0.2-0.3=0.3，
∴第四组数据的个数为：50×0.3=2．
故答案为2．
本题考查频率与频数，用到的知识点：频率=频数：数据总数，各小组的频率和是2．
13、①③④
【解析】
根据矩形的性质得：BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，由角平分线可得△ADF是等腰直角三角形，则BC=DF=AD，故①正确；
先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD；再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△BEG≌△DCG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②错误；
由全等三角形的性质可得∠BGE=∠DGC，即可得到③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD=5a，求得S△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°．
∵AF平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴BC=DF，故选项①正确；
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∠AEB=45°．
∵AB=CD，∴BE=CD；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形．
∵点G为EF的中点，∴CG=EG，∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°．
在△BEG和△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴∠BGE=∠DGC．
∵∠BGE＜∠AEB，∴∠DGC=∠BGE＜45°．
∵∠CGF=90°，∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵△BEG≌△DCG，∴∠BGE=∠DGC，BG=DG．
∵∠EGC=90°，∴∠BGD=90°，∴BG⊥DG，故③正确；
∵3AD=4AB，∴，∴设AB=3a，则AD=4a．
∵BD=5a，∴BG=DGa，∴S△BDGa1．
过G作GM⊥CF于M．
∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=a，∴GMCFa，∴S△DGF•DF•GM4aa=a1，∴S△BDGS△DGF，∴4S△BDG=15S△DGF，故④正确．
故答案为①③④．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），，；（2）；（3）由地运往地400吨，运往地600吨；由地运往地500吨时运费最低
【解析】
（1）从A地运往C地x吨，A地有1000吨，所以只能运往D地（1000-x）吨；C地需要900吨，那么B地运往C地（900-x），D地需要600吨，那么运往D（x-400）吨；
（2）根据总运费=A地运往C地运费+A地运往D地运费+B地运往C地运费+B地运往D地运费代入数值或字母可得；
（3）根据（2）中得到的一次函数关系式，结合函数的性质和取值范围确定总运费最低方案。
【详解】
（1），，
（2）
（ ）
（3）∵，
∴随的增大而增大。
∵
∴当时，最小.
∴由地运往地400吨，运往地600吨；
由地运往地500吨时运费最低。
本题考查了一次函数的应用，题目较为复杂，理清题中数量关系是解（2）题的关键，利用了一次函数的增减性，结合自变量x的取值范围是解（3）题的关键。
15、详见解析
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
【详解】
证明：连接，设与交于点
四边形是平行四边形．
，
又
四边形是平行四边形，
此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解题时要注意选择适宜的判定方法．
16、（1）详见解析；（2）2.1.
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，继而可得∠DAE=∠BCF，然后即可利用SAS证明△ADF≌△CBE，进一步即可证明DF=EB，DF∥EB，即可证得结论；
（2）先根据勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，然后根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，
∵AE=CF，∴AF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴DF=EB，∠DFA=∠BEC，
∴DF∥EB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，∴DE⊥EF．
过点E作EG⊥DF于G，如图，则，即3×1=EG×5，∴EG=2.1．
∴EB、DF两平行线之间的距离为2.1．
本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、两平行线之间的距离的定义、勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识，属于常见题型，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
17、（1）EB=FD，（2）EB=FD，证明见解析；（3）不变，等于60°.
【解析】
（1）EB=FD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB=FD；
（2）当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同（1）；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不发生变化，是一定值，为60°．
【详解】
解：（1）EB=FD，
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，
∴∠FAD=∠BAE，
在△AFD和△ABE中，
，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB=FD；
（2）EB=FD．
证：∵△AFB为等边三角形
∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD；
（3）解：
同（2）易证：△FAD≌△BAE，
∴∠AEB=∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，
∴∠EGD=180°﹣∠BED﹣∠EDF
=180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°
=60°．
18、（1）130〬（2）155〬
【解析】
(1)根据三角形的内角和是180°，可知∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠FBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，即∠BFC=180°-(∠ABC+∠ACB)，再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，从而求出∠BFC的度数；
(2)由角平分线的定义可得，，由四边形内角和定理可知，继而得到，再根据四边形内角和定理即可求得答案.
【详解】
(1)∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∵，
∴∠BFC=；
(2)∵EG、DG分别平分∠AEF、∠ADF，
∴，，
∵，
∴ ，
∴∠EGD
.
本题考查了三角形内角和定理、四边形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、10＋
【解析】
根据三角形中位线定理得到，，，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵△ABC的周长为，
∴AB+AC+BC=，
∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，
∴，，，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=10+，
故答案为：10+．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
20、
【解析】
根据分式的基本性质，分子分母同时除以公因式3ab即可。
【详解】
解：分子分母同时除以公因式3ab，得：
故答案为：
本题考查了分式的基本性质的应用，分式的约分找到分子分母的公因式是关键，是基础题。
21、-b
【解析】
根据数轴判断出、的正负情况，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质解答即可.
【详解】
由图可知，，，
所以，，
.
故答案为-b
本题考查了实数与数轴，绝对值的性质以及二次根式的性质，根据数轴判断出、的正负情况是解题的关键.
22、
【解析】
根据三角形法则计算即可解决问题．
【详解】
解：原式=，
= ，
= ，
=.
故答案为.
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
23、AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC（填一个即可）．
【解析】
试题分析：根据菱形的判定定理，已知平行四边形ABCD，添加一个适当的条件为：AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．
考点：菱形的判定．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）9；（3）时的取值范围是．
【解析】
（1）把代入中，求得n,再代入可得m的值；
（2）分别求得B、C的坐标，以及BC的长，再利用面积公式求出答案；
（3）观察图象可直接得出结果。
【详解】
解：（1）把代入中，则
∴
把代入中，则
（2）当时，，，则点坐标为；
当时，，则点坐标为；
∴，
∴的面积；
（3）根据图象可知，时的取值范围是．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．也考查了待定系数法和三角形的面积。
25、y=2x+1；y随着x的增大而增大.
【解析】
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将已知两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）做出函数图象，如图所示，根据增减性即可得到结果．
【详解】
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
将（2，5）与（﹣1，﹣1）代入得，
解得：k=2，b=1，
则一次函数解析式为y=2x+1；
（2）如图所示，y随着x的增大而增大．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26、当时，
【解析】
首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.
【详解】
当时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD=QC，
∴
∴
∴当时，.
此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
35
40
30
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