云南省玉溪市易门县2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份云南省玉溪市易门县2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，△ABC中，AC＝BC，点P为AB上的动点（不与A，B重合）过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F设AP的长度为x，PE与PF的长度和为y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）以下列长度为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．5，6，7B．7，8，9C．6，8，10D．5，7，9
4、（4分）设表示两个数中的最大值，例如：，，则关于的函数可表示为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿河顺流航行所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行所用时间相等，设河水的流速为，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）某种出租车的收费标准是：起步价8元（即距离不超过，都付8元车费），超过以后，每增加，加收1.2元（不足按计）.若某人乘这种出租车从甲地到乙地经过的路程是，共付车费14元，那么的最大值是（ ）.
A．6B．7C．8D．9
7、（4分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格:如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是( )
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
8、（4分）若式子的值等于0，则x的值为（ ）
A．±2B．－2C．2D．－4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若五个整数由小到大排列后，中位数为4，唯一的众数为2，则这组数据之和的最小值是_____．
10、（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________.
11、（4分）若一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是______．
12、（4分）如果一组数据a ,a ,…a的平均数是2，那么新数据3a ,3a ,…3a的平均数是______．
13、（4分）如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，则CD的长为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为 ，矩形ABCD的面积为 ；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
15、（8分）在平行四边形中，和的平分线交于的延长线交于，是猜想：
（1）与的位置关系？
（2）在的什么位置上？并证明你的猜想.
（3）若，则点到距离是多少？
16、（8分）为了对学生进行多元化的评价，某中学决定对学生进行综合素质评价设该校中学生综合素质评价成绩为x分，满分为100分评价等级与评价成绩x分之间的关系如下表：
现随机抽取该校部分学生的综合素质评价成绩，整理绘制成图、图两幅不完整的统计图请根据相关信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，图中等级为D级的扇形的圆心角等于______；
(2)补全图中的条形统计图；
(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校等级为C级的学生约有多少名．
17、（10分）如图①，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与交坐标轴于A,B两点．以AB为斜边在第一象限作等腰直角三角形ABC，C为直角顶点，连接OC．
（1）求线段AB的长度
（2）求直线BC的解析式；
（3）如图②，将线段AB绕B点沿顺时针方向旋转至BD，且，直线DO交直线y=x+3于P点，求P点坐标．
18、（10分）如图①，直线与双曲线相交于点、，与x轴相交于C点．
求点A、B的坐标及直线的解析式；
求的面积；
观察第一象限的图象，直接写出不等式的解集；
如图，在x轴上是否存在点P，使得的和最小？若存在，请说明理由并求出P点坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于E，▱ABCD的周长是16cm，EC=2cm，则BC=______.
20、（4分）用科学记数法表示______．
21、（4分）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m＝_____．
22、（4分）已知a＝﹣2，则+a＝_____．
23、（4分）直线y=3x向下平移2个单位后得到的直线解析式为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣4，0），C（﹣1，1），请在图上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．
25、（10分）如图，点在等边三角形的边，延长至，使，连接交于.
求证：.
26、（12分）如图，△ABC中，D是BC上的一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C.
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键.
2、D
【解析】
利用S△ABC＝S△PCA+S△PCB＝AC×PEPF×BC，即可求解．
【详解】
解：连接CP，设AC＝BC＝a（a为常数），
则S△ABC＝S△PCA+S△PCB＝AC×PEPF×BC＝a（PE+PF）＝ay，
∵△ABC的面积为常数，故y的值为常数，与x的值无关．
故选：D．
本题考查了动点问题的函数图象．解答该题的关键是将△ABC的面积分解为△PCA和△PCB的面积和．
3、C
【解析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
解：A、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为72+82≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为62+82=102，所以三条线段能组成直角三角形；
D、因为52+72≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选：C．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算.
4、D
【解析】
由于3x与的大小不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
当，即时，；
当，即时，．
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．
5、C
【解析】
分析题意，由江水的流速为vkm/h，可知顺水速度为(40+v)km/h，逆水速度为(40-v)km/h；
根据题意可得等量关系：以以最大航速沿河顺流航行所用时间和它以最大航速沿河逆流航行所用时间相等，根据顺流时间=逆流时间，列出方程即可.
【详解】
设水的流速为vkm/h，根据题意得：
本题考查了分式方程的应用，分析题意，根据路程、速度、时间的关系，找出等量关系是解题的关键。
6、C
【解析】
已知从甲地到乙地共需支付车费14元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，首先去掉前3千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．
【详解】
设某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，根据题意，
得：8+1.2(x−3)⩽14，
解得：x⩽8，
即x的最大值为8km，
故选C.
此题考查一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程
7、D
【解析】
由一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数;接下来根据中位数的定义, 结合去掉一个最高分和一个最低分, 不难得出答案.
【详解】
解: 中位数是将一组数从小到大的顺序排列, 取中间位置或中间两个数的平均数得到,所以如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是中位数.
故选D.
本题主要考查平均数、众数、方差、中位数的定义，其中一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数.
8、C
【解析】
=0且x²+4x+4≠0，
解得x=2.
故选C.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、19
【解析】
根据“五个整数由小到大排列后，中位数为4，唯一的众数为2”，可知此组数据的第三个数是4，第一个和第二个数是2，据此可知当第四个数是5，第五个数是6时和最小.
【详解】
∵中位数为4
∴中间的数为4，
又∵众数是2
∴前两个数是2，
∵众数2是唯一的，
∴第四个和第五个数不能相同，为5和6，
∴当这5个整数分别是2，2，4，5，6时，和最小，最小是2+2+4+5+6=19，故答案为19.
本题考查中位数和众数，能根据中位数和众数的意义进行逆向推理是解决本题的关键.在读题时需注意“唯一”的众数为2，所以除了两个2之外其它的数只能为1个.
10、6
【解析】
∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分线交AC于点N，
∴CD=AB=4，AN=DN，
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10，
∴CN+4+AN=10，
∴CN+AN=AC=6.
故答案为6.
11、
【解析】
在中，当时随的增大而增大，当时随的增大而减小．由此列不等式可求得的取值范围．
【详解】
解：一次函数是常数）中随的增大而减小，
，解得，
故答案为：．
本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，
12、6
【解析】
根据所给的一组数据的平均数写出这组数据的平均数的表示式，把要求的结果也有平均数的公式表示出来，根据前面条件得到结果．
【详解】
解：一组数据，，，的平均数为2，
，
，，，的平均数是
故答案为6
本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
13、1
【解析】
利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据等角的余角相等证出∠ACD＝∠A，从而证明DA＝DC，从而得到CD＝AB＝1．
【详解】
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×4＝1．
故答案为1．
本题考查了作图﹣基本作图—作已知线段的垂直平分线，以及垂直平分线的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（4）（4，7），3 ；（3）a＝a=3，b＝6；（3）S=．
【解析】
（4）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；
（3）如图4所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图3所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值；
（3）当7≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t＜5时，如图3所示S=△EFA的面积；当5≤t＜7时，如图4所示：S=SBEFG+SABG；当7≤t≤6时，如图5所示．S=SABCD﹣SCEF．
【详解】
解：（4）令直线y=x﹣4的y=7得：x﹣4=7，解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，7）．
由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，
∴点A的坐标为（4，7）
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，
∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3﹣4=x﹣4，
∴点A的坐标为 （4，7）；
由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，
∴点D的坐标为（﹣3，7）．
∴AD=4．
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=4×3=3．
（3）如图4所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．
∵点A的坐标为（4，7），
∴点B的坐标为（4，3）
设直线MN的解析式为y=x+c，
将点B的坐标代入得；4+c=3．
∴c=4．
∴直线MN的解析式为y=x+4．
将y=7代入得：x+4=7，解得x=﹣4，
∴点E的坐标为（﹣4，7）．
∴BE=．
∴a=3
如图3所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．
∵点D的坐标为（﹣3，7），
∴点C的坐标为（﹣3，3）．
设MN的解析式为y=x+d，将（﹣3，3）代入得：﹣3+d=3，解得d=5．
∴直线MN的解析式为y=x+5．
将y=7代入得x+5=7，解得x=﹣5．
∴点F的坐标为（﹣5，7）．
∴b=4﹣（﹣5）=6．
（3）当7≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点．
∴s=7．
当3≤t＜5时，如图3所示；
S=；
当5≤t＜7时，如图4所示：过点B作BG∥MN．
由（3）可知点G的坐标为（﹣4，7）．
∴FG=t﹣5．
∴S=SBEFG+SABG=3（t﹣5）+=3t﹣3．
当7≤t≤6时，如图5所示．
FD=t﹣7，CF=3﹣DF=3﹣（t﹣7）=6﹣t．
S=SABCD﹣SCEF=．
综上所述，S与t的函数关系式为S=
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握矩形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、三角形、平行四边形、矩形的面积公式，根据题意分类画出图形是解题的关键．
15、（1）；（2）在的中点处，见解析；（3）点到距离是.
【解析】
（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，于是得到，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，等量代换得到，得到根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）根据（1）（2）可得，再设点到的距离是，建立等式，即可得到.
【详解】
解：（1），
理由：
，
分别平分
，
，
；
（2）在的中点处，
理由：
，
，
，
，
，
，
，
在的中点处；
（3）由（1）（2）得，
在中，，
设点到的距离是，则有
，
.
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确识别图形是解题的关键.
16、（1）100；；（2）补图见解析；（3）240人.
【解析】
根据条件图可知（1）一共抽取学生名，图中等级为D级的扇形的圆心角等于；（2）求出等级人数为名，再画图；（3）由（2）估计该校等级为C级的学生约有．
【详解】
解：在这次调查中，一共抽取学生名，
图中等级为D级的扇形的圆心角等于，
故答案为100、；
等级人数为名，
补全图形如下：
估计该校等级为C级的学生约有人．
本题考核知识点：统计图，由样本估计总体. 解题关键点：从统计图获取信息.
17、（1）；（2）；（3）P点的坐标是.
【解析】
（1）先确定出点A，B坐标，利用勾股定理计算即可；
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，进而判断出，即可判断出四边形OECF是正方形，求出点C坐标即可解决问题．
（3）如图2中，先判断出点B是AM的中点，进而求出M的坐标，即可求出DP的解析式，联立成方程组求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线交坐标轴于A、B两点．
∴令，，∴B点的坐标是，
，
令，，∴A点的坐标是，
，
根据勾股定理得：.
（2）如图，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，
∴四边形OECF是矩形．
∵是等腰直角三角形，
，，，
，
，，．
∴四边形OECF是正方形，
，
，，．
∴C点坐标
设直线BC的解析式为：，
∴将、代入得：，
解得：，．
∴直线BC的解析式为：.
（3）延长AB交DP于M，
由旋转知，BD＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵AD⊥DP，
∴∠ADP＝90°，
∴∠BDA＋∠BDM＝90°，∠BAD＋∠AMD＝90°，
∴∠AMD＝∠BDM，
∴BD＝BM，
∴BM＝AB，
∴点B是AM的中点，
∵A（4，0），B（0，2），
∴M（−4，4），
∴直线DP的解析式为y＝−x，
∵直线DO交直线y＝x＋3于P点，
将直线与联立得：
解得：
∴P点的坐标是.
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，解（2）的关键是求出点C的坐标，解（3）的关键是证明点B是AM的中点，求出直线DP的解析式．
18、（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出直线AB解析式；
(2)先求出点C，D坐标，再用面积的差即可得出结论；
(3)先确定出点P的位置，利用三角形的三边关系，最后用待定系数法求出解析式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点、在双曲线上，
，，
，，
点A，B在直线上，
，
，
直线AB的解析式为；
（2）如图，
由（1）知，直线AB的解析式为，
，，
，，
；
（3）由（1）知，，，
由图象知，不等式的解集为；
（4）存在，理由：如图2，
作点关于x轴的对称点B′（4，-1），连接AB′交x轴于点P，连接BP，在x轴上取一点Q，连接AQ，BQ，
点B与点B′关于x轴对称，
点P，Q是BB′的中垂线上的点，
∴PB′=PB， QB′=QB，
在△AQB′中，AQ+B′Q>AB′
的最小值为AB′，
，B ′（4，-1），
直线AB′的解析式为，
令，
，
，
．
本题是反比例函数综合题，涉及了待定系数法，对称的性质，三角形的面积的计算方法，解本题的关键是求出直线AB的解析式和确定出点P的位置．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠DEA，证出AD=DE；求出AD+DC=8，得出BC=1．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，AD=BC，
∴∠BAE=∠DEA，
∵平行四边形ABCD的周长是16，
∴AD+DC=8，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AD=DE，
∵EC=2，
∴AD=1，
∴BC=1，
故答案为：1.
本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质.
20、
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
0.00000021的小数点向右移动1位得到2.1，
所以0.00000021用科学记数法表示为2.1×10-1，
故答案为2.1×10-1．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
21、-3
【解析】
点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后 ，正好落在y轴上，则
22、1．
【解析】
根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
当a＝﹣2时，
原式＝|a|+a
＝﹣a+a
＝1；
故答案为：1
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
23、y=3x-1
【解析】
直接利用一次函数图象的平移规律“上加下减”即可得出答案．
【详解】
直线y=3x沿y轴向下平移1个单位，
则平移后直线解析式为：y=3x-1，
故答案为：y=3x-1．
本题主要考查一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
根据坐标分别在坐标系中描出各点，再顺次连接各点组成的图形即为所求；根据中心对称的特点，找到对应点坐标，再连线即可
【详解】
如图所示：△A′B′C′与△ABC关于原点O对称．
此题主要考查了作关于原点成中心对称的图形，得出对应点的位置是解题关键．
25、证明见解析.
【解析】
作DG//AC，交AB于G，利用等边三角形的性质得出△BDG为等边三角形，再利用ASA得出△DFG≌△EAF，即可解答
【详解】
证明：作DG//AC，交AB于G，
∵等边三角形ABC
∴∠BDG=∠C=60°
∴∠BGD=∠BAC=60°
所以△BDG为等边三角形
∴GD=BD=AE
∵∠GDF=∠E,∠DGF=∠EAF
∴△DFG≌△EAF
∴FD=EF.
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
26、84
【解析】
根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：在△ABD中，
∵BD2+AD2=62+82=100=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴△ADC也是直角三角形
∴DC2+AD2=AC2，即DC2=AC2－AD2=172－82=225，
∴DC=15 .
∴BC=BD+DC=6+15=21，
∴S△ABC==84 .
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
平均数
中位数
众数
方差
8.5分
8.3分
8.1分
0.15
中学生综合素质评价成绩
中学生综合素质评价等级
A级
B级
C级
D级