热点专题 4.1 三角函数概念与诱导公式【10类题型】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4-1 三角函数概念与诱导公式
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc177312286" 【题型1】等分角的象限问题 PAGEREF _Tc177312286 \h 2
\l "_Tc177312287" 【题型2】 三角函数的定义 PAGEREF _Tc177312287 \h 4
\l "_Tc177312288" 【题型3】对sinα，csα，tanα的知一求二问题 PAGEREF _Tc177312288 \h 6
\l "_Tc177312289" 【题型4】弦切互化求值 PAGEREF _Tc177312289 \h 8
\l "_Tc177312290" 【题型5】sinα±csα与sinαcsα的关系 PAGEREF _Tc177312290 \h 10
\l "_Tc177312291" 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 PAGEREF _Tc177312291 \h 12
\l "_Tc177312292" 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） PAGEREF _Tc177312292 \h 14
\l "_Tc177312293" 【题型8】扇形弧长与面积的计算 PAGEREF _Tc177312293 \h 16
\l "_Tc177312294" 【题型9】割圆术 PAGEREF _Tc177312294 \h 20
\l "_Tc177312295" 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 PAGEREF _Tc177312295 \h 23
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】等分角的象限问题
如何确定角终边所在象限
法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【解析】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD
已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．
C．D．是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
【巩固练习1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【解析】由已知得，，所以，，
当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD．
【巩固练习2】已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当时，，终边位于第一象限
当时，，终边位于第二象限
当时，，终边位于轴的非正半轴上
当时，，终边位于第一象限
综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上
【题型2】 三角函数的定义
一、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值
【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况
已知为角α终边上一点，则= ．
【答案】/0.2
【解析】为角α终边上一点，
，
则，，
.
（2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为
即，所以，所以
【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，
由三角函数的定义得.
【巩固练习2】如果角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的终边在直线上，所以.
所以.故选：B.
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】BC
【解析】由题设，故，整理得，
所以或.故选：BC
【巩固练习4】已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【解析】由定义，，
当，合题意；
当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，所以．
【题型3】对sinα，csα，tanα的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cs2α＝1求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cs α，sin α·cs α建立联系，注意tan α＝eq \f(sin α,cs α)的灵活应用
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cs α或cs α＝eq \f(sin α,tan α)，然后利用平方关系求解
若sin α＝－，则tan α＝ .
【答案】或
【解析】因为sin α＝－