2025-2026学年河南省漯河市第四高级中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省漯河市第四高级中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线2x−y+2=0在x轴上的截距是( )
A. −1B. 1C. ±1D. 2
2.抛物线x=12y2的准线方程为( )
A. y=−18B. x=−18C. y=−12D. x=−12
3.设x，y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−4,2)，且a⊥c,b//c，则|a+b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.“圆(x−a)2+y2=9截直线x−y+1=0所得弦长为2”是“a=3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2−8y+7=0公切线的条数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1与B1D1的交点为M，设AB=a，AD=b，AA1=c，则MC=( )
A. 12a−12b−cB. 12a+12b−c
C. −12a−12b−cD. −12a+12b−c
7.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⋅MF2=0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0, 22)C. (12,1)D. ( 22,1)
8.已知点A(−2,0),B(2,0)，直线l:3x−4y−m=0，若直线l上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是( )
A. 0,803B. −803,0C. −703,103D. −103,703
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点M(1,4)到直线l:mx+y−1=0的距离为3，则实数m等于( )
A. 0B. 34C. 3D. 2
10.已知曲线C:x2m+y2n=1，则下列正确的有( )
A. 若m=1,n=−1，则曲线C的离心率为 2
B. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
C. 若mn0，则C是圆，其半径为 m
11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l交C于A,B两点(A,B在不同的象限)，交y轴于点D，且|AD|=4|BD|,|AF|=92,|BF|=32，过A作C的准线的垂线AE，垂足为E，设点H(−4,0).则下列说法正确的是( )
A. 抛物线C的方程为y2=4xB. |AE|−|BF|=3
C. 直线l的方程为 2x±y−2 2=0D. 直线AE与直线AF关于直线AH对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线y=x−1关于y轴对称的直线的方程为 ．
13.已知平面α的一个法向量为m=(1,1,t)，t∈R，点P(−2,0,0)，Q(0,0,−2)均在平面α内，则点A(−1,−1,2)到平面α的距离为 ．
14.设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点，点P在C的右支上，直线PF2与C的右支的另一个交点为Q，若PF1=|PQ|,cs∠F1PF2=79，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1经过P(1,0)、Q(5,−3)两点．
(1)求直线l1的方程；
(2)设直线l2:(a−1)x+(a+1)y+3=0，若l1⊥l2，求实数a的值．
16.(本小题15分)
已知圆M:x2−4x+y2−4y+m=0．
(1)求m的取值范围．
(2)已知直线l:x+y−2=0与圆M交于A,B两点，且|AB|=2 2．
①求m；
②求过点(4,−2)的圆M的切线方程．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1− 3,0､F2 3,0,MF1−MF2=2 2，点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)已知倾斜角为π4的直线l经过点F2，且l与曲线C交于A,B两点，求▵F1AB的面积．
18.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC,AB⊥AD,CD=AD=12AB=1,∠PAD=45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．
(1)求证：DE//平面PBC；
(2)求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值．
(3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是 33，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为 24，点M,N为椭圆E上的两个不同的动点，线段MF1的最小值为2 2−1．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线MF1的斜率为k1，直线NF1的斜率为k2.若M,N在x轴上方，且k1+k2=0，求证：直线MN过定点．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.D
9.AB
10.ACD
11.BCD
12.y=−x−1
13.2 33
14. 333/13 33
15.【详解】(1)∵直线l1经过P(1,0)、Q(5,−3)两点，
∴k1=−3−05−1=−34，
∴直线l1:y=−34(x−1)，即：3x+4y−3=0．
(2)由l1⊥l2，直线l2:(a−1)x+(a+1)y+3=0，l1:3x+4y−3=0，
得3(a−1)+4(a+1)=0，解得a=−17，
即实数a的值为−17．
16.【详解】(1)(方法一)由题意得M:(x−2)2+(y−2)2=8−m，则8−m>0，
得m0，
得m0且x1+x2=4 3,x1x2=8，
由弦长公式得：
|AB|= 1+12⋅x1−x2= 2× (4 3)2−4×8= 2×4=4 2，
点F1− 3,0到直线AB:x−y− 3=0的距离d=− 3+0− 3 2= 6，
所以S▵F1AB=12|AB|⋅d=12×4 2× 6=4 3．
18.【详解】(1)如图1，取PB中点M，

因为CD//AB且CD=12AB，
又因为E，M分别为PA，PB的中点，
所以EM//AB且EM=12AB，
所以EM//CD且EM=CD，四边形CDEM为平行四边形，
所以DE//CM，CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，
所以DE//平面PBC．
(2)因为PD⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD，所以PD⊥DA，
因为∠PAD=45°，所以PD=DA，又DA=1，
又因为AB⊥AD，AB//DC，所以DC⊥AD，
如图2，以D为原点，DA→，DC→，DP→所在方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，

则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E(12,0,12)，
所以PC→=(0,1,−1)，CB→=(1,1,0)，AP→=(−1,0,1)，
设点G坐标为(1,t,0)，则CG→=(1,t−1,0)，DB→=(1,2,0)，
由CG⊥BD得CG→⋅DB→=1+2(t−1)=0，则t=12，所以G1,12,0，CG→=1,−12,0，
设平面PGC的一个法向量为n→=(x,y,z)，由n→⋅PC→=y−z=0n→⋅CG→=x−12y=0,
令x=1，得n→=(1,2,2)，
设平面PBC的一个法向量为m→=(a,b,c)，由n→⋅PC→=b−c=0n→⋅CB→=a+b=0,
令b=1，得m→=(−1,1,1)，
所以cs〈n→,m→〉=n→⋅m→|n→||m→|=33 3= 33，
故平面PGC与平面PBC夹角的余弦值为 33．
(3)存在，AH= 210，理由如下：
设AH→=λAP→=(−λ,0,λ)，λ∈[0,1]，
所以GH→=GA→+AH→=−λ,−12,λ，所以n→⋅GH→=λ−1，
所以cs =2λ−23 8λ2+1，
因为GH与平面PGC所成角的正弦值为 33，所以2λ−23 8λ2+1= 33，
整理得20λ2+8λ−1=0，解得λ=110，λ=−12(舍)，
所以存在满足条件的点H，AH→=−110,0,110，则AH= −1102+1102= 210．
19.【详解】(1)由题意ca= 24，即a=2 2c，因点M为椭圆上的点，故线段MF1的最小值为a−c=2 2−1，
联立两方程解得a=2 2,c=1，则b2=a2−c2=7，
故椭圆的标准方程为x28+y27=1；
(2)依题意，直线MN的斜率必存在，可设其方程为：y=kx+m，
由7x2+8y2=56y=kx+m，消去y可得：7+8k2x2+16kmx+8m2−56=0，
因Δ=(16km)2−47+8k28m2−56=224(8k2−m2+7)>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=−16km7+8k2,x1x2=8m2−567+8k2，
由k1+k2=y1x1+1+y2x2+1=0可得y1x2+1+y2x1+1=0．
即kx1+mx2+1+kx2+mx1+1=0，整理得2kx1x2+(k+m)x1+x2+2m=0，
将韦达定理代入，可得2k×8m2−567+8k2+(k+m)−16km7+8k2+2m=0，
即2k(8m2−56)−16km(k+m)+2m(7+8k2)=0，化简得m=8k，此时经检验Δ>0符合题意，
故直线MN的方程为：y=kx+8k=k(x+8)，恒过定点(−8,0)．