柳城县中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份柳城县中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则集合A的真子集个数为( )
A.3B.4C.7D.8
2．设复数z满足,则( )
A.B.1C.D.
3．若,,,则a,b,c的大小关系为( ).
A.B.C.D.
4．如图,圆O的半径为1,劣弧的长为,则阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
5．已知向量,满足,且,则在上的投影向量是( )
A.B.C.D.
6．已知,则的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
7．已知函数在R上单调递减,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为,则函数的定义域是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若“,”为假命题,则实数a的取值可以为( )
A.8B.7C.6D.5
10．下列说法中正确的是( )
A.一个样本的方差,则这组样本数据的总和等于60
B.若样本数据,,,的标准差为8,则数据,,,的标准差为16
C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23
D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2,现样本中又加入一个新数据5,此时样本容量为9,平均数不变,方差变小
11．设为正实数,已知函数,则下列结论正确的是( )
A.当时,函数的图象的一条对称轴为
B.已知,,且的最小值为,则
C.当时,函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数
D.若在区间上单调递增,则的取值范围是
三、填空题
12．已知角的终边在直线上,则的值为________.
13．计算:________.
14．已知函数满足:,求函数的解析式________.
四、解答题
15．已知圆C经过点和,且圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程;
（2）若过点作圆C的切线,求该切线方程.
16．已知数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程;
（2）求在的最大值和最小值.
17．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.
(1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；
(2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）.
18．为了增添学习生活的乐趣,甲、乙两人决定进行一场投篮比赛,每次投1个球.先由其中一人投篮,若投篮不中,则换另一人投篮;若投篮命中,则由他继续投篮,当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况,则比赛结束,且此人获胜.经过抽签决定,甲先开始投篮.已知甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且两人每次投篮的结果均互不干扰.
（1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时,乙获胜的概率;
（2）求比赛结束时,甲恰好投了2次篮的概率.
19．如左图所示,在直角梯形ABCD中,,,,,,边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置,使平面平面BCDE,如右图所示.
（1）求证:;
（2）求直线与面所成角的正弦值;
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：,
则集合A的真子集个数为.
故选:C.
2．答案：B
解析：复数满足,得,
则.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为是上的增函数,
所以,即,
又因为是增函数,所以,
又是上的增函数,
所以,即,
综上所述,a,b,c的大小关系为.
故选:A.
4．答案：B
解析：因为劣弧的长为,所以.
则,,
所以阴影部分的面积为.
故选:B
5．答案：B
解析：由已知,且,
则,
解得,
故在上的投影向量是.
故选:B.
6．答案：C
解析：,
因为,所以,
所以,当且仅当,即时,等号成立,
则,即的最小值是5.
故选:C.
7．答案：D
解析：当时,,
因为和都是减函数,所以在上单调递减,
当时,,要使其在上单调递减,则,
所以,解得,故D正确.
故选:D.
8．答案：B
解析：因为函数的定义域为,即,所以,
由解得,所以函数的定义域为.
故选:B
9．答案：ABC
解析：因为“,”为假命题,
所以,恒成立,即在恒成立,
所以且.
令,易知在上是增函数,
所以,所以.
故选:ABC.
10．答案：ABD
解析：解析：对于A,因为样本的方差
所以这个样本有20个数据,平均数是3,这组样本数据的总和为,A正确;
对于B,已知样本数据,,,的标准差为,则,
数据,,,的方差为,其标准差为,故B正确;
对于C,数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数,
从小到大排列为12,,13,14,15,17,19,23,24,27,30,由于,
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数,即,
所以第70百分位数是23.5,故C错误;
对于D,某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,
设此时这9个数的平均数为,方差为,则,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：A选项,当时,函数的图象的对称轴为,,即,,不能取到,A错误;
B选项,为的最小值点,为的最大值点,则,即,且,所以,B正确;
C选项,当时,函数的图象向左平移个单位长度后,
得到函数,故C正确;
D选项,,则,
若在区间上单调递增,则,解得,D正确;
故选:BCD.
12．答案：
解析：因为角的终边在直线上,
所以,
则.
故答案为:.
13．答案：
解析：由题意得
故答案为:.
14．答案：
解析：令,则,,
代入有,
因此,;
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）设圆的标准方程为,
因为圆经过和点,且圆心在直线上,
所以,解得:,
所以圆的标准方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时,,此时圆心到直线的距离为5,等于半径,故满足题意;
当直线l的斜率存在时,设,即,
则点到直线l的距离为圆C的半径,
即,解得,此时.
综上,直线l的方程为或.
16．答案：（1）最小正周期为,对称轴方程为,,
（2）的最小值,最大值1.
解析：（1）
,
所以函数的最小正周期为.
令,,解得,,
所以函数图象的对称轴方程为,,
（2）当时,,则,
进而可得,
当时,即时,取最小值,时,即时,取最大值1.
17．答案：(1)0.68；
(2)20；20.32；
(3)23.86
解析：（1）由志愿者服务时间低于18小时的频率为，
，
所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68.
（2）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；
由，解得，
估计平均数为；
（3），，
由，
第75百分位数位于之间，设上四分位数为y，
则，解得.
估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）若甲、乙投篮总次数为2次,则乙不可能获胜;
若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜,则第一次甲未投中,乙投中第2、3次,
所以;
若甲、乙投篮总次数为次乙获胜,则第一次甲投中、第二次甲未投中,乙投中第3、4次,
所以;
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件A,则,
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时,乙获胜的概率为;
（2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮,则甲连续投中2次,则概率;
若比赛结束时乙赢得比赛,又甲恰好投了2次篮,
①甲投中第一次,第二次甲未投中,乙投中第3、4次,则;
②甲第一次未投中,第二次乙未投中,第3次甲未投中,第4、5次乙投中,
则;
④甲第一次未投中,第二次乙投中,第3次乙未投中,第4甲未投中,第5、6次乙投中,
则;
综上可得比赛结束时,甲恰好投了2次篮的概率.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）在直角梯形中连接CE、AC,设,
,,
又因为四边形ABCD为直角梯形,
,且,
四边形ABCE为平行四边形,
,,
平行四边形ABCE为菱形,,
即翻折后,,
,且,平面,
平面,
平面,;
（2）由已知平面平面BCDE,且平面平面,,平面BCDE,
平面,
在平面内的投影为,
即直线与面所成角的平面角为,
且,,
为等腰直角三角形,,
即直线与面所成角的正弦值为;
（3）如图所示,延长BE,CD,交于点N,
则平面,平面,
又平面,平面,
即为平面与平面的交线,
由（2）得平面,平面,则,
过点作于点P,,CM,平面CMP,
则平面CMP,
又平面CMP,则,
所以平面与平面所成角的平面角为,
由（1）得,且,
,则,即,
,,,
,,,
则,
,
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.