江苏省镇江市丹徒区高资中学四校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江市丹徒区高资中学四校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A.B.
C.D.
2．已知关于x的一元二次方程的一个根为0,则m的值为( )
A.B.1C.1或D.
3．如图,在中,,,,D为的中点.以A为圆心,r为半径作,若B、C、D三点中只有一点在内,则的半径r的值不能是( )
A.2.5B.2.6C.2.8D.3
4．如图,是的直径,弦垂直于点E,连接,,,,则下列结论不一定的是( )
A.B.C.D.
5．绍兴市是著名的桥乡,如图,有一座圆弧形石拱桥,桥顶到水面的距离为,它的跨度也为,则桥拱半径为( )
A.B.C.D.
6．对于一元二次方程,下列说法：
①若,则；
②若方程有两个不相等的实根,则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根,则一定有成立；
④若是一元二次方程的根,则其中正确的( )
A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D.只有①②
二、填空题
7．将一元二次方程化为一般形式为______.
8．用配方法解一元二次方程时,将它化为的形式,则的值为______.
9．已知等腰三角形底边长为9,腰长为方程的根,则该等腰三角形的周长为______.
10．已知与,当时,______.
11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围为______.
12．已知a、b、c是的三边长,那么关于x的方程的根的情况是______.
13．已知,是方程的两个根,则的值为______.
14．如图,在中,若,则弦所对的弧的度数为______.
15．如图,已知的半径为,的一条弦,若内的一点P恰好在上,则线段的长度为整数的值有______个.
16．如图,的直径,半径,点D在弧上,,,垂足分别为E、F,若点E为的中点,弧的度数为______.
17．已知关于x的一元二次方程的两根分别为,,则关于x方程的两根分别为______.
18．配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.已知实数x、y满足,则的最大值为______.
三、解答题
19．解下列一元二次方程：
(1)(用公式法)；
(2)(用因式分解法)；
(3)(用适当的方法)；
(4)(用适当的方法).
20．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于0,求k的取值范围.
21．2024年巴黎奥运会顺利闭幕,吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱,一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品,以30元每个的价格售出,每周可以卖出500个,经过市场调查发现,价格每涨10元,就少卖100个.
(1)若商场计划一周的利润达到8000元,并且更大优惠让利消费者,售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略,在不改变(1)的销售价格基础上,销售量稳步提升,两周后销售量达到了个,求这两周的平均增长率.
22．如图,在中,.
(1)若,则的度数为______°；
(2)若,,求的半径.
23．如图,在中,,,,点P从点A开始沿边向点B以的速度移动,同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动,其中一个动点到达终点时,另一个也随之停止运动.
(1)几秒后,的面积等于？
(2)的面积能否等于？说明理由.
(3)几秒后,的长度等于？
24．阅读下面的材料：的根为,.,.
综上所述得,设的两根为、,则有,.
请利用这一结论解决下列问题：
(1)若矩形的长和宽是方程的两个根,则矩形的周长为______,面积为______.
(2)若是的一个根,求方程的另一个根及c的值.
(3)直角三角形的斜边长是5,另两条直角边的长分别是x的方程：的解,求m的值.
25．阅读材料：各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程通过因式分解可以把它转化,解方程和,可得方程的解.
问题：
(1)方程的解是,______,______；
(2)求方程的解；
(3)拓展：解方程：时,可以用“换元法”转化.设,则有,原方程可化为：.将解方程的过程补充完整,求出x的值.
26．某科研单位准备将院内一块长30m,宽20m的矩形空地,建成一个矩形花园,要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道(小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形),剩余的地方种植花草.
(1)如图1,要使种植花草的面积为,求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区,如图2所示,、、、均为全等的直角三角形,其中,设米,竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m,且竖向道路出口位于和之间,横向弯折道路出口位于和之间.
①求剩余的种植花草区域的面积(用含有a的代数式表示)；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元,求a的值.
参考答案
1．答案：C
解析：A、,移项合并后无二次项,是一元一次方程,不符合题意；
B、,当时,是一元一次方程,不符合题意；
C、是一元二次方程,符合题意；
D、,等式左边不是整式,不符合题意,
故选：C.
2．答案：A
解析：当时,,
解得,
因为,,
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：∵在中,,,
∴,
∵D为的中点,
∴.
当的半径时,点D在上,点C、B在圆外,
当的半径时,点C在上,点D在圆内,点B在圆外,
当的半径时,点B在上,点C、D在圆内,
当的半径满足时,点D在内,
当的半径满足时,点C、D在内,
当的半径满足时,点B、C、D在内,
∴若B、C、D三点中只有一点在内,
则的半径r的取值范围是.
故选：A.
4．答案：B
解析：∵是的直径,弦垂直于点E,
∴,,,
∴,,
而不一定成立,
故选：B.
5．答案：B
解析：连接,
∵,
∴,
设桥拱半径为r,则,
在中,,
即,
解得：,
故选：B.
6．答案：A
解析：①若,即,
则是原方程的解,即方程至少有一个根,
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：,
故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根,
∴,
∴,
又∵方程的判别式为,
∴,
∴方程有两个不相等的实数根,
故②正确；
③是方程的一个根,
∴,
∴,
∴或,即有两种可能性,
故③错误；
④若是一元二次方程的根,
∴根据求根公式得：或,
∴或,
∴,
故④正确.
故选：A.
7．答案：
解析：,
去括号得,,
移项合并同类项,,
故答案为：.
8．答案：13
解析：
,
∴,,
∴；
故答案为13.
9．答案：19
解析：∵,
∴,
∴或,
解得或,
∵等腰三角形的腰长为方程的根,
∴当腰长为3时,则等腰三角形的三边长为3,3,9,
∵,
∴此时不能构成三角形,不符合题意；
当腰长为5时,则等腰三角形的三边长为5,5,9,
∵,
∴此时能构成三角形,符合题意,
∴该等腰三角形的周长为；
综上所述,该等腰三角形的周长为19,
故答案为：19.
10．答案：2或
解析：当时,
即,
整理得：
即,
∴或,
故答案为：2或.
11．答案：且
解析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,且,
解得：且,
故答案为：且.
12．答案：没有实数根
解析：∵a、b、c是的三边长,
∴,,
∴,,
关于x的方程,
,
∴关于x的方程无实数根,
故答案为：没有实数根.
13．答案：1
解析：∵,是方程的两个根,
∴,.且.
由此可得：,.
∴.
故答案为：1
14．答案：或/或
解析：如图,在优弧上取一点D,连接、,在劣弧上取一点C,连接、,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴弦所对的弧的度数为或,
故答案为：或.
15．答案：4
解析：如图,连接,过点O作于点,
则,
在中,,,
故,
则,
∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9,共4个,
故答案为：4.
16．答案：/度
解析：如图所示,连接,交于点G,
∵,,,
∴四边形是矩形,
∴
∵点E为的中点,
∴
∴
∴是等边三角形,
∴,即弧的度数为
故答案为：.
17．答案：,
解析：由得
,
一元二次方程的两根分别为,,
或,
,；
故答案为：,.
18．答案：2
解析：
∵,
∴
∴,
∴当时,有最大值,最大值为：2.
故答案为：2.
19．答案：(1),
(2),
(3),
(4),
解析：(1)
,
∴,
∴,；
(2)
,
∴,；
(3)
,
∴,
∴,；
(4)
,
∴,.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：,
方程总有两个实数根；
(2),即,
,.
方程有一个根小于0,
.
21．答案：(1)售价应定为每个元
(2)这两周的平均增长率为
解析：(1)设售价应定为每个x元,则
,
整理得：,
解得：,；
∵更大优惠让利消费者,
∴不符合题意,
∴商场计划一周的利润达到8000元,并且更大优惠让利消费者,售价应定为每个元.
(2)由(1)得：当售价为每个元时,销量为(个),
设这两周的平均增长率为y,则
,
解得：,(不符合题意舍去),
∴这两周的平均增长率为.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接,
在中,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为：130；
(2)连接并延长,交与H,
∵,,
∴,,
在中,,
∴,
设,则,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴的半径为.
23．答案：(1)1秒后的面积等于
(2)不能等于,理由见解析
(3)当时,的长度等于
解析：(1)设经过x秒以后面积为4,则
,
整理得：,
解得：或,
,
,
答：1秒后的面积等于.
(2)设经过x秒以后面积为8,
,
整理得：,
,
的面积不能等于.
(3)当时,在中,,
,整理得,
解得,(不合题意舍去),
当时,的长度等于.
24．答案：(1),
(2)另一根为,
(3)
解析：(1)设矩形的长和宽分别为,,
∵,是方程的两个根,
∴,,
∴矩形的周长为,面积为,
故答案为：,；
(2)设,是方程的两个根,其中,
∴,即,
解得：,
∴另一根为,；
(3)设两条直角边的长分别为,,
∵,是方程的两个根,
∴,,
由勾股定理得：,
∴,
整理得：,
解得：或,
当时,,不符合题意,舍去,
∴m的值为.
25．答案：(1)3,(或,3)
(2),,
(3),
解析：(1)∵,
∴,
∴,,,
解得,,,,
故答案为：3,；
(2),
,
∴,
∴,,,
解得,,,；
(3),
设,则,
∴原方程可化为：,
,
解得,,(舍去),
∴,即,
∴,
∴,
解得,,,
当时,,满足题意；
当时,,满足题意；
∴方程的解为,.
26．答案：(1)1米
(2)①；②
解析：(1)设小道进出口的宽度为x米,
依题意得.
整理,得.
解得,,.
(不合题意,舍去),
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
(2)①剩余的种植花草区域的面积为：
②由,得：
,
解得：,(舍去).
故.