江苏省镇江市丹徒区宜城中学五校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江市丹徒区宜城中学五校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A.B.C.D.
2．一元二次方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
3．关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值为( )
A.1B.C.1或D.0
4．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根,则该等腰三角形的周长为( )
A.9B.12C.2或5D.9或12
5．若,则的值为( )
A.4B.C.D.4或
6．对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图,将四个长为,宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,即,据此易得.小明用此方法解关于x的方程,其中构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则n的值为( )
A.2B.4C.6D.8
二、填空题
7．一元二次方程：的解为：______.
8．将一元二次方程化为一般形式为______.
9．已知关于x的一元二次方程(k是常数)的一个根是2,则k是______.
10．关于的一元二次方程有两个实根,则实数的取值范围是______.
11．已知a,b是方程的两个不相等的实数根,则的值是.
12．当时,代数式的值与的值相等.
13．把一元二次方程化成的形式,则的值为______.
14．写出一个一元二次方程,使它的两根分别为和3：______.
15．如图,的直径与弦的延长线交于点E,若,则__________________.
16．直角坐标平面内,点,点B的坐标为,的半径为4.若点B在内,则a的范围是______.
17．若m,n是方程的两不同的根,则的值为______.
18．对于一元二次方程,下列说法：
若方程有一根,则；若,则；若方程的两个根是,,那么方程的两个根为,；若c是方程的一个根,则一定有成立.其中正确的有______个.(填个数)
三、解答题
19．解下列方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
20．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围；
(2)请你给出m的一个值,使得这个方程的两个根都是有理数,并求出这两个根.
21．如图所示,以的顶点A为圆心,为半径作圆,分别交,于点E,F,延长交于G.
(1)求证：；
(2)若劣弧所对圆心角的度数为,求的度数.
22．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若a和b是这个一元二次方程的两个根,求的最小值.
23．某水果商场经销一种高档水果,原售价每千克50元,连续两次降价后每千克售价为32元,若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率；
(2)已知每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价0.5元,日销量将减少10千克,现该商场要保证每天盈利6000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元？
24．矩形中,,,点P在边上,且满足,求之长.
25．如图1,在中,,,点D从点A出发沿边AB以的速度向点B移动,移动过程中始终保持,(点E、F分别在AC、BC上).设点D移动的时间为t秒.
(1)试判断四边形DFCE的形状,并说明理由；
(2)当t为何值时,四边形DFCE的面积等于？
(3)如图2,以点F为圆心,FC的长为半径作,在运动过程中,当与四边形DFCE只有1个公共点时,请直接写出t的取值范围.
26．对于代数式,若存在实数n,当时,代数式的值也等于n,则称n为这个代数式的不变值.例如：对于代数式,当时,代数式等于0；当时,代数式等于1,我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时,该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A.特别地,当代数式只有一个不变值时,则.
(1)代数式的不变值是______,______.
(2)说明代数式没有不变值；
(3)已知代数式,若,求b的值.
27．如图,一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成.在小正方形中,点G,E,F分别在,,上,且,,在,,五边形三个区域上种植不同的花卉,每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元.
(1)五边形的面积为_________.(结果用含有x的代数式表示)
(2)当x为何值时,大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
参考答案
1．答案：D
解析：A中有两个未知数,不是一元二次方程,故不符合要求；
B中,不是整式方程,不是一元二次方程,故不符合要求；
C中,整理得,,不是一元二次方程,故不符合要求；
D中是一元二次方程,故符合要求；
故选：D.
2．答案：B
解析：∵一元二次方程,
∴,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选：B.
3．答案：B
解析:根据题意将代入方程可得:,
解得:或,
,即,
,
故选:B.
4．答案：B
解析：∵,
∴,,
∴等腰三角形的三边长为2,2,5,不满足三边关系定理,舍去；
或2,5,5,满足三边关系定理,
∴等腰三角形的周长为,
故选B.
5．答案：A
解析：令,,
∴,
,
∴,,
解得,(舍去),,
故选：A.
6．答案：C
解析：由题意可知,将四个长为,宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,
∵,小正方形的面积为4,
∴大正方形的面积为,
∴大正方形的边长为10,
∴,
∴,
∵小正方形的边长为,即,
∵,
即,
故,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：C.
7．答案：,
解析：,
即,
解得,.
故答案为：,.
8．答案：
解析：,
,
故答案为：.
9．答案：1
解析：将代入得,,
解得,,
故答案为：1.
10．答案：且/且
解析：∵于x的一元二次方程有两个实根,
∴且,
解得：且,
故答案为：且.
11．答案：
解析：∵a,b是方程的两个不相等的实数根,
∴,,
∴,
故答案为：.
12．答案：或3
解析：由题意知,,
,
,
∴,,
解得,,,
故答案为：或3.
13．答案：14
解析：,即,
∴,即,
∴,,
∴,
故答案为：14.
14．答案：
解析：若一元二次方程的两根分别为和3,
则方程可以为,
整理得,
故答案为：.
15．答案：
解析：如图,连接,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
故答案为：.
16．答案：/
解析：由题意知,,
∵点B在内,
∴,即,
解得,,
故答案为：.
17．答案：-1
解析：∵m是方程的根,
∴,
等式两边同时乘m,得：.
∵m、n是方程的两不同的根,
∴,
∴.
故答案为：−1.
18．答案：3
解析：①若方程有一根,则,即,故①正确；
②若,则可知方程有一个根为,
则,故②正确；
③若方程的两个根是,
所以方程的两个根为,,故③正确；
④若c是方程的一个根,
则,
当时,则一定有成立,故④错误.
综上分析可知：其中正确的是①②③,共3个.
故答案为：3.
19．答案：(1),
(2),
(3),
(4),
解析：(1),
,
解得,,；
(2),
,
∴,
∴,；
(3),
,
,
,
∴,,
解得,,；
(4),
,
,
∴,,
解得,,.
20．答案：(1)
(2)时,,
解析：(1)根据题意得且,
解得,
原方程化为,
∵方程有两个不相等的实数根,
∴,
解得,
即实数m的取值范围为；
(2)取,则方程变形为,
解得,.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图,连接,
为圆心,
,
,
四边形为平行四边形,
,
,,
,
；
(2)∵劣弧所对圆心角的度数为,
,
,
四边形为平行四边形,
,
.
22．答案：(1)证明见解析
(2)3.
解析：(1)在关于x的一元二次方程中,,,
所以,
无论m取何值,,
所以,无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)因为a和b是这个一元二次方程的两个根,
所以,,
所以.
无论m为何值,,所以的最小值为3.
23．答案：(1)每次下降的百分率为20%
(2)每千克应涨价5元
解析：(1)设每次下降的百分率为x,
依题意得：,
解得：,(不符合题意,舍去).
答：每次下降的百分率为20%.
答：每千克应涨价5元.
(2)设每千克应涨价y元,则每千克盈利元,每天可售出元,
依题意得：,
整理得：,
解得：,.
又∵要尽快减少库存,
∴.
24．答案：1
解析：设为x,则,
,
,
在中,,
,
,
解得：,(不符合题意舍去),
答：之长为1.
25．答案：(1)平行四边形,理由见解
(2)1秒或5秒
(3)
解析：(1)∵,,
∴四边形DFCE是平行四边形；
(2)如图1中,设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为,根据题意得,
,,,
又∵四边形DFCE的面积,
∴,
,
,
解得,；
答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为；
(3)如图2中,当点D在上时,与四边形DECF有两个公共点,
在中,∵,,,
∴,
∴,
由图象可知,当时,与四边形DFCE有1个公共点.
26．答案：(1)-1和2；3
(2)见解析
(3)-3或1
解析：(1)依题意,得：,
即,
解得：,,
∴.
故答案为-1和2；3.
(2)依题意,得：,
∴,
∵,
∴该方程无解,即代数式没有不变值.
(3)依题意,得：方程即有两个相等的实数根,
∴,
∴,.
答：b的值为-3或1.
27．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意和图可知：小正方形的边长为,
∵,,
∴,
∴五边形的面积为；
故答案为：；
(2)由题意,得：,
整理,得：,
解得：；
∴当时,大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元.