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高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
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这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共35页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5210" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5210 \h 1
\l "_Tc29019" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29019 \h 1
\l "_Tc16383" 三、专项训练 PAGEREF _Tc16383 \h 3
一、必备秘籍
实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为 ；若方程在的解为、，则 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（ ）
A．
B．的取值范围为
C．在区间上单调递增
D．若实数使得方程在恰有，，三个实数根，则的最小值为
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是 .
6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数（，）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数.
(1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；
9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，且为奇函数.
(1)求函数的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.
11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．
(1)求；
(2)设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．
12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，其中，，，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.
①求实数m的取值范围；
②求的值.
14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期．
(2)求的单调递增区间．
(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，函数，．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
的值.
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5210" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5210 \h 1
\l "_Tc29019" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29019 \h 1
\l "_Tc16383" 三、专项训练 PAGEREF _Tc16383 \h 7
一、必备秘籍
实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：D.
2．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
所得函数的解析式为，
因为所得函数为奇函数，所以，
则有，
因为，所以，
所以，
，
因为，所以，
所以由，
可得，
所以，且，
则，
所以，
故选:B.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，的最小正周期，
因为，可知为的一条对称轴，
所以在之后的零点依次为，，，，…，
若在区间上恰有3个零点，所以.
故选：D.
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】原方程
等价于
即函数，在上有交点，
∵，∴，，故，
则.
故答案为：
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为 ；若方程在的解为、，则 .
【答案】
【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则，
当时，，
由题意可得，即，
令，得，可得函数的图象关于直线对称，
，所以，，且，
，
，
，，，.
故答案为：；.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故.
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由图可知，，
函数的周期，所以，
所以，
又，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，
因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以；
（2）
，
由，
得，
因为，所以，
所以或或或，
所以或或或，
所以方程在区间内的所有实数解的和为
．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象，
继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象，
∵的图象关于点对称，得，．
又∵，∴，∴．
令，当时，有，
由，可得，，
结合函数的图象可得，在上只有2个解，
即函数在上零点的个数是2．
故选：B.
2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
当时，，则，
由得，可得，所以，，解得，
故选：DD.
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（ ）
A．
B．的取值范围为
C．在区间上单调递增
D．若实数使得方程在恰有，，三个实数根，则的最小值为
【答案】AC
【详解】由题意，
，，
图象与直线相邻两个交点的距离为，
最小正周期，，A正确．
此时，，
当时，，又，
，，
对，不等式 恒成立，
，解得，故B错误．
对于，当时，，
，，．
所以，在此区间上单调递增，故C正确．
对于，令，则当时，，作出在上的图象，如图所示，
设与图象的交点横坐标从左至右依次为，，，
由图可知：，关于对称，，关于对称，
故，，．
又，，，
所以，
由可得，，
即的最小值为，D错误．
故选：AC．
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题设，
在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，
所以，即，故满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由于，
所以有且只有一个解，即有且只有一个解，
因为，所以，
由题意知，解得，
即的取值范围是为，
故答案为：
6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由图可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
（2）将向右平移个单位得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴，∴，
∴．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数（，）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.
【答案】(1)选择①②，的最小值为；选择①③，的最小值为
(2)选择①②；选择①③
【详解】（1）由题可知，，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为,，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为,，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数.
(1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；
【答案】(1)或；
【详解】（1）依题意，
，
当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，
当时，单调递减，函数值从减小到，
方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，
观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点，
所以实数m的取值范围是或.
9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，且为奇函数.
(1)求函数的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；对称中心为，
(2)
【详解】（1）由题意可知，∴，∴，
将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的新函数为：
，
又为奇函数，且定义域为，
∴且，，，
∴，，∴，
令，，解得，，
∴的对称中心为，.
（2）由（1）可知，设，
∵，∴，∴，∴，
由关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，
可得在区间内仅有一个实数根，且另一个根不等于1或在内有两个相等的根，
令，则，
故或，解得或.
所以.
10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：
，
因，则，
又在上单调递增，在上单调递减，
由可得，
即函数在区间上的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位，
可得到函数的图象，
再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，
再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，
当时，，令，
则，令，
令，可得，其中，
作出函数与函数在时的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点，
设，其中，
则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
所以，，，则，
所以，，解得.
11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．
(1)求；
(2)设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解，因为函数相邻两条对称轴的距离为，可得，即，
所以，即，
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为的图象关于原点对称，所以，
又因为，所以，所以．
（2）解：由（1）可知，
，
因为，所以，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
要使得有且仅有两个实数根，即和的图象有两个不同的交点，
如图所示，可得，即实数的取值范围是．
12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，其中，，，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由题意，函数
，
由得，，
又因为，
由，得：，
所以，
所以的解析式为：.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以，则有，
即
又因为方程在区间上总有实数解，
所以在区间上成立，
所以，，
所以，
所以实数的取值范围为.
13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.
①求实数m的取值范围；
②求的值.
【答案】(1)，对称轴方程
(2)①；② 0．
【详解】（1），
的最小正周期为，，，解得，
故；
由，解得的对称轴方程.
（2）①，即，
关于的方程在区间上有相异两解，，
则函数与的图象在区间上有两个交点，
，，
在上单调递增，在上单调递减，且，
在上的图象如图：
由图象可知，若函数与的图象在区间上有两个交点，
则，
故实数的取值范围为；
②由（1）和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则，解得，
故．
14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期．
(2)求的单调递增区间．
(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
(2)．
(3)
【详解】（1）函数
故函数的最小正周期为．
（2）令，解得，
∴单调递增区间为．
（3）因为，
所以，
所以，
所以的值域为，
关于的方程在上有解，
则关于的方程在上有解，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，函数，．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）
，
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
16．（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)方程在上的两解分别为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
由，得，
所以的单调递增区间为：.
（2）设，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为，
则，必有，
所以，，同理，
，
由于且，则，
由，可得.
17．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的单调递减区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
(3)，
【详解】（1）由题意得，
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，
，
又由为奇函数，可得，
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5210" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5210 \h 1
\l "_Tc29019" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29019 \h 1
\l "_Tc16383" 三、专项训练 PAGEREF _Tc16383 \h 3
一、必备秘籍
实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为 ；若方程在的解为、，则 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（ ）
A．
B．的取值范围为
C．在区间上单调递增
D．若实数使得方程在恰有，，三个实数根，则的最小值为
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是 .
6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数（，）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数.
(1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；
9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，且为奇函数.
(1)求函数的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.
11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．
(1)求；
(2)设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．
12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，其中，，，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.
①求实数m的取值范围；
②求的值.
14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期．
(2)求的单调递增区间．
(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，函数，．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
的值.
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5210" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc5210 \h 1
\l "_Tc29019" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29019 \h 1
\l "_Tc16383" 三、专项训练 PAGEREF _Tc16383 \h 7
一、必备秘籍
实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：D.
2．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
所得函数的解析式为，
因为所得函数为奇函数，所以，
则有，
因为，所以，
所以，
，
因为，所以，
所以由，
可得，
所以，且，
则，
所以，
故选:B.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，的最小正周期，
因为，可知为的一条对称轴，
所以在之后的零点依次为，，，，…，
若在区间上恰有3个零点，所以.
故选：D.
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】原方程
等价于
即函数，在上有交点，
∵，∴，，故，
则.
故答案为：
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则的解析式为 ；若方程在的解为、，则 .
【答案】
【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，然后再向右平移个单位得到函数的图象，则，
当时，，
由题意可得，即，
令，得，可得函数的图象关于直线对称，
，所以，，且，
，
，
，，，.
故答案为：；.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故.
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
7．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由图可知，，
函数的周期，所以，
所以，
又，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，
因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以；
（2）
，
由，
得，
因为，所以，
所以或或或，
所以或或或，
所以方程在区间内的所有实数解的和为
．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象，
继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象，
∵的图象关于点对称，得，．
又∵，∴，∴．
令，当时，有，
由，可得，，
结合函数的图象可得，在上只有2个解，
即函数在上零点的个数是2．
故选：B.
2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
当时，，则，
由得，可得，所以，，解得，
故选：DD.
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，且对于任意，不等式恒成立，则（ ）
A．
B．的取值范围为
C．在区间上单调递增
D．若实数使得方程在恰有，，三个实数根，则的最小值为
【答案】AC
【详解】由题意，
，，
图象与直线相邻两个交点的距离为，
最小正周期，，A正确．
此时，，
当时，，又，
，，
对，不等式 恒成立，
，解得，故B错误．
对于，当时，，
，，．
所以，在此区间上单调递增，故C正确．
对于，令，则当时，，作出在上的图象，如图所示，
设与图象的交点横坐标从左至右依次为，，，
由图可知：，关于对称，，关于对称，
故，，．
又，，，
所以，
由可得，，
即的最小值为，D错误．
故选：AC．
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题设，
在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，
所以，即，故满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由于，
所以有且只有一个解，即有且只有一个解，
因为，所以，
由题意知，解得，
即的取值范围是为，
故答案为：
6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由图可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
（2）将向右平移个单位得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴，∴，
∴．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数（，）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.
【答案】(1)选择①②，的最小值为；选择①③，的最小值为
(2)选择①②；选择①③
【详解】（1）由题可知，，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为,，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为,，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数.
(1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；
【答案】(1)或；
【详解】（1）依题意，
，
当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，
当时，单调递减，函数值从减小到，
方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，
观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点，
所以实数m的取值范围是或.
9．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线（，）相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，且为奇函数.
(1)求函数的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；对称中心为，
(2)
【详解】（1）由题意可知，∴，∴，
将函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的新函数为：
，
又为奇函数，且定义域为，
∴且，，，
∴，，∴，
令，，解得，，
∴的对称中心为，.
（2）由（1）可知，设，
∵，∴，∴，∴，
由关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，
可得在区间内仅有一个实数根，且另一个根不等于1或在内有两个相等的根，
令，则，
故或，解得或.
所以.
10．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数在区间上的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：
，
因，则，
又在上单调递增，在上单调递减，
由可得，
即函数在区间上的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位，
可得到函数的图象，
再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，
再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，
当时，，令，
则，令，
令，可得，其中，
作出函数与函数在时的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点，
设，其中，
则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
所以，，，则，
所以，，解得.
11．（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．
(1)求；
(2)设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解，因为函数相邻两条对称轴的距离为，可得，即，
所以，即，
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为的图象关于原点对称，所以，
又因为，所以，所以．
（2）解：由（1）可知，
，
因为，所以，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
要使得有且仅有两个实数根，即和的图象有两个不同的交点，
如图所示，可得，即实数的取值范围是．
12．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，其中，，，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由题意，函数
，
由得，，
又因为，
由，得：，
所以，
所以的解析式为：.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以，则有，
即
又因为方程在区间上总有实数解，
所以在区间上成立，
所以，，
所以，
所以实数的取值范围为.
13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不等实数解，.
①求实数m的取值范围；
②求的值.
【答案】(1)，对称轴方程
(2)①；② 0．
【详解】（1），
的最小正周期为，，，解得，
故；
由，解得的对称轴方程.
（2）①，即，
关于的方程在区间上有相异两解，，
则函数与的图象在区间上有两个交点，
，，
在上单调递增，在上单调递减，且，
在上的图象如图：
由图象可知，若函数与的图象在区间上有两个交点，
则，
故实数的取值范围为；
②由（1）和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则，解得，
故．
14．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求的最小正周期．
(2)求的单调递增区间．
(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
(2)．
(3)
【详解】（1）函数
故函数的最小正周期为．
（2）令，解得，
∴单调递增区间为．
（3）因为，
所以，
所以，
所以的值域为，
关于的方程在上有解，
则关于的方程在上有解，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，函数，．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为﹣1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）
，
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
16．（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)方程在上的两解分别为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
由，得，
所以的单调递增区间为：.
（2）设，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为，
则，必有，
所以，，同理，
，
由于且，则，
由，可得.
17．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的单调递减区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
(3)，
【详解】（1）由题意得，
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，
，
又由为奇函数，可得，
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