高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03平面与平面所成角(二面角)(含探索性问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03平面与平面所成角(二面角)(含探索性问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共55页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9526" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc9526 \h 1
\l "_Tc22558" 二、典型题型 PAGEREF _Tc22558 \h 2
\l "_Tc25514" 题型一：求二面角 PAGEREF _Tc25514 \h 2
\l "_Tc11626" 题型二：已知二面角求参数 PAGEREF _Tc11626 \h 4
\l "_Tc16244" 题型三：求二面角最值（范围） PAGEREF _Tc16244 \h 7
\l "_Tc24106" 三、专项训练 PAGEREF _Tc24106 \h 9
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线、,则称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为BC，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．

(1)求到平面的距离；
(2)设为的中点，，平面平面，求二面角的大小．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点．

(1)若为线段的中点，证明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
2．（2023·吉林长春·一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；
(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，点是线段上的点，点是线段上的点，且.

(1)证明：直线平面：
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，.

(1)证明：四点共面
(2)当点在棱上运动时（包括端点），求平面与平面夹角余弦值的的取值范围.
3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形中，，为线段的中点，将沿直线AE折起，使得，如图（2）.
(1)求证：平面平面；
(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围.
4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.

(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
三、专项训练
1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体中，，，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）

A．B．C．D．
4．（21·22高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（20·21高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
二、填空题
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为 .
7．（23·24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．

8．（22·23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 ．

9．（23·24高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时， ．

三、解答题
10．（23·24高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，平面平面.

(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
14．（22·23高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面的最小值．
17．（23·24上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，；侧面为矩形，，且平面平面.

(1)求证：；
(2)设是线段上的动点，试确定点的位置，使二面角的余弦值为.
专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9526" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc9526 \h 1
\l "_Tc22558" 二、典型题型 PAGEREF _Tc22558 \h 2
\l "_Tc25514" 题型一：求二面角 PAGEREF _Tc25514 \h 2
\l "_Tc11626" 题型二：已知二面角求参数 PAGEREF _Tc11626 \h 10
\l "_Tc16244" 题型三：求二面角最值（范围） PAGEREF _Tc16244 \h 18
\l "_Tc24106" 三、专项训练 PAGEREF _Tc24106 \h 24
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线、,则称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为BC，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，交于点G，连接FG，
因为E，F分别为BC，的中点，
所以，且，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立坐标系，如图所示，

设，则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则
,即，
不妨取，则，即，
设平面的一个法向量为，则
,即，
不妨取，则，即，
所以，
设二面角的平面角为，则
，
所以
故二面角的正弦值为.
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．

(1)求到平面的距离；
(2)设为的中点，，平面平面，求二面角的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：；
设点到平面的距离为，
，解得：，
即点到平面的距离为.
（2）取的中点，连接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
三棱锥为直三棱柱，平面，
又平面，；
，平面，平面
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知：，，，
，，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
而，所以，
则二面角的大小为.
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）在中，，，，
同理，在中，，
，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
又，与是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，
平面平面.
（2）
如图，作，垂足为，在中，可得，，
由（1），，平面平面，
以点为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直平面为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，
，
又，则，
所以二面角的正弦值为.
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，

，所以，所以，所以.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以.
因为平面，平面，所以.
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，，，

则，，，
设平面的一个法向量为，
则即令，则，
令，则.
所以.
因此平面与平面所成角的余弦值为.
5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点．

(1)若为线段的中点，证明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为线段的中点，
且为等边三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，，，四点共面，
因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）设的中点为，连接，
在平面内，过点作交于点，
由（1）可得两两垂直，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，令，得，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为．


题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明:如图所示，连接,
因为为棱台，所以四点共面，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.

2．（2023·吉林长春·一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；
(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：在长方形中，，为中点，
，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，平面，
，又，平面，平面，
则，，
令，得，
，
又平面，是平面的一个法向量，，
令，解得或（舍）.
即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，
平面，且，
到平面的距离为，又四边形的面积为3，
四棱锥的体积
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的值为
【详解】（1）由图①知，，所以，在中，因为，，
可得，，所以．
即，
所以，
设平面的法向量为，
所以，则，
令，得，
设平面的法向量为，
所以， 解得或（舍去），
所以此时的值为.
4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）易知，，，平面，
平面，
又平面，所以
由直角梯形，，，，
可得，又，得；
又，平面，所以平面
又平面，可得平面平面
（2）取的中点，连接，，

，，
又平面平面，平面平面，平面，
为的中点，为的中点，可得，又，
平面的一个法向量为
可得，解得或(舍)
即为的中点，易知，
故线段的长为.
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，
而底面是矩形，故,底面，
故平面，而平面，故;
（2）由（1）知底面，底面，
故，点F是PB的中点，且，
故，；
又平面，,故平面，
平面，故，而平面，
故平面，故即为二面角的平面角，
由原图可知二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，点是线段上的点，点是线段上的点，且.

(1)证明：直线平面：
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接并延长交于，过作交于，连接，
因为，所以，
又，所以，得到，
又易知，且，又且，故且，所以四边形为平行四边形，
得到，又，所以，
又平面，平面，所以平面，

（2）如图建立空间直角坐标系，因为，
则，，，，，
所以，，，，，
又因为，则，
，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
又因为，，，
所以，即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.

2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，.

(1)证明：四点共面
(2)当点在棱上运动时（包括端点），求平面与平面夹角余弦值的的取值范围.
【答案】(1)证明见解析．
(2)．
【详解】（1）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
∴，，，
∴，
所以共面，即四点共面；
，
，则，所以，
∴平面与平面夹角余弦值的的取值范围是．
3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形中，，为线段的中点，将沿直线AE折起，使得，如图（2）.
(1)求证：平面平面；
(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意证明如下，
取线段AE的中点O，连接DO，OC，如图.
则，，，.
易知平面ADE的一个法向量为.
设点H的坐标为，，
则，.
设平面DHC的法向量为，
则
令，则.
∴.
令，则，
∴.
又，所以，
∴的取值范围为.
4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.

(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由平面平面，且两平面交线为,为中点，，
平面，所以平面，由于平面，故，
在菱形中，，，所以为等边三角形，

（2），
设，则，
，，；
由（1）知平面，
平面的一个法向量，
设平面的法向量，又
则，，即，
令，则，，，
，
令，则，
，
，所以，
，，
即锐二面角的余弦值的取值范围为．
三、专项训练
1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体中，，，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
可得，
则，
可得，
所以平面与平面所成锐二面角的正切值.
故选：A.
2．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，即为的中点时，四点共面，
可得，且，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
设平面与平面所成的二面角为，
则，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值.
故选：D.

3．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，，，两两互相垂直，
以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，（，，且m，n不同时为0），
则，，，所以，.
设平面AEF的一个法向量为，
则，
令，得，则，
显然为平面ABC的一个法向量.
因为平面与平面所成角的大小为，
所以，
即，
得，
所以，所以当时，m取得最大值，最大值为.
故选：B
4．（21·22高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由二面角的平面角大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段.
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，，，所以，，．
易知平面APD的一个法向量为，
设平面PDG的法向量为，
则，即，
令，得，，所以是平面PDG的一个法向量，
则二面角的平面角的余弦值为
，
解得或（舍去），
所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为．
故选：B．
5．（20·21高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】如图，
以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由得，，即，
所以，，
设面的法向量为：，则
取，
取面的法向量为：，
设二面角为，
由得，，则，
所以，
故选：D.
二、填空题
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为 .
【答案】
【详解】如图，设，（），则二面角的大小为，

，，，，
故.
故，故，.
因此所求二面角的度数为.
故答案为：.
7．（23·24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．

【答案】
【详解】取中点，连接，在菱形中，所以是正三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面.

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，
设面的法向量是，，，
则由，即，则令，得，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值是.
故答案为: ．
8．（22·23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 ．

【答案】/60
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，即，
当最小时，，，
所以，所以，
故答案为：．
9．（23·24高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时， ．

【答案】
【详解】设，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量为，
则，
解得或（舍去），所以.
故答案为：.

三、解答题
10．（23·24高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以．
因为，，，所以，故．
又，平面，所以平面．
因为平面，所以，平面平面．
（2）作的高，因为，，，
所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中轴．
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，

则即
令得，，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则即
令得，，
所以平面的一个法向量为．
，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，为圆柱的母线
(2)
【详解】（1）存在，当为圆柱的母线时，．证明如下：
连接BC，AC，，因为为圆柱的母线，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以．
因为AB为圆O的直径，所以．
又，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）以为原点，OA，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，
因为劣弧的长为，所以，，
则，．
设平面的法向量，
则，
令，解得，，所以．
因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量．
所以，
又二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，平面平面.

(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）取的中点，连接，

因为，所以
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，，，所以，，
所以三棱锥的体积为
以，
过作于，连接，

因为平面，，所以平面，
又平面，所以，所以为二面角的平面角，
在中，，
因为，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
此时取得最小值，
故二面角的正弦值的最小值为.
解法二：由（1）可知平面，
设平面的法向量为，
则，取，则，
又取平面的法向量为，
设二面角的大小为，，
所以，
因为，所以，
故二面角的正弦值的最小值为.
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
【答案】(1)或为靠近点的三等分点；
(2)；.
【详解】（1）在直角梯形中，延长交于点，连接并延长交于，如图，

，，，于是，则，为靠近点的三等分点，
将四边形沿翻折，即将沿翻折，无论二面角多大，
所成几何体均为三棱锥，显然平面平面，
于是平面，同理平面，而平面，
因此平面平面，从而几何体是棱锥被平行于底面的平面所截，
截面和底面间的部分，即几何体是棱台，
所以无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，，为靠近点的三等分点.
（2）翻折前，将,,延长一倍，三线交予点，
在等腰直角三角形中，，在棱台中，，
又二面角为直二面角，平面，
即三棱锥的体积为，
在线段上取，有，四边形为平行四边形,，
又面，则，以为原点，为,,的单位向量建立空间直角坐标系，
则，，
，取平面的法向量为，
，令，取，
所以二面角的余弦值为.

14．（22·23高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，
底面为梯形，，
则四棱锥的体积最大值为.
（2）连接，因为，所以，所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，
分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，由题意得平面，
设，因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，则，
可得，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，
因为的对称轴为，
所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
15．（22·23下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，且平面，.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足.若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）∵为等腰梯形，，∴
∵，则，∴.
又∵，则，
∴，∵平面，平面，∴.
∵平面，∴平面，
∵四边形为矩形，则，
∴平面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

由（1）知，，则，
，设，
则，
设平面的法向量，
则，∴，令，
则，取平面的法向量，
，
由题意，.
解得.
因此在线段上存在点，
使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，
且满足.
16．（23·24上·山东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，点E在平面上运动．

(1)试确定一点E，使得平面，并说明点E的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱上是否存在一点F，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当点E在的边的中线上运动时，平面；
(2)存在，.
【详解】（1）点E在的边的中线上，
取的中点G，连接，如图，
由，，得，，即四边形为平行四边形，
于是，而平面，平面，则平面，
所以当点E在的边的中线上运动时，平面．

（2）由于底面，，则四棱锥的体积，解得，
由（1）知，，则有，，有，，
向量，
于是二面角的余弦值，
解得，即F为中点，此时，．

设，且，，则，，
设是平面MBC的一个法向量，由及，
故可取，明显平面BCD的一个法向量为，
由已知有，解得或（舍去），
所以当点M为AF的中点时，二面角的余弦值为.