初中14.1.1 同底数幂的乘法课时训练

这是一份初中14.1.1 同底数幂的乘法课时训练，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算的正确结果是（ ）．
A．B．C．D．
2．若为任意整数，则的值一定能（ ）
A．被7整除B．被8整除C．被9整除D．被10整除
3．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万1万1亿，1京万1万1兆．则1京为（ ）
A．B．C．D．
4．已知每毫升血液中约有个红细胞，则毫升血液中红细胞的个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．电子文件的大小常用，，，等作为单位，其中，，.某视频文件的大小约为，等于( )
A．B．C．D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．倒数等于本身的数只有B．经过两点可以画无数条直线
C．两点之间直线最短D．
7．2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
8．3n．(－9)．3n＋2的计算结果是 ( )
A．－32n－2B．－3n＋4C．－32n＋4D．－3n＋6
9．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（ ）
A． B．C． D．无法确定
10．下列说法：①如果，则；②；③若，，则；④若，则；⑤若关于x的方程只有一个解，则m的值为3．其中，正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．一辆汽车沿一条公路上山，速度是，从原路下山，速度是，这辆汽车上、下山的平均速度是（ ）
A．B．C．D．
12．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③当时，a＝18；④不存在一个实数a使得x=y．
A．①②④B．②③④C．②③D．②④
二、填空题
13． ．
14．我们知道，同底数幂的乘法法则为，类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算填空，若，那么 ．
15．定义一种新运算，若，则，例，．若，则 ；若，则的值为 ．
16．规定．
（1）求 ；
（2）若，求 ．
17．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和 ．
三、解答题
18．由这样的式子不难想到，
(1)阅读并在每条横线上写出得出该式的依据．
＝① ，
＝② ，
＝③ ，
＝
(2)仿照上面解题过程求与的乘积．
19．计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．科学家研究发现，每公顷的森林可吸收二氧化碳约1.5吨，我国人工林累计面积达48000000公顷，用科学记数法表示，这48000000公顷人工林可吸收多少吨二氧化碳．
21．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如：因为，所以【2，8】．
(1)根据上述规定，填空：【4，64】＝________，【5，1】＝________，【________，81】．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：【，】＝【3，4】，小明的理由如下：
设【，】，则，即，所以，即【3，4】，所以【，】＝【3，4】．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①试说明：【7，5】＋【7，9】＝【7，45】；
②猜想：【，】＋【，】＝【________，________】．
22．阅读材料：如果那么c为a，b的“关联数”，记为，例如．则有
(1)若，，的值？
(2)若，，，其中，请说明：．
23．已知x=32m+2,y=5+9m,请你用含x的代数式表示y.
24．对于任何实数，我们规定符号的意义是：，按照这个规定请你计算：当时，的值．
25．阅读下列材料：
材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（正整数），即，故．
(1)计算以下各对数的值：__________，___________；
(2)证明：（且，，），并求．
(3)若，求的值
26．阅读材料：
求l+2+22+23+24+…+22019的值．
解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②-①，得2S﹣S=22020-l
即S=22020-l
∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l
仿照此法计算：
(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.
(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)
1．B
【分析】先把底数化为同底，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可得答案．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．注意底数不同先把底数化为相同．
2．A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，利用同底数幂的乘法运算，然后合并后找到能被整除的数或式即可得答案．
【详解】解：，
即能被7整除，
故选A．
3．B
【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：1万，则1亿，
1京，
故选：B．
4．C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，以及同底数幂相乘法则，运用科学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，，
故选：C．
5．D
【分析】根据同底数幂的运算计算即可；
【详解】由题可得：；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法应用，准确计算是解题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查了倒数、单项式以及直线、线段的性质以及同底数幂的乘法，依据倒数、单项式以及直线、线段的性质以及同底数幂的乘法法则，即可得到错误的结论．
【详解】解：A．倒数等于本身的数有1和，故本选项正确；
B．经过两点可以画1条直线，故本选项错误；
C．两点之间线段最短，故本选项错误；
D． ，故本选项错误
故选：A．
7．C
【分析】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解．
本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键．
【详解】解：∵1亿，
∴1991.2亿，
故选：C．
8．C
【详解】3n·(－9)·3n+2=-3n·32·3n+2=-32n+4，故选C.
9．C
【分析】根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系。
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵
∴，即
故选：C
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键．
10．D
【分析】根据幂的运算法则判断①是否正确，根据分数的定义判断②是否正确，根据绝对值的性质判断③和④是否正确，根据解绝对值方程判断⑤是否正确．
【详解】解：∵，
∴，故①错误；
，故②正确；
∵，
∴是非正数，
∵，
∴是非负数，
∴，则，
∴，故③正确；
∵，
∴a和b异号，
∴，故④正确；
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，解得，那么方程的解是或，不成立，
若，解得，那么方程的解是，成立，故⑤正确，
正确的命题有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查分数的定义，绝对值的性质，幂的运算法则，解绝对值方程，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
11．A
【分析】设上山的路程为akm，用上山、下山的总路程除以上山、下山的总时间得到平均速度．
【详解】设上山的路程为akm，
平均速度为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平均速度的计算公式以及同底数幂的除法运算，熟记平均速度的计算公式是解题关键，需要注意的是求平均速度不能用上山、下山速度之和除以2．
12．B
【分析】①把代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
③根据题中等式得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
④假如，得到无解，本选项正确．
【详解】解：①把代入方程组得：，
解得：，本选项错误；
②由与互为相反数，得到，即，
代入方程组得：，
解得：，本选项正确；
③方程组解得：，
，
，
，解得：，本选项正确；
④若，则有，可得，矛盾，故不存在一个实数使得，本选项正确．
综上所述：正确的选项有②③④．
故选：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组解法，注意方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，有根必代是解题关键．
13．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．/
【分析】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据，以及定义新运算：将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【详解】，，
．
故答案为：
15． 64 77
【分析】设，根据题意和同底数幂乘法的逆用即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
设，
由题意得：，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64，77
【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用,理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．
16． 125 1
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用：
（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴,
故答案为：125；
（2）∵，
∴
∴
∴
解得，，
故答案为：1
17．
【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．
【详解】观察、发现
∴
=
=
=（把代入）
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．
18．(1)乘法交换律，乘法结合律，同底数幂乘法性质；
(2)
【分析】（1）观察等号前后的变化，确定运算依据；
（2）利用乘法的交换律，将数与数相乘，同底数幂相乘．
【详解】（1）解：①乘法交换律；②乘法结合律；③同底数幂乘法性质．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘及乘法运算律，合理地使用运算律，能使运算简便是计算本题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握底数不变，指数相加是解题的关键．
20．7.2×107吨．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：48000000公顷人工林可吸收二氧化碳：48000000×1.5=72000000=7.2×107(吨)，
∴48000000公顷人工林可吸收7.2×107吨二氧化碳．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
21．(1)，，
(2)①证明见解析；②，
【分析】（1）根据乘方的意义即可得出答案；
（2）①模仿题目中例子的证明方法设【7，5】，【7，9】，再根据乘方的意义即可得出答案；②根据【，】＝【3，4】和【7，5】＋【7，9】＝【7，45】的证明过程和结论猜想证明即可．
【详解】（1）∵，
∴【4，64】．
∵，
∴【5，1】．
∵，
∴【，81】．
故答案是，，；
（2）①设【7，5】，【7，9】，
则，，
∴．
∴【7，45】．
∴【7，5】＋【7，9】＝【7，45】．
②设【，】，则，即，
∴，即【，】．
∴【，】【，】．
同理可得：【，】【，】，
∴【，】＋【，】【，】＋【，】．
设【，】，【，】，
则，，
∴．
∴【，】．
∴【，】＋【，】【，】．
故答案是，．
【点睛】本题主要考查了乘方的灵活运用，观察和猜想能力，正确理解题中规定的新的运算是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据“关联数”的定义可得，，进而求解；
（2）根据“关联数”的定义可得，，，进而可得，再根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
所以，
所以；
（2）证明：因为，，，
所以，，，
因为，
所以，即，
所以，即．
【点睛】本题是新定义题，以“关联数”的定义为载体，主要考查了乘方的运算和同底数幂的乘法，正确理解“关联数”的定义是关键．
23．y=+5.
【详解】试题分析：
根据“幂的运算性质”，可由：“”变形得到：（1），（2），把（2）代入（1）变形即可得到用含“”的代数式表示的.
试题解析：
由x=32m+2得x=32m·32，即x=9×32m (1)，
由y=5+9m得y=5+32m，故32m=y-5 (2)，
把(2)代入(1)得：x=9(y-5)，即.
24．
【分析】本题考查了同底数幂的运算，实数的运算，理解规定符号的意义是解题的关键．根据，得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
上式．
25．(1)3，6；
(2)证明见详解，2；
(3)15
【分析】本题考了整式的混合运算，有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，得出关系式是解题的关键．
（1）根据对数的定义计算即可；
（2）设，，根据对数定义，知，，根据同底数幂的乘法法则得：，结合材料二可得，即可得证；然后利用求解即可；
（3）利用（2）中和材料二中进行化简，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：3，6；
（2）解：设，，
根据对数定义，知，，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：根据题意，得
，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．(1)；(2).
【分析】(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值；
(2)设S=1++++…++，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可.
【详解】(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，①
两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3101，②
②-①，得3S﹣S=3101-1，
∴S=，
∴1+3+32+33+34+…+3100=；
(2)设S=1++++…++，①
两边同时乘以，得S=+++…++，②
①-②，得S-S=1-，
∴S=1-，
∴S=2-，
∴1++++…++=2-.
【点睛】本题是阅读材料题，主要考查了同底数幂的乘法，弄懂材料中的解题方法是解题的关键.