广东省珠海市斗门区金砖四校2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷(含答案)

这是一份广东省珠海市斗门区金砖四校2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．下列命题中,存在量词命题的个数是( )
①实数的绝对值是非负数;
②正方形的四条边相等;
③存在整数n,使n能被11整除.
A.1B.2C.3D.0
3．已知集合,,则A∩B中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
4．设a,b是实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知集合,,则中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.6
6．已知,则的最小值为( )
A.3B.2C.4D.1
7．已知集合,,则( )
A.B.MC.ND.Z
8．已知，，，则的最小值是( )
A.4B.C.5D.9
二、多项选择题
9．下列各组中M,P表示不同集合的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
10．下列命题中,正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”是“”的必要不充分条件
11．设,,且,则( )
A.ab的最大值为B.的最小值为1
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．高一（1）班共有学生50人,班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组,其中参加数学兴趣小组的有30人,参加物理兴趣小组的有26人,同时参加两个兴趣小组的有15人,则两个兴趣小组都没有参加的学生有________人.
13．已知,,且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
14．已知,则的最小值为________
四、解答题
15．已知集合,,,.
（1）求,;
（2）若,求a的取值范围.
16．设全集,集合,集合.
（1）若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围;
（2）若命题“,则”是真命题,求实数a的取值范围.
17．不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（）,再添加m克糖（假设全部溶解）,糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式
(2)甲每周都要去超市购买某种商品,已知第一周采购时价格是p1,第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案,第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品,第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济,请说明理由.
18．（1）已知x,,求证:.
（2）已知,,求代数式和的取值范围.
19．书籍《见微知著》中谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有整体观察、整体设元、整体代入、整体求和等.
例如，已知，求证：.
证明：原式.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长.”同理，我们有更多的式子满足以上特征.
请根据以上阅读材料解答下列问题.
（1）已知，求的值.
（2）若，解关于x的方程.
（3）若正数a，b满足，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，，
阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2．答案：A
解析：①可改写为,任意实数的绝对值是非负数,故为全称量词命题;
②可改写为:任意正方形的四条边相等,故为全称量词命题;
③是存在量词命题.
故选:A
3．答案：B
解析：由题意,,故中元素的个数为3.
故选:B
4．答案：D
解析：若,则不能判断正负,则推不出.
若,即,即也推不出.
故”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
5．答案：C
解析：由题意,中的元素满足,且x,,
由,得,
所以满足的有,,,,
故中元素的个数为4.
故选:C.
6．答案：A
解析：因为,所以,
由均值不等式可得,
当且仅当,即当时,等号成立,因此,的最小值为3,
故选:A
7．答案：C
解析：由题意得,M是所有奇数的集合,N是所有被4除余3的整数集
故,
故选:C
8．答案：B
解析：因为，
又，所以，
当且仅当，时取“=”，故选B.
9．答案：ABD
解析：选项A中,是数集,是点集,二者不是同一集合,故;
选项B中,与表示不同的点,故;
选项C中,,,故;
选项D中,M是二次函数,的所有y组成的集合,而集合P是二次函数,图象上所有点组成的集合,故.
故选:ABD.
10．答案：AB
解析：对于A项:由“”可以推出,但反之不可以,故A项正确.
对于B项:由“”推不出“”,但反之可以,故B项正确.
对于C项:由“”可以推出“”,但反之不可以,故C项错误.
对于D项:由题意知:是的子集,所以“”可以推出“,但反之不可以,故D项错误.
故选:AB.
11．答案：ACD
解析：对于A选项,由基本不等式可得,可得,
当且仅当时,等号成立,A对;
对于B选项,由可得,解得,
所以,,B错;
对于C选项,由可得,则,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为,C对;
对于D选项,,
因为,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为,D对.
故选:ACD.
12．答案：9
解析：记高一(1)班的学生组成全集U,参加数学和物理兴趣小组的学生分别组成集合A和B,用文氏图表示它们之间的关系如图所示,可得数学,物理两个兴趣小组都没有参加的学生有9人.
故答案为:9
13．答案：
解析：因为,,且p是q的必要不充分条件,
所以是的真子集,且不是空集.
所以且等号不同时成立,解得,
所以实数m的取值范围是,
故答案为:.
14．答案：
解析：由于,所以,,
所以
,
当且仅当,时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）.
,
.
（2）,作图易知,只要a在8的左边即可,
.
a的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）是的充分条件,,
又,,
,,
,
实数a的取值范围为;
（2）命题“,则”是真命题,.
①当时,,,,符合题意;
②当时,,,且B是A的子集,
,,a无解;
综上所述:实数a的取值范围.
17．答案：(1),证明见解析
(2)见解析
解析：(1)该不等式为
证明：因为,所以,于是.
(2)若按第一种方案采购,每次购买量为n,则两次购买的平均价格为,
若按第二种方案采购,每次用的钱数是m,则两次购买的平均价格为,
又,
所以当时,两种方案一样;
当时,第二种方案比较经济.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）,
解析：（1）
,
(当且仅当等号成立)
（2）,
.
由,得①.
由,得②.
19．答案：（1）1
（2）
（3）
解析：（1）由题意得.
（2）因为，所以原方程可化为，
即，
所以，即，解得.
（3）由题意得
.
因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以有最小值，此时有最大值，
所以有最小值，即M的最小值为