广东省六校2024-2025学年高一上学期12月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省六校2024-2025学年高一上学期12月联合考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，则( )
A.B.C.1D.2
3．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点( )
A.B.C.D.
4．函数的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
5．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则( )
A.C.
6．设,,，则( )
A.B.C.D.
7．2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图像与函数且的图像关于直线对称，记.若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列四个选项中，正确的是( )
A.若集合，集合，则
B.已知集合，则满足的集合B的个数有8个
C.若，，则
D.设，，则“且”的充要条件是“且”
10．教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表
分析表中数据，则下列说法正确的是：( )
A.
B.方程有实数解
C.若精确度到0.1，则近似解可取为1.375
D.若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
11．已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足且，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.的取值范围为
三、填空题
12．计算：____.
13．“”是“”的条件____.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
14．定义在R上的函数，对任意都满足，则____.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若关于x的不等式的解集为,求a,b的值;
（2）当时,若关于的不等式在R上恒成立,求b的取值范围.
16．已知.
(1)求的解析式；
(2)函数，若对任意，总存在，使成立，求a的取值.
17．已知函数，.
(1)，用表示，中的最小者，记作，当时，分别用图像法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间；
(2)设，，求的最小值.
18．茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.
19．我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数图像的对称中心；
(2)若函数的图像关于点对称，证明：；
(3)已知函数，其中，若正数a，b满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由，得，解得，所以.
由，得，所以，所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由，可得，，
所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意得且，解得，
，令得，此时，
故的图像过定点.
故选：A
4．答案：A
解析：由于的定义域为，关于原点对称，
且，为偶函数，故图像关于y轴对称，排除选项C和D，
又当或时，，可排除选项B.
故选：A.
5．答案：C
解析：，
，，
，，，
故选：C
6．答案：C
解析：因为，所以，
因为，，
所以.
故选：C
7．答案：B
解析：依题意，，而,,，
因此，当且仅当时取等号，
所以.
故选：B
8．答案：D
解析：因为函数的图像与函数（且）的图像
关于直线对称，
与互为反函数，，
，
令，函数可化为，对称轴为直线.
当时，，为增函数，
若在区间上是增函数，则在上为增函数，
即，故，
解得，不合题意，舍去.
当时，，为减函数，
若在区间上是增函数，则在上为减函数，
即解得.
综上得，a的取值范围是.
故选：D.
9．答案：AB
解析：对于选项A：集合，
集合，，A选项正确；
对于选项B：,,，集合A的子集个数是8个，
选项B正确；
对于选项C：因为,，所以，
所以，又因为，故两边同除以得，，
故C错误；
对于选项D：当且时，，；
反之，当,时，,，但不满足且，
所以“且”是“且”的充分不必要条件，所以选项D错误.
故答案为：AB
10．答案：BC
解析：与都是R上的单调递增函数，
是R上的单调递增函数，
在R上至多有一个零点，
由表格中的数据可知：，，
在R上有唯一零点，零点所在的区间为，
，A错误；方程有实数解，B正确；,，
即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确；
,，
即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：A选项，画出与的图象如下：
要想满足，则，A正确；
B选项，由对称性可知，，B错误，
C选项，令，解得，故，
令，解得，故，而，
所以，故，所以，C正确；
D选项，，
其中，
而在上单调递减，
所以，
，D正确.
故选：ACD
12．答案：9
解析：.
故答案为：9.
13．答案：充分不必要
解析：由，得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
14．答案：8
解析：令，则，所以，
令，则，所以，
令，所以，
故答案为：8.
15．答案：（1）a,b的值分别为,,或,.
（2）.
解析：（1）由题意可知,,1是方程的两根,
所以,,
解得,或,.
故a,b的值分别为,,或,.
（2）当时,,
若在R上恒成立,即的图象与x轴至多有一个交点,
则,
即,解得,
故b的取值范围是.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)令，得到，
即，
所以；
(2)令，则，，，
所以，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，当时，，
的值域为，
当时，，令，
则可化为，，
因为，在单调递增，所以，
即当时，，
因为对任意，总存在，使成立，
所以的值域是值域的子集，
则，解得.
17．答案：(1)答案见解析;
(2)
解析：(1)时，，
当时，，解得，负值舍去，
当时，，解得或（舍去），
画出的图像，如图所示，
解析法表示，，
由图像可得，单调递增区间为和；
(2)，，
当，即时，此时最小值为，
当，即时，此时最小值为，
当，即时，此时最小值为，
综上所述：
18．答案：(1)选模型②，且;
(2);
(3)约为10℃.
解析：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，
选模型②，则，即，可得，
所以且.
(2)令，则.
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
(3)由，即，所以进行实验时的室温约为10℃.
19．答案：(1);
(2)证明见解析;
(3).
解析：(1)令，因为为奇函数，
所以，即，
所以，
化简得，则，
解得，，即图像的对称中心为.
(2)令，因为为奇函数，
所以，即，
所以，
令，则，即.
(3)因为，
所以，
所以，可得的对称中心为.
因为，
，
两式相加得：，即，
由题意知恒成立.
方法一：由
，
当且仅当时取等号.
方法二：由，
令，
则，
当且仅当时取等号.
x
1.25
1.375
1.40625
1.422
1.4375
1.5
0.02
0.33
时间
0
1
2
3
4
5
水温
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27