2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题一（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题一（含解析），共20页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
空间向量和立体几何高考复习专题一
知识点一 求点面距离,面面角的向量求法
典例1、如图，在长方体中，，，点E是棱AB的中点．
（1）证明：； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的余弦值．
随堂练习：如图，在长方体中，，，E、M、N分别是、、
的中点.
（1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离；
（3）设P为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角 的余弦值.
典例2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为.
（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.
随堂练习：如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值.
典例3、如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求点到平面的距离；（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角的余弦值为时，求二面角的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，
，平面平面，，.
（1）从下列条件①､条件②中再选择一个作为已知条件，求证：平面PAB；
条件①：E，F分别为棱PD，BC的中点；条件②：E，F分别为棱PC，AD的中点.
（2）若点M在棱PD（含端点）上运动，当为何值时，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为.
知识点二 线面垂直证明线线垂直,面面角的向量求法
典例4、如图，四边形是菱形，，平面，，．
（1）证明：． （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

随堂练习：如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，.
（1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值.

典例5、已知四棱锥中，，，，，，面
面ABE，.
（1）求证： （2）求面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，
，，．
（1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值．

典例6、如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面.
（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.

随堂练习：如图，直三棱柱，.
（1）证明：；（2）设为的中点，，求二面角的余弦值.
空间向量和立体几何高考复习专题一答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.
解:（1）由长方体性质知：面，面，则，
又，则为正方形，即，而，
∴面，而面， ∴.
（2）由题设，，则，
由，且E是棱AB的中点，则，即，
若E到平面的距离为，则，可得.
（3）构建如下图示的空间直角坐标系，则，

∴，若是面的法向量，
∴，令，则，
又是面的一个法向量，
∴，则锐二面角的余弦值.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）；（3）.
解: （1）证明：连接，，如图，

因为E、M分别是、的中点，所以且，
又N是的中点，所以，
结合长方体的性质可得且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因为，，为长方体，
E、M、N分别是、、的中点，
所以，，，
所以为等腰三角形，其底边上的高为，
所以， 设点C到平面的距离为，则，
又， 所以，解得，
所以点C到平面的距离为；
（3）连接，如图，

由平面可得即为直线与平面所成角，
又，所以,
分别以、、作为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，， 所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令则， 得平面的一个法向量，
所以，
因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为.
典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）1.
解：（1）证明：连接交于点，连接，易知为中点，
在中，，分别为，中点， ∴为的一条中位线， ∴，
∵平面，平面， ∴平面.
（2）过点作交于点，则点到平面的距离，即点到平面的距离，
∵平面，平面， ∴，
又，，平面，平面，
∴平面，则点到平面的距离即为的长度，
在中，，，故，
又，故，则，
∴， ∴，
∴，即点到平面的距离为.
（3）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（2）可得，，，，
∴，，，，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
∴， ∴二面角的正弦值为1.

随堂练习：答案： （1）；（2）.
解：（1）取的中点，连结，则平面，
是等边三角形，，
以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，0，，
点到平面的距离为.
（2），，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，， ，，
二面角的余弦值为.

典例3、答案：（1）；（2）．
解:（1），由于平面，
从而即为三棱锥的高，故．
设点到平面的距离为．
由平面得，又由于，故平面，所以．
由于，所以．故．
因为，所以．
（2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，．
设， 因为，所以，
由，得，
又， 从而．
即时，． 又因为，所以． ，，
设平面的一个法向量为， 则，，
即得：，令，则．
所以是平面的一个法向量．
又，，
设平面的一个法向量为， 则，，
即，取，则，， 所以是平面的一个法向量．
从而，
由图知二面角为钝角故二面角的余弦值为-．

随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则，，
因为平面，平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为， 所以平面∥平面，
又因为平面，所以∥平面PAB.

若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，
因为平面，平面，平面，平面，
因为，所以平面∥平面PAB，
又因为平面EFG，所以∥平面PAB.
取AB中点为O，连接PO，CO， 因为，所以，
又因为平面PAB，平面平面ABCD，平面平面
所以平面ABCD，
又因为，，，所以，
又因为，，为AB中点，所以，，
又因为，所以四边形OADC为矩形，所以，
故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间
直角坐标系如图，则，，，，所以，
又因为M在PD上，所以存在，使，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，，
设平面PAD的法向量，则，所以，取，则. 所以.
设直线CM与平面PAD所成角为，
则，
故，所以或， 又因为，所以， 即.

典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接． 因为四边形是菱形，所以．
又平面，所以．
因为，所以平面． 又，所以平面就是平面，
因为平面，所以．
（2）设，相交于点O，以O为坐标原点，
，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，
则

设平面的法向量为，，，
则，取，可得．
取的中点G，连接．易证平面平面，
因为是正三角形，所以，
从而平面，即是平面的一个法向量．
因为，，所以，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
随堂练习：答案：（1）证明见解析; （2）.
解：（1）取中点，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以.
因为是等边三角形，所以.
，平面，平面， 所以平面.
因为平面，故.
（2）在中，，，，由余弦定理可得，
，故.
如图，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向
建立空间直角坐标系，
可得，所以，，，
设为平面的一个法向量， 则，即，
令，可得.
设为平面的一个法向量，
则，即， 令，可得.
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.

典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过C作交AB于G，连接，
∵面面ABE，且AB为交线，平面， ∴面ABE，
又平面，∴，
∵，∴，
即，
即， ∴，即，
∵平面， ∴面ABCD，
又平面，∴；
（2）过D作交AB于O， ∴，∴面ABE，
由（1）得，
以O为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
由，，得，，，
∴，，，，，
∴，，，，
设面ADE，面BCE的法向量分别为，，
∴，即，令，则，
，即，令，则，
∴，
∴面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值为.

随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）．
解：（1）证明：∵，， ∴，，又，，
∴，且四边形为直角梯形，，则，
∴， ∴，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面AOP，∴．
（2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，则，，．
易知平面的法向量为．
设平面的法向量为，
∵，， 由，有，
令，从而，，∴．
设二面角的平面角为，则，
即二面角的余弦值为．

典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设，则中点为M，且
∵平面平面且交线为，平面，∴平面，
∵平面，∴， 又直三棱柱，∴，
∵平面， ∴平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）知平面， 所以直线与平面所成的角为，
不妨设
以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系，，
设平面的法向量为 ，故可设，
设平面的法向量为， ，故可设，
设平面与平面所成锐二面角为， ∴.

随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）直三棱柱， 平面，并且平面 ，
又，且，平面 平面，
又平面， .
（2），，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，
如图，则，所以的中点，则，，，

设平面的一个法向量，则，可取，
设平面的一个法向量，则，可取，
则，因所求角为钝角，所以二面角的余弦值为.