2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题十一（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题十一（含解析），共20页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
空间向量和立体几何高考复习专题十一
知识点一 求点面距离,线面角的向量求法,点到平面距离的向量求法
典例1、如图，在直三棱柱中，E，F，G分别为线段及的中点，P为线段上的点，，三棱柱的体积为240．
（1）求点F到平面的距离；
（2）试确定动点P的位置，使直线与平面所成角的正弦值最大．
随堂练习：如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
（1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求到平面的距离．
典例2、如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知
，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
（1）求证： ;
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
（3）在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
随堂练习：如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，
点为棱的中点．
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
典例3、已知是锐角三角形，分别以为直径作三个球.这三个球交于一点.
（1）若，求到平面的距离；
（2）记直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，证明：为定值.
随堂练习：如图所示，在三棱柱中，，，，平面
平面，点是线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）若点在线段上，且平面，求点到平面的距离.

知识点二 证明线面垂直,求点面距离,证明面面垂直
典例4、如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.

随堂练习：边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.
（1）证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积.

典例5、如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别1,1,2,,．
（1）若中点为,证明:平面; （2）求点到平面的距离．
随堂练习：在边长为2的正方形外作等边（如图1），将沿折起到的位置，使得（如图2）.
（1）求证：平面平面；
（2）若F，M分别为线段的中点，求点P到平面的距离.
典例6、如图，在四棱锥中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中点.
（1）求证：平面平面PBC； （2）若，求P到平面AEC的距离.

随堂练习：如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，
P为的中点，Q为的中点，
（1）若，证明：平面；
（2）设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.

空间向量和立体几何高考复习专题十一答案
典例1、答案：（1） （2）P为中点
解：（1）在中，，为的中点，，即，
由直三棱柱的体积，则=240 解得，
以为原点，并分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
由为的中点，则，由为的中点，则，
在平面中，取，，设该平面的法向量为，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量为，
取，由点面距公式，可得到平面的距离.
（2）由（1）可知：，，，，，
由，平面，则设，，
设，即，，
在平面内，取，，设其法向量，
则，即，令，则，
故平面的一个法向量，取，
设直线与平面所成角为，则，
则
当时，P与B重合， 当时，，
令，
当时，即，P为中点时，
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：连接，，连接，
在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面． 平面．

（2），，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，
所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）设到平面的距离为，则；
典例2、答案：（1）证明见解析； （2）； （3）点到平面的距离为.
解：（1）因为四边形是矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
（2）因为平面平面 ，平面平面，
平面，， 所以平面，又，
所以两两相互垂直，
以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，,
设，则， 所以，，
设平面的法向量为，， 则，，
取，可得，
设直线 与平面的夹角为， 则，
所以， 化简可得，又， 所以，所以；
（3）由(2) 平面的法向量为，，又，
设点到平面的距离为， 则.
所以点到平面的距离为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） （3）1
解：（1）连接BD，交AC于点O， 又P，O分别为DF和DB的中点， 所以BF//PO，

因为PO⊂平面APC，BF⊄平面APC， 所以BF//平面APC；
（2）直线AF⊥平面，AB⊂平面ABCD， 所以AF⊥AB，
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系， ，
所以，，，
设平面BCF的法向量，则 ，
令，则
设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ，所以 ，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）由（2），
设平面APC的法向量为，则， 令，则
所以平面APC的法向量，
则点E到平面APC的距离， 所以E到平面APC的距离1．

典例3、答案：（1）； （2）证明见解析.
解：（1）依题意得，故可以为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系.

而，故，故，则，
设平面的法向量为 则，故，
设到平面的距离为d，则.
（2）按（1）方式建系，设，
则，故，
设平面的法向量为，
同（1）可得：，
，，
故 故为定值.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）取线段的中点，连结，
因为平面平面，，所以平面，所以平面，
因为，，所以是正三角形，
又点是线段的中点，所以.可以建立以为原点，
分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，，，

证明：，，设为平面的法向量，
则，即， 不妨令，可得，
又，故， 因此平面.
（2）依意，，由（I）知为平面的法向量.
因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）依题意，设，，
所以，因此
，
设为平面的法向量， 则，即，
不妨令，可得，
，因为平面，所以，解得， 所以，
设点到平面的距离为，，
则， 所以点到平面的距离为.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接，
平面平面，同理，，，
.
又平面,平面. 平面.
取的中点，连接为的中点， ，.
， ，
为的中点， .
又平面，平面. 平面.

（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，， 平面.
∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，
.
由（1）知面， 在中，，
中， ∴，
.
设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在正方形中有，，，
，又因为，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）连接MN,由题意可得，，
，由，所以为直角三角形，即，
，
设点到平面的距离为，由得，
，即，得，
即四棱锥的体积为
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:取中点为,连接,如图所示:

分别为中点, ,且,
,, ,
故四边形为平行四边形, 故,
不含于平面,平面, 故平面;
（2）连接,两两垂直且长度分别为1,1,2, 且,, ,
将底面拿出考虑如下:

,,,
, , ,
记到平面的距离为, 则,
解得:, 故到平面的距离为.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）由于，所以，
由于四边形是正方形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面， 所以平面平面.
（2）连接，由于三角形是等边三角形，所以，
由于平面平面且交线为，平面， 所以平面.
由于是的中点，所以到平面的距离是，
且到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为.
由于平面，所以，
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，，
则为锐角，， 所以，
， 由得，
解得， 所以点P到平面的距离为.

典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.
取AB的中点M，连接CM， ∵，，∴，，
∴四边形ADCM为平行四边形.
∵，∴为菱形，∴.
∵，∴四边形BMDC为平行四边形, ∴,
∴.又有，平面PBC,
∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
（2）∵，，，∴，
又有，，，∴.
，E为PD的中点，， ∴在中，.
由, 得, 求得.
在中，，则，∴的面积.
设P到平面AEC的距离为d，又，解得.

随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵D，O为圆柱底面的圆心， ∴平面.
而为圆柱的一条母线， ∴.
又∵P为的中点，Q为的中点，

∴， ∴四边形为平行四边形， ∴.
又∵P在上，而平面， ∴O为P在内的投影，
且是圆内接正三角形. ∴三棱锥为正三棱锥.
∴， ∴，
即. ∵，平面. ∴平面，
∵， ∴平面.
（2）设点B到面的距离为h，设圆柱底面半径为r，
由母线及圆柱的侧面积为， 得，解得， 则.
在中，， 则，
， 又，
且， ∴，解得.
故点B到平面的距离为.