2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题四（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题四（含解析），共25页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
空间向量和立体几何高考复习专题四
知识点一 证明线面平行,线面角的向量求法
典例1、如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习： 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，
的中点，若，.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
典例2、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且
，，点是的中点.
（1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值.

随堂练习： 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 与平面所成的角的正弦值．
条件①：； 条件②：； 条件③：到平面的距离为1．
典例3、在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.
（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.
随堂练习： 已知底面为菱形的四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面
ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点.
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
①F是AB的中点；②E是PC的中点；③平面PFD.
（2）若.求PB与平面PDC所成角的正弦值.
知识点二 证明线面平行,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，
M为PC的中点.
（1）求证：平面PAD；
（2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，，，为
中点，___.
（1）求证：四边形是直角梯形； （2）并求直线与平面所成角的正弦值.
从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例5、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC
上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
（1）求证：；
（2）若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.

随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，，，
，点，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值.

典例6、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB
的中点，______．从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形． （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的
中点.
（1）证明:平面;
（2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
空间向量和立体几何高考复习专题四答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）选①②：由，，，易知：，
又，，面，则面；
选①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面， ∴平面
（2）由（1）知：，，又四边形是正方形，则，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，

∴，，
设面的一个法向量为，则，即
令，则，，即，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取中点，连接，

分别为中点，，；
四边形为矩形，为中点，，；
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，， ，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
， 即直线与平面所成角的正弦值为.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接BD交AC于F点，连接EF， 在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC．

（2）由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．

则，，， ∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取的中点为，连接.
分别是，的中点, . D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
（2）选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，

则， 所以，
设为平面的一个法向量， 则， 即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：； 取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点, ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立
如图所示的空间直角坐标系，

则， 所以，
设为平面的一个法向量，则 ，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1． 过点作,垂足为，
直三棱柱， 平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点, ,所以是的中点, .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
典例3、答案：选条件①（1）证明见解析；（2）；选条件②（1）证明见解析；（2）；选条件③（1）证明见解析；（2）.
解:方案一：选条件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面. 又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，， ∴，.
又，∴平面. 又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又，
设直线与平面所成角为， 则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，. 又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又，
设直线与平面所成角为， 则.
方案三：选条件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，， ∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又，
设直线与平面所成角为，
则.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）
解：（1）选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD，
取的中点，连接， 所以，，
，所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD.

选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ①F是AB的中点，
取的中点，连接，
所以，因为，所以，
即平面平面，
因为平面PFD，所以， 所以四边形是平行四边形，，
（2）因为，所以 即F是AB的中点.

选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点，

取的中点，连接， 所以，
四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD，
因为平面PFD，，所以平面平面，
平面，所以平面， 平面平面，所以，
因为是的中点，所以E是PC的中点.

取的中点，连接，
因为底面为菱形，，所以，
是边长为2的等边三角形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，
所以平面，以为原点，
分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，所以，即，令，
则， 所以，
设PB与平面PDC所成角的为， 所以.
所以PB与平面PDC所成角的正弦值为.
典例4、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）取PD的中点E，连接EM，AE，则且，
而，，则，又，
所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故.
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.

（2）当N为AE的中点时，面PBD，理由如下：
法一：面ABCD，面ABCD， ，又，，平面PAD，
所以面PAD，而面PAD，则，
又，E是PD的中点，即， 而，面ABME，
所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N，
所以，又，面PBD，
所以面PBD，易知：，而，，
，即，而， N为AE的中点时，面PBD.
作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角，
因为，， ，则.
即直线BN与平面AD所成角的正弦值为.
法二：易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
设，则，，.
因为平面PBD， 故，可得.
，又平面的法向量为，
设BN与平面ABCD所成角为，则.
即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）详见解析 （2）详见解析
解：选择①
(1) 证明：如图所示 因为平面，所以，
又因为，所以
又因为，，即
又因为 所以平面，所以
又因为，所以 又因为 所以四边形是直角梯形.
选择②.
因为平面，所以，
又因为，所以
又因为，，即
又因为 所以平面，所以
又因为平面， 平面， 平面∩平面
所以， 又因为 所以四边形是直角梯形
选择①.
(2)过作的垂线交于点，由题意易知，，
故以为坐标系原点，以、、为、、 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，由题意知，，，，

因为为的中点，由中点坐标公式知，
所以， ，
设平面的法向量为，则有，即， 令，得
设直线与平面所成的角为， 所以
所以直线与平面所成角的正弦值为 选择②.解法同①
典例5、答案： （1）证明见解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面， 所以.
选①②：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形. 又为中点，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面， 故，又，所以.
（2）以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选②③：连接，取中点，连接，.
在菱形中，所以为等边三角形.
又为中点，故，且，又，.
所以，则.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，. 所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选①③：取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，， 所以，则.
由，面，则面，
由平面，故，又，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，.
设面的一个法向量为，则，令，故.
又，设直线与面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为， 则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，又平面 平面；
（2）由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为． ．
直线与平面所成角的正弦值为．
典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在，
解：（1）选择①：证明：平面，平面，，，
因为，，
，，，
，平面，平面，
平面，， ，，
四边形是直角梯形．
选择②：证明：平面，平面，，，
，，， ，，
，平面，平面，
平面，， ，四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线交于点， 平面，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
为的中点，，，， ，，，，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，令，得，1，，
设直线与平面所成角为， 则，．
直线与平面所成角的正弦值为．

（3）设，则，，，，，
，，， 平面，，
，解得． 故存在点F，且．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）
解:（1）连接，交于，连接，

底面是菱形，为中点， 为中点，，
平面，平面，平面；
（2）选①：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，

底面是菱形，，，，
则，
设平面的法向量为， 则，取可得，
设与平面所成的角为， 则，
所以与平面所成的角为；
选②：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，
取中点，连接，

底面是菱形，，，平面，为的中点，
，平面，，，
， 则，
设平面的法向量为， 则，取可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角为；