湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期第一次大练习数学试卷(含答案)

这是一份湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期第一次大练习数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，集合，则( )
A．B．
C．D．
2．已知命题，，命题，，则( )
A．p是真命题，q是假命题B．p是假命题，q是真命题
C．p和q都是真命题D．p和q都是假命题
3．使成立的一个充分不必要条件的是( )
A．B．C．D．
4．下列命题为真命题的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．设集合M，N，P均为的非空真子集，且，，则( )
A．MB．NC．D．
6．已知集合A满足,且,则满足条件的集合A有( )
A.2个B.4个C.8个D.16个
7．已知正实数a,b满足，则的最小值为( )
A．9B．8C．3D．
8．已知集合，，，则S，P，Q之间的关系是( )
A．B．C．D．
二、多项选择题
9．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．的解集为
10．已知，，且，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．的最小值为D．
11．对任意A，，记，并称为集合A，B的对称差.例如.若，，则.下列命题为真命题的是( )
A．若，，则{或}
B．若，且，则
C．若A，，则
D．若A，B，，则
三、填空题
12．已知集合,,且,则m的值为____________.
13．若命题.“，不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是_____.
14．设集合，，若，则实数a的取值范围是_____.
四、解答题
15．已知集合，，其中实数.
(1)若，求集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
16．已知集合和非空集合，.
(1)若命题“，都有”为真命题，求实数a的取值；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
17．如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.设点A到道路2的距离为a米，点B到道路1的距离为b米.
(1)当，求b的值；
(2)求面积的最大值，并求此时a，b的值.
18．已知函数，.
(1)若，当时，求的最小值；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)当时，已知，，若，求a的取值范围.
19．已知二次函数，对，都有，且当时，.
(1)求a，b的值；
(2)存在，对任意，都有，求正实数m的最大值；
(3)若，是否存在正整数，使得为正整数？
参考答案
1．答案：A
解析：因为，，
所以，故A正确.
故选.A
2．答案：B
解析：对于命题p.当时，，故p为假命题；
对于命题q.当时，，故q为真命题.
故选.B
3．答案：B
解析：由得，
对于A，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故A错误；
对于B，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故C错误；
对于D，因为与不是包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选.B
4．答案：D
解析：若，取，，则，故A错误；
若，当时，则，故B错误；
若，取，，则，故C错误；
若，则，故D正确.
故选.D
5．答案：D
解析：如图，中间的阴影和左边的空白是集合M，中间的阴影和右边的空白表示集合N，如图，表示两边空白区域，则表示集合M的空白区域，即表示为
故选.D
6．答案：B
解析：由题意可知,集合A中一定包含元素1,2,一定不包含元素3,
且A是的真子集,所以或或或,
即满足条件的集合A有4个.
故选：B
7．答案：C
解析：由条件知，
，
当且仅当时取等号.
故选.C
8．答案：B
解析：，
，
，
故选.B
9．答案：BC
解析：由不等式的解集为，
得
所以，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
因为，
所以，
则，解得，
故解集为，故D错误.
故选.BC
10．答案：BD
解析：对于A，，即，
当且仅当，即，时等号成立，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为，，所以，则，
所以，
当时，取最小值，故C错误；
对于D，由得，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选.BD
11．答案：ACD
解析：A选项，，，
故{或}，A正确；
B选项，，不妨设，
则，故，
但不满足，B错误；
C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1，
①为集合且，②为集合且，
③为集合，④为集合，
表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，
为集合①，故为集合③④的并集，
为集合①②的并集，故为集合③④的并集，故；
当时，如图2，①为集合，表示集合①和集合A的并集，
表示集合①和集合A的并集，为集合A，故为集合①，
为集合A,B的并集，故为集合①，故；
如图3，当时，表示集合①，为集合，
故为集合①和集合A的并集，
为集合A,B的并集去掉A,B的交集，即集合②部分，
故为集合①和集合A的并集，故；
如图4，当时，②为且，①为，
表示集合①和②的并集，，
表示集合②，故为集合①和集合B的并集，
为集合A,B的并集去掉A,B的交集，即集合②部分，
故为集合①和集合B的并集，故.
综上，C正确；
D选项，画韦恩图，如下.
情况较多，我们就第一个图进行说明，
①为且且，
②为且且，
③为且，④为，
⑤为且，⑥为，
⑦为且，⑧为且且，
表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集，
表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集，
故，
当A,B,C满足其他关系时，经检验，也满足，故D正确.
故选.ACD
12．答案：0
解析：因为,所以,解得或-2,
当时,,
而集合的元素具有互异性,故,所以,
故答案为：0.
13．答案：{或}
解析：由题意得.，不等式成立为真命题，
所以，即，解得或.
所以实数a的取值范围是{或}.
故答案为.{或}.
14．答案：
解析：由知，
即当时，不等式恒成立，
设，
①当时，的大致图象如图1所示，因为，
所以，得，矛盾；

②当时，恒成立，符合要求；
③当时，的大致图象如图2所示，
当，即时，
因为，
所以，得，矛盾；
当，即时，
因为，
所以，得；
当时，由图有则.
综上，a的取值范围是.
故答案为.
15．答案：(1)
(2).
解析：（1）当时，集合，{或}，
又集合，所以.
（2）因为，所以，则集合P非空，
因为，所以或，
解得或，又，所以，
故实数a的取值范围是.
16．答案：(1)1
(2).
解析：（1）由命题“，都有，”为真命题知，
因为集合B非空，所以或或.
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，无解.
综上，实数a的取值是1.
（2）因为“”是“”的必要条件，所以，
所以，
解得.
故实数m的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)最大值为平方米，米.
解析：（1）设圆C与道路1、道路2、直线AB的切点分为D，E，F，连接CD，CE，CF，
由切线长定理可知，，则，
由题知且，，，
即，
化简得.①
把代入①，解得；
（2）由题有，，
因为，
所以，
令，
则，
解得，
所以，
当且仅当时等号成立，即，
解得，此时，，
则，
所以的面积的最大值为平方米，此时米.
18．答案：(1)7
(2)答案见解析
(3).
解析：（1）当时，
，
当且仅当，即时取等号，
故当时，的最小值为7.
（2）由题知，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得.
综上，
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为.
（3）不等式可化为，
因为，所以不等式在时恒成立，
又，结合二次函数图象知，，解得.
故a的取值范围是.
19．答案：(1)
(2)8
(3)不存在,理由见解析
解析：(1)由题知且，解得
(2)由(1)知，在上恒成立，
当确定时，表示开口向上的二次函数，
当时，该函数的最大值必在端点处取到，
则只需在，处都成立即可.
当时，有，
解得；
当时，有，
解得；
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为8，
所以，所以当，时满足上述不等式，
则m的最大值为8.
(3)不存在，证明过程如下.
假设存在，设为正整数，
因为，
所以为正整数，
则，
即.
而，均为完全平方数，
为正整数，
所以也为完全平方数，
又，
即介于两个相邻的完全平方数之间，
不为完全平方数，矛盾，
所以当时，不存在正整数，
使得为正整数.